高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线2759.pdf

-1-18 直线和圆，圆锥曲线 一直线与圆 1,两点间的距离公式:设111222(,),(,)P x yP xy,则22121212()()PPxxyy;2,线段的定比分点坐标公式:设111222(,),(,)P x yP xy,点(,)P x y分12PP的比为,则 121xxx,121yyy(1)3,直线方程的各种形式(1),点斜式:00()yyk xx;(2),斜截式:ykxb;(3),两点式:112121yyxxyyxx(4),截距式:1(,0)xya bab;(5),一般式:0(,AxByCA B不同为零);(6)参数方程:00cos(sinxxttyyt为参数,为倾斜角,t表示点(,)x y与00(,)xy之间的距离)4,两直线的位置关系 设11112222:0,:0lA xB yClA xB yC(或111222:,:lyk xb lyk xb).则(1),121221/0llABA B且12210ACA C(或12kk且12bb);(2),1212120llA AB B(或121kk).5,两直线的到角公式与夹角公式:(1),到角公式:1l到2l的到角为,则2112tan1kkk k,(000180);(2),夹角公式:1l与2l的夹角为,则2112tan1kkk k,(00090).6,点000(,)P xy到直线:0l AxByC的距离:0022AxByCdAB.7,圆的方程(1),标准方程:222()()xaybR,其中(,)a b为圆心坐标,R 为圆半径;(2),一般方程:220 xyDxEyF,其中2240DEF,圆心为(,)22DE,半径为22142DEF.(3),参数方程:cossinxaRybR,其中圆心为(,)a b,半径为 R.-2-二圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义 与两个定点的距离的 和等于常数 与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定 直线的距离相等 标准方程 22221xyab(或22221xyba),22221xyab(或22221yxab)22ypx(或22xpy)参数方程 cossinxayb(或sincosxbya)sectanxayb(或tansecxbya)222xptypt (或222xptypt)焦点(,0)c或(0,)c(,0)c或(0,)c(,0)2p或(0,)2p 正数 a,b,c,p 的关系 222cab(0ab)222cab(0,0ab)离心率 1cea 1cea 1e 准线 2axc(或2ayc)2axc(或2ayc)2px (或2py )渐近线 byxa(或bxya)焦半径 10PFaex 20PFaex(或10PFaey 20PFaey)10PFexa 20PFexa (10PFeya,20PFeya),(点P在左或下支)02pPFx(或02pPFy)统一定义 到定点的距离与到定 直线的距离之比等于定值 的点的集合,(注:焦点要与对应 准线配对使用)三解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想.3,分类讨论思想.4,参数法.5,整体处理 -3-例题讲解 1在平面直角坐标系中,方程1(,22xyxya bab为相异正数),所表示的曲线是（）A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 2平面上整点(坐标为整数的点)到直线5435yx的距离中的最小值是（）A,34170 B,3485 C,120 D,130 3过抛物线28(2)yx的焦点 F 作倾斜角为060的直线,若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与x轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于（）A,163 B,83 C,1633 D,8 3 4若椭圆2213620 xy上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为（）A,(3,15)B,(3,15)C,(3,15)D,(3,15)5 过椭圆22221xyab(0)ab中心的弦AB,(,0)F c是右焦点,则AFB的最大面积为（）A,bc B,ab C,ac D,2b 6 已知 P 为双曲线22221xyab上的任意一点,12,F F为焦点,若12FPF,则12F PFS（）A,2cot2b B,1sin2ab C,22tan2ba D,22()sinab 7给定点(2,3),(3,2)PQ,已知直线20axy与线段 PQ(包括 P,Q 在内)有公共点,则a的取值范围是 .8过定点(,0)F a(0)a 作直线l交y轴于 Q 点,过 Q 点作QTFQ交x轴于 T 点,延长 TQ 至 P 点,使QPTQ,则 P 点的轨迹方程是 .-4-9已知椭圆22221(0)xyabab与直线1xy交于 M,N 两点,且OMON,(O为 原点),当椭圆的离心率32,32e时,椭圆长轴长的取值范围是 .10已知12,F F是椭圆2211612xy的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到y轴的距离为 MN,且MN是1MF和2MF的等比中项,则MN的值等于 .11已知点 A 为双曲线221xy的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,ABC是 等边三角形,则ABC的面积等于 .12若椭圆221xymn(0mn)和双曲线221(0,0)xyabab有相同的焦点1,F 2F,P 为两条曲线的一个交点,则12PF PF的值为 .13设椭圆22126xy有一个内接PAB,射线 OP 与x轴正向成3角,直线 AP,BP 的斜率 适合条件0APBPkk.(1),求证:过 A,B 的直线的斜率k是定值;(2),求PAB面积的最大值.14已知(AOB 为常数且02),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得POQ 的面积恒为 36.设POQ的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足32OMOG.(1),求OG的最小值;(2),求动点 M 的轨迹方程.15过抛物线22ypx(p为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线 -5-于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交x轴于 Q 点.(1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程;(2),证明:L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数.