2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练及答案解析：第7章立体几何7-3a11012.pdf

基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn 答案 C 解析 对于 A，m 与 l 可能平行或异面，故 A 错误；对于 B，D，m 与 n 可能平行、相交或异面，故 B，D 错误；对于 C，因为 n，l，所以 nl，故 C 正确故选 C.2 若 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 答案 B 解析 当 l1l2，l2l3时，l1与 l3也可能相交或异面，故 A 不正确；l1l2，l2l3l1l3，故 B 正确；当 l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确故选 B.3(2016雅安期末)已知正方体 ABCDA1B1C1D1，则过点 A 与AB，BC，CC1所成角均相等的直线有()A1 条 B2 条 C4 条 D无数条 答案 C 解析 若直线和 AB，BC 所成角相等，得直线在对角面 BDD1B1内或者和对角面平行，同时和 CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线 BD1满足条件此时过 A 的直线和 BD1平行即可，同理体对角线 A1C，AC1，DB1也满足条件 则过点 A 与 AB，BC，CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条 故选 C.4(2017宁德期末)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与 BN 所成角的大小为()A0 B45 C60 D90 答案 D 解析 如图，把正方体的平面展开图还原成正方体 ADNECMFB，CDBN，CDAM，AMBN，在这个正方体中，AM 与 BN 所成角的大小为 90.故选 D.5 如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为()A.15 B.25 C.35 D.45 答案 D 解析 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异面直线 A1B与 AD1所成的角连接 A1C1，设 AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC15522 5 545.故选 D.6(2018江西景德镇模拟)将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线 AD 折起得到空间四面体 ABCD(如图 2)，则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 答案 C 解析 在题图 1 中，ADBC，故在题图 2 中，ADBD，ADDC，又因为 BDDCD，所以 AD平面 BCD，又 BC平面 BCD，D 不在 BC 上，所以 ADBC，且 AD 与 BC 异面故选 C.7(2017河北唐山模拟)已知 P 是ABC 所在平面外一点，M，N 分别是 AB，PC 的中点，若 MNBC4，PA4 3，则异面直线PA 与 MN 所成角的大小是()A30 B45 C60 D90 答案 A 解析 取 AC 的中点 O，连接 OM，ON，则 ONAP，ON12AP，OMBC，OM12BC，所以异面直线 PA 与 MN 所成的角为ONM(或其补角)，在ONM 中，OM2，ON2 3，MN4，由勾股定理的逆定理得 OMON，则ONM30.故选 A.8如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 m，n，那么 mn()A8 B9 C10 D11 答案 A 解析 如图，CE平面 ABPQ，从而 CE平面 A1B1P1Q1，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4；EF平面BPP1B1，EF平面 AQQ1A1，且 EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，n4，故 mn8.选 A.9下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()答案 D 解析 在 A 中易证 PSQR，P，Q，R，S 四点共面 在 C 中易证 PQSR，P，Q，R，S 四点共面 在 D 中，QR平面 ABC，PS面 ABCP 且 PQR，直线 PS 与 QR 为异面直线 P，Q，R，S 四点不共面 在 B 中 P，Q，R，S 四点共面，证明如下：取 BC 中点 N，可证 PS，NR 交于直线 B1C1上一点，P，N，R，S 四点共面，设为，可证 PSQN，P，Q，N，S 四点共面，设为.，都经过 P，N，S 三点，与 重合，P，Q，R，S 四点共面故选 D.10(2018广东惠州三调)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线 AF 异面；直线EF平面 PBC；平面 BCE平面 PAD.其中正确的有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 B 解析 将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，所以 EFADBC，则直线 BE与 CF 共面，错误；因为 AF平面 PAD，B平面 PAD，E平面PAD，EAF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正确；因为 EFADBC，EF平面 PBC，BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，错误故选 B.二、填空题 11如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM 与 ED 平行；CN 与 BE 是异面直线；CN 与 BM 成 60角；DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_ 答案 解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然 BM 与 ED 为异面直线，故命题不成立；而 CN 与 BE 平行，故命题不成立 BECN，CN 与 BM 所成角为MBE.MBE60，故正确；BC面 CDNM，BCDM，又DMNC，DM面 BCN，DMBN，故正确，故填.12(2018仙桃期末)在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，若 ACBD2，且 AC 与 BD 成 60，则四边形 EFGH 的面积为_ 答案 32 解析 如图所示，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，EHFGBD，EHFG 12BD1.四边形 EFGH 是平行四边形，同理可得 EFGH12AC1，四边形 EFGH 是菱形 AC 与 BD 成 60，FEH60或 120.四边形 EFGH 的面积212EF2sin6032.13(2018湖北武昌调研)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；四面体 ABCD 每个面的面积相等；从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90而小于 180；连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 答案 解析 对于，把四面体 ABCD 放置在如图所示的长方体中，显然命题错误；对于，因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以正确；对于，当四面体 ABCD 为正四面体时，夹角之和等于 180，所以错误；对于，因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以正确；又命题显然成立，故填.14如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分别为 DE，AF 的中点，将ABC 沿 DE，EF，DF 折成正四面体 PDEF，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为_ 答案 23 解析 折成的正四面体，如图，连接 HE，取 HE 的中点 K，连接 GK，PK，则 GKDH，故PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角 设这个正四面体的棱长为 2，在PGK 中，PG 3，GK32，PK1232272，故 cosPGKPG2GK2PK22PGGK 323227222 33223，即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为23.三、解答题 15(2018普宁期末)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 AB的中点 (1)在 A1C 上是否存在一点 Q，使 BC1DQ?(2)设 AA1ACCB2，AB2 2，求异面直线 AB1与 CD 所成角的大小 解(1)连接 AC1交 A1C 于 Q，连接 DQ，DQ 为ABC1的中位线，DQBC1，A1C 上存在一点 Q，使 BC1DQ，Q 为 A1C 的中点(2)连接 AB1，取 BB1中点 M，连接 DM、CM，则 DM 是ABB1的中位线，DMAB1，CDM 就是所求异面直线所成角(或补角)，AA1ACCB2，AB2 2，CM 5，DM 3，CD 2，DM2CD2CM2，满足勾股定理，CDM90，故异面直线 AB1与 CD 所成角为 90.16如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60.(1)求四棱锥的体积；(2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 解(1)在四棱锥 PABCD 中，PO平面 ABCD，PBO是 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBO60.在 RtAOB 中，BOABsin301，POOB，POBOtan60 3.底面菱形的面积 S122 322 3，四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD132 3 32.(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，如图所示，E 为 PB 中点，EFPA，DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角)在 RtAOB 中，AO 3OP，在 RtPOA 中，PA 6，EF62.在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中，DFDE 3，由 余 弦 定 理，得cos DEF DE2EF2DF22DEEF 32622 322 362643 224.异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为24.