江西省萍乡市2022-2023学年高三上学期期末考试数学理科试卷3195.pdf

准考证号姓名（在此卷上答题无效）萍乡市 20222023 学年度高三期末考试试卷理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3至 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致2第卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答题无效3考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回第卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合1,0,1,2A，2,xByyx A，则A BA 1,2B 1,22C 1,2D 12已知i为虚数单位，则复数11i的实部与虚部之和为A 1B 0C 1D 23在各项均为正数的等差数列na中，23a，若235,1,3a aa成等比数列，则公差dA 1或2B 2C 1或2D 14已知m和n是空间中两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列命题正确的是A 若mn，n，则mB 若m，n，则m nPC 若mP，mn，则nD 若m，m，则5关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p；“乙得第二”为命题q；“丙得第三”为命题r.若p q为真命题，p q为假命题，()q r为假命题，则下列说法一定正确的为A 甲不是第一B 乙不是第二C 丙不是第三D 根据题设能确定甲、乙、丙的顺序6 在二项式6(2)ax的展开式中，若3x的系数为160，则aA 1B 1C 34D 347 函数y kx与lnyx的图象有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为A 1kB 1ekC 1ek或0kD 1k或0k8 分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方形ABCD内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为A 19B 1781C 29D 3179 已知 fx是定义在R上的奇函数，f x是其导函数.当0 x时，20 f x x，且 2 3f，则 3113fxx的解集是A 2,-B 2,2C 2,+D,2-10下列关于函数1()sin2cosfxxx有关性质的描述，正确的是A 函数()fx的最小正周期为2B 函数 fx的图象关于直线2x对称C 函数()fx的最小正周期为D 函数 fx的图象关于直线 x对称11点M为抛物线28yx上任意一点，点N为圆2243 0 xyx上任意一点，P为直线1 0 axy a的定点，则MP MN的最小值为A 2B 2C 3D 2212已知函数 lnfxaxa，elnxg xxx，若关于x的不等式 fxgx在区间(0,)内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为A 2e,eB 2e(e,2C 23e,eD 23e e(,2 3萍乡市 20222023 学年度高三期末考试试卷理 科 数 学第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分13在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，已知角终边过点(2,1)P，则sin2_14 在平面直角坐标系中，向量,ab满足 1,1,2 31,5aab，则ab_15 在 ABC中，内角,ABC的对边分别为,abc，若 ABC的周长为7，面积为3 74，且828ab c，则c_16 已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则PA PB的取值范围为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）记nS为数列1 na的前n项和，已知11a，21 nna Sn n(1)求数列na的通项公式；(2)求数列1321nnan的前n项和nT18.（本小题满分 12 分）如图，在五面体ABCDE中，ABC为等边三角形，平面ABC平面ACDE，且222ACAE ED，90 DEA EAC，F为边BC的中点(1)证明：DF平面ABE；(2)求EF与平面ABE所成角的正弦值19.（本小题满分 12 分）甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为(01)pp，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为()fp，求()fp的最大值和此时乙答对每道题的概率0p；(2)以(1)中确定的0p作为p的值，求乙在第二轮得分X的数学期望20.（本小题满分 12 分）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的 ABC的顶点 3,0A为椭圆E的左焦点，顶点,BC在E上，且边BC过E的右焦点(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为,M N，点,2Pm,0Rmm，若直线,PMPN与椭圆E的另一个交点分别为点,ST，求证：直线ST过定点，并求该定点坐标21.（本小题满分 12 分）已知函数 1 lnexxfxax(1)若0a，求 fx的极值；(2)若 1fx恒成立，求实数a的取值范围请考生在第 22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 0100,0:C与曲线22:4 sin 3 0 C相交于,PQ两点(1)写出曲线2C的直角坐标方程，并求出0的取值范围；(2)求11OP OQ的取值范围23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 10,0 fxaxbab的图象与x轴围成的封闭图形的面积为1(1)求实数,ab满足的关系式；(2)若对任意Rx，不等式 2 fxxab恒成立，求实数b的取值范围.萍乡市 20222023学年度高三期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（125=60 分）：ABBDC；ACBCC；AD.