例题答案：1,D 令yx,得yxa,令yx 得xyb ,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a,(,)aa,(,)b b,(,)bb,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知 它是非正方形的菱形.2,B 00002515125(53)128505 34xyxyd,当00532xy(可取001xy)时,min3485d(其中00(,)xy为平面上任意整点).3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为3yx,因此 A,B 两点的横坐标 满足方程:238160 xx.由此求得弦 AB 中点的横坐标043x,纵坐标043y,进而 求得其中垂线方程为414()333yx,令0y,得 P 点的横坐标416433x,即 PF=163.4,C 设00(,)P xy,又椭圆的右准线为9x,而122PFPF,且1212PFPF,得24PF,又20293PFex,得03x,代入椭圆方程得015y .5,A (1)当ABx轴时,1(2)2AFBSbcbc;(2)当 AB 与x轴不垂直时,设 AB 的方程为ykx,由22221ykxxyab消去x得2222222k a bybk a.设11(,)A x y,22(,)B xy,则1222kabybk a,2222kabybk a,212222222112()22AFBabkSc yyckabcbk abk a2221abcbcbak.-6-6,A 由2221212122cosFFPFPFPF PF212()PFPF122 PF PF(1 cos),得21221 cosbPF PF,1222121sinsincot21 cos2F PFSPF PFbb.7,4 1,5 2 设线段 PQ 上任意一点00(,)M xy且令(01)PMttPQ,则0(1)23xtt=2t,0(1)(3)235yttt ,故(2)(35)20att ,1 25ata,由01t 得1 2015aa,解得4152a.8,24yax 设直线l的方程为()yk xa,则 Q 点坐标为(0,)ka,直线 QT 的方程为 1yxkak,所以 T 点坐标为2(,0)k a,从而P 点坐标为2(,2)k aka,设 P 的坐标为(,)x y,则22xk ayka ,消去k可得 P 点轨迹方程为24yax.9,5,6 由222211xyabxy,可得2222222()20abxa xaa b 由OMON得12120 x xy y,即12122()10 x xxx,将212222axxab,2221222aa bx xab代入得22112ab,即22112ba,因为3232ca,得 2211132ba,得221223ba,有2231(2)22aa,解得526a.10,8 55 延长 NM 与椭圆2211612xy的右准线l:8x 相交于 D,设(,)M x y,则 8MDx,因1,282ea,得211(8)22MFMDx,1218(8)2MFMFx,又212MNMF MF,得2645x,故8 55MN.11,3 3 设点 C 在x轴上方,由ABC是等边三角形得直线 AB 的斜率33k,又直线 -7-过(1,0)A 点,故方程为3333yx,代入双曲线方程221xy,得点 B 的坐标为(2,3),同理可得 C 的坐标为(2,3),所以ABC的面积为2(1)33 3.12,ma 不妨设 P 为第一象限的一点,则122PFPFm,122PFPFa,.得 1PFam,2PFma,于是12PF PFma.13,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为3yx,将此方程代入2236xy,可求得交点 P(1,3).由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为3(1)yk x 和3(1)yk x,分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为222 333Akkxk,Bx 222 333kkk.从而22(2 36)(2 36)3,33ABkkkkyykk3,所以22123334 3BAABBAyykkkxxkk(定值).(2)不妨设直线 AB 的方程为3yxb,与椭圆方程联立,并消去y得262 3xbx+2(6)0b,有22222()()4()4()4ABABABABABABxxyyxxxxx x =2223244()(6)16333bbb 点 P 到战线 AB 的距离3322bbd,所以22214(16)443PABbSb=22(12)12bb2221(12)3122bb,当且仅当2212bb,即6b 时,max()3PABS.14,解(1),以 O 为原点,AOB的平分线为x轴建立直角坐标系,则可设(cos,sin)22P aa(cos,sin)22Q bb.于是OPQ的重心(,)GGG xy的坐标为 11(coscos0)()cos32232Gxabab,-8-11(sinsin0)()sin32232Gyabab 222222212()(cossin)9922GGOGxyabab=2212()cos99abab 21242coscos9992ababab.又已知1sin36,2OPQSab得72sinab,于是2472cos9 sin2OG 16cot4 cot22,且当72sinab时等号成立,故min4 cot2OG.(2),设(,)M x y,则由32OMOG得,31()cos0222Gxxab,32Gyy=1(2ab)sin2,得cossin22xya,cossin22xyb,代入72sinab,并整理得 221(0)36cot36tan22xyx,这就是所求动点 M 的轨迹方程.15,解:(1)抛物线22ypx的焦点为(,0)2p,设l的直线方程为()2pyk x(0)k.由22()2ypxpyk x得222221(2)04k xpkp xp k,设 M,N 的横坐标分别为12,x x 则21222pkpxxk,得2122222Pxxpkpxk,222()22Ppkpppykkk,而PQl,故 PQ 的斜率为1k,PQ 的方程为2212()2ppkpyxkkk.代入0Qy 得222223222Qpkppkpxpkk.设动点 R 的坐标(,)x y,则 21()21()22PQPQpxxxpkpyyyk,因此222()4(0)pp xpyyk,故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为24()(0)yp xpy.(2),显然对任意非零整数t,点2(41),)ptpt都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点.-9-反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设0,0,0 xym,则 2222()4()()xymiyp xp ii,因为p是奇素数,于是p y,从()ii可推出p x,再由()i可推出 p m,令111,xpx ypy mpm,则有222111211()41()xymiiiyxiv,由()iii,()iv得2211114xxm,于是2211(81)(8)17xm,即 1111(81 8)(81 8)17xmxm ,于是1181 817xm,1181 81xm,得111xm,故10y,有10ypy,但 L 上的点满足0y,矛盾!因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.