2.2.3独立重复实验与二项分布31861.pdf

知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 1 页 共 7 页 2 2 3 独立重复实验与二项分布 教学目标：知识与技能：理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。过程与方法：能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4 概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件 6 等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7 等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率()mP An 8 等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的 知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 2 页 共 7 页 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件()()()PABPAP B 一般地：如果事件12,nAAA中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,nAAA彼此互斥 11对立事件:必然有一个发生的互斥事件()1()1()P AAP AP A 12互斥事件的概率的求法:如果事件12,nAAA彼此互斥，那么 12()nP AAA12()()()nP AP AP A 13相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立 14相互独立事件同时发生的概率：()()()P A BP AP B 一般地，如果事件12,nAAA相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()nnP AAAP AP AP A 二、讲解新课：1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 2 独立重复试验的概率公式：一般地，如果在 1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(它是(1)nPP展开式的第1k 项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 knkknnqpCkP)(，（k0,1,2,，n，pq 1）于是得到随机变量 的概率分布如下：0 1 k n P nnqpC00 111nnqpC knkknqpC 0qpCnnn 由于knkknqpC恰好是二项展开式 011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn 中的各项的值，所以称这样的随机变量 服从二项分布（binomial distribution)，知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 3 页 共 7 页 记作 B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpCb(k；n，p)三、讲解范例：例 1 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率（结果保留两个有效数字)解：设 X 为击中目标的次数，则 X B(10,0.8).(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为 P(X=8)88108100.8(10.8)0.30C.(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P(X 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)CCC 0.68.例 2 （2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布 解：依题意，随机变量 B(2，5%)所以，P(=0)=02C(95%)2=0.9025，P(=1)=12C(5%)(95%)=0.095，P(2)=22C(5%)2=0.0025 因此，次品数 的概率分布是 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 例 3 重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ，求 P(3)解：依题意，随机变量 B61,5 P(=4)=6561445C=777625，P(=5)=55C561=77761 P(3)=P(=4)+P(=5)=388813 例 4 某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5 次预报中恰有 4 次准确的概率；（2）5 次预报中至少有 4 次准确的概率 解：（1）记“预报 1 次，结果准确”为事件A预报 5 次相当于 5 次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5 次预报中恰有 4 次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41PC 答：5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41.（2）5 次预报中至少有 4 次准确的概率，就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 4 页 共 7 页 预报都准确的概率的和，即 4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)PPPPCC 450.80.80.4100.3280.74 答：5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74 例 5 某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是14，求 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A“1 小时内，1 台机器需要人照管”，1 小时内 5 台机器需要照管相当于5 次独立重复试验 1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P，1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率145511(1)(1)44PC，所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为 551(0)(1)0.37PPP 答：1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为0.37 点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法 例 6 某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，应射击n次 记事件A“射击一次，击中目标”，则()0.25P A 射击n次相当于n次独立重复试验，事件A至少发生 1 次的概率为1(0)10.75nnPP 由题意，令10.750.75n，31()44n，1lg44.823lg4n，n至少取 5 答：要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少应射击 5 次 例 7 十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于 3 次，应包括停 3 次，停 4 次，停 5 次，直到停 9 次 从低层到顶层停不少于 3 次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222PCCCC 3459990129999999911()()2()()22CCCCCCC991233(246)()2256 设从低层到顶层停k次，则其概率为k9999111C()()()222kkkC，知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 5 页 共 7 页 当4k 或5k 时，9kC最大，即991()2kC最大，答：从低层到顶层停不少于 3 次的概率为233256，停 4 次或 5 次概率最大 例 8 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢3 局就算胜出并停止比赛）（1）试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率（2）按比赛规则甲获胜的概率 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12 记事件A=“甲打完 3 局才能取胜”，记事件B=“甲打完 4 局才能取胜”，记事件C=“甲打完 5 局才能取胜”甲打完 3 局取胜，相当于进行 3 次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 甲打完 3 局取胜的概率为33311()()28P AC 甲打完 4局才能取胜，相当于进行 4次独立重复试验，且甲第 4局比赛取胜，前 3局为 2 胜 1 负 甲打完 4 局才能取胜的概率为2231113()()22216P BC 甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 甲打完 5 局才能取胜的概率为22241113()()()22216P CC(2)事件D“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故1331()()()()()816162P DP ABCP AP BP C 答：按比赛规则甲获胜的概率为12 例 9 一批玉米种子，其发芽率是 0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种 3 粒，求恰好两粒发芽的概率（lg 20.3010）解：记事件A“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A，()10.80.2P A，（1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B“每穴至少有一粒发芽”，则 00()(0)0.8(10.8)0.2nnnnP BPC()1()10.2nP BP B 由题意，令()98%P B，所以0.20.02n，两边取常用对数得，lg 0.2lg 0.02n即(lg 21)lg 22n，知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 6 页 共 7 页 lg 221.69902.43lg 210.6990n，且nN，所以取3n 答：每穴至少种 3 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%（2）每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验，每穴种 3 粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384PC，答：每穴种 3 粒，恰好两粒发芽的概率为 0.384 四、课堂练习：1每次试验的成功率为(01)pp，重复进行 10 次试验，其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为（）()A33710(1)Cpp ()B33310(1)Cpp ()C37(1)pp ()D73(1)pp 2 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）()A32100.70.3C ()B1230.70.3C ()C310 ()D21733103AAA 3 某人有 5 把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在 3 次内能开房门的概率是 （）()A33351AA ()B 211232323355AAAAAA ()C331()5 ()D22112333232()()()()5555CC 4 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在 5 局 3 胜制中，甲打完 4 局才胜的概率为（）()A23332()55C ()B22332()()53C ()C33432()()55C ()D33421()()33C 5 一射手命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3，则该射手打 3 发得到不少于 29环的概率为 （设每次命中的环数都是自然数）6 一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投 10 个球，则投中的球数不少于 9个的概率为 7 一射手对同一目标独立地进行 4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 8 某车间有 5 台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率 9 种植某种树苗，成活率为 90%，现在种植这种树苗 5 棵，试求：全部成活的概率；全部死亡的概率；知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 7 页 共 7 页 恰好成活 3 棵的概率；至少成活 4 棵的概率 10（1）设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n次才击中目标的概率 答案：1.C 2.D 3.A 4.A 5.0.784 6.0.046 7.23 8.（1）323551240333243PC （2）5552211113243P BP BC 9.5550.90.59049C；5550.10.00001C；3325530.90.10.0729PC；55450.91854PPP 10.(1)23P (2)112()33nP 五、小结：1 独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 2 如果 1 次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为knkknnPPCkP)1()(对于此式可以这么理解：由于 1次试验中事件A要么发生，要么不发生，所以在n次独立重复试验中A恰好发生k次，则在另外的nk次中A没有发生，即A发生，由()P AP，()1P AP所以上面的公式恰为nPP)1(展开式中的第1k 项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 六、课后作业：课本 58 页 练习 1、2、3、4 第 60 页 习题 2.2 B组 2、3 七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。2.能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。3.承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。