二、填空题（45=20 分）：13.45；14.0；15.3；16.10,3.三、解答题（共 70 分）：17.（1）由(21)n naSn n得，(21)nnn nSa，当11(1)(23)2,nnnnnSa，（1 分）两式相减得：11(21)(1)(23)nnnn nnnaaa，化简得：12123nnanan，（2 分）212342112332121 21 239 7 54112325 275 313nnnnnnnaaaaaannnnaaaaaa a annn ，（4 分）当1n 时，214 1113a ，符合上式，（5 分）故2413nna；（6 分）（2）由(1)知13=(2 1)321nnnann，（7 分）12311 3 3 35 3(23)3(21)3nnnTnn 234131 33 3 5 3(23)3(21)3nnnTnn ，（9 分）两式相减得1234121 3 2 32 32 32 3(21)3nnnTn 21113(1 3)3 2(21)362(1)313nnnnn ，（11 分）故13(1)3nnTn .（12 分）18.（1）证明：取AB的中点为M，连接ME，MF，（1 分）因为F为边BC的中点，所以MF AC，1=2MFAC，（2 分）又DE AC，12DEAC，所以MF DE，且MF DE，即四边形EDFM为平行四边形，所以DF EM，（4 分）又EMABE平面，DFABE平面，所以DFABE 平面；（6 分）【用面面平行性质得到线面平行同样给分】（2）平面ABC平面ACDE，ABC平面平面ACDEAC，EA AC，EA 平面ACDE，则EA 平面ABC，（8 分）过点F作FN AB于N，则FN EA，且EA AB A，则FNABE平面，连接EN，则EF与平面ABE所成角为FEN，（10 分）由题知，在直角FNE中，有313,222FNENEF，则3sin4FNFENEF，即EF与平面ABE所成角的正弦值为34.（12 分）【建立空间直角坐标系求解同样给分】19.（1）由题知，22233()(1)33fpCpppp ，（2 分）2()693(2 3)f ppppp，则()fp在2(0,)3单调递增，在2(,1)3单调递减，（4 分）故()fp的最大值为24()39f，此时，023p；（6 分）【223333224()(1)22()2239p ppfpCppppp ，故()fp的最大值为49，当且仅当22pp，即023p时取等号；同样给分】（2）由题知，X的所有可能取值为0,5,10，（7 分）11115(0)232212PX ，111(5)224PX ，121(10)233PX ，（9 分）则 X的分布列为：（10 分）乙在第二轮得分X的数学期望51155()0510124312EX （12 分）20（1）根据椭圆定义可知48a，2a，（2 分）3c，221bac，（3 分）故椭圆E的标准方程为2214xy；（4 分）（2）由题知，(0,1)M，(0,1)N，（5 分）直线:1xPM ym，与椭圆方程联立、化简得：22(4)80mxmx，则284Smxm，2244Smym，（7 分）同理可得22436Tmxm，223636Tmym，（8 分）22423212121441216192161612TSSTTSmmyymmkxxmmmm m，（9 分）直线222221284121:()1644162mmmmSTyxxmmmm，（11 分）故直线ST过定点1(0,)2 （12 分）X0510P512141321（1）0a，1ln()xfxx，22ln()0 xfxx ，得2x e，（1 分）则 20,()0,xefxfx单调递减；2,()0,x efxfx单调递增，（3 分）故 fx的极小值为221()fee，无极大值；（4 分）（2）【法一】由题知，1lnxaxex x，0 x，令()1 lnxgx axex x，则 1()1xg xxaex，（5 分）当0a 时，()0g x，(1)0gae，则1x 时，()(1)0gxg，不合题意；（7 分）当0a 时，设0 x满足001xaex，则()gx在 00,x单调递减，在0,x单调递增，则0min0000()()ln 1xgxgxax exx，（9 分）001xaex，00001,lnlnxax ea xx ，（10 分）故min000()()1ln1ln 20gxgxxa xa ，解得21ae，（11 分）综上所述，实数a的取值范围为21,)e.（12 分）【法二】由题知，ln 1xxxaxe，0 x，（5 分）令ln1()xxxgxxe，则 21(2ln)()xxxxg xxe，（6 分）设0 x满足002lnxx，则()gx在 00,x单调递增，在0,x单调递减，（8 分）故0000max000ln 11()()xxxxgxgxx ex e，（9 分）002lnxx，020 xx e，故0max2011()xgxx ee，即21ae，（11 分）综上所述，实数a的取值范围为21,)e.（12 分）【法三】由题知，ln 1xaxexx，即lnln 1xxaexx，（6 分）令lnt xx，t R，即1tae t，即1()ttagte，（8 分）2()ttgte，()gt在,2单调递增，在2,单调递减，（10 分）故max21()(2)a gtge，即实数a的取值范围为21,)e.（12 分）22（1）曲线2C的直角坐标方程为2243xyy，即2221xy，（2 分）当02时，曲线1:0C x 与曲线2C有两个交点，符合题意，（3 分）当02时，曲线1C的直角坐标方程为：0tanyx，设 20,2C到曲线1C的距离为d，则2021tan 1dr，得0tan3或0tan3，（4 分）又0(0,)，02,33；（5 分）（2）将0 代入2C的极坐标方程得：204sin30，（6 分）设,PQ两点对应的极径分别为12,，则120124sin,3 ，（7 分）01212124sin111103OP OQ ，（9 分）由（1）知02,33，则04sin1123 4,333OP OQ.（10 分）23（1）,11,1axa bxfxaxbaxa bx ，（1 分）y fx与x轴交点坐标分别为1,0,1,0bbaa ，顶点坐标为 1,b，（3 分）21212bbSbaa ，即2ba；（5 分）（2）对于x R，不等式左边2221()121b xbfxxxbbbb 恒成立，（6 分）即对于x R，121xxbb 恒成立，（7 分）222111xxxxbbb （8 分）121bb，即2 11b b 或211bb ，（9 分）又0b，0,13,b.（10 分）命题：胡斌（市教研室）欧阳丽（芦溪中学）徐敏（莲花中学）江敏（萍乡三中）刘晓君（湘东中学）吕鋆（上栗中学）彭仕海（萍乡中学）审核：胡斌