2019年全国版高考数学必刷题：第一单元集合与常用逻辑用语4856.pdf

第一单元 集合与常用逻辑用语 考点一 集合 1.(2017 年全国卷)已知集合A=x|x1,B=x|3x1,则().A.AB=x|x1 D.AB=【解析】B=x|3x1,B=x|x0.又A=x|x1,AB=x|x0,AB=x|x1.故选 A.【答案】A 2.(2017 年全国卷)设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1,则B=().A.1,-3 B.1,0 C.1,3 D.1,5【解析】AB=1,1B.1-4+m=0,即m=3.B=x|x2-4x+3=0=1,3.故选 C.【答案】C 3.(2017 年全国卷)已知集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x,则AB中元素的个数为().A.3 B.2 C.1 D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1 为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以AB中元素的个数为 2.故选 B.【答案】B 4.(2016 年全国卷)已知集合A=1,2,3,B=x|(x+1)(x-2)0,xZ,则AB=().A.1 B.1,2 C.0,1,2,3 D.-1,0,1,2,3【解析】B=x|(x+1)(x-2)0,xZ=x|-1x2,xZ=0,1,又A=1,2,3,所以AB=0,1,2,3.【答案】C 5.(2016 年浙江卷)已知集合P=xR|1x3,Q=xR|x24,则P(RQ)=().A.2,3 B.(-2,3 C.1,2)D.(-,-21,+)【解析】Q=xR|x24,RQ=xR|x24=x|-2x2.P=xR|1x3,P(RQ)=x|-2x3=(-2,3.【答案】B 6.(2017 年浙江卷)已知集合P=x|-1x1,Q=x|0 x2,那么PQ=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】P=x|-1x1,Q=x|0 x2,PQ=x|-1x2n,则p为().A.nN,n22n B.nN,n22n C.nN,n22n D.nN,n2=2n【解析】因为“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)”,所以命题“nN,n22n”的否定是“nN,n22n”.故选 C.【答案】C 11.(2014 年全国卷)不等式组+1,-2 4的解集记为D,有下面四个命题:p1:(x,y)D,x+2y-2;p2:(x,y)D,x+2y2;p3:(x,y)D,x+2y3;p4:(x,y)D,x+2y-1.其中的真命题是().A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由+=1,-2=4,得交点A(2,-1).-12-1,观察直线x+y=1 与直线x+2y=0 的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值 0y=-2+2,2表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C 12.(2014 年湖南卷)已知命题p:若xy,则-xy,则x2y2.在命题pq;pq;p(q);(p)q中,真命题是().A.B.C.D.【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则p为假命题,q为真命题.故pq为假命题,pq为真命题,p(q)为真命题,(p)q为假命题.所以选 C.【答案】C 13.(2015 年山东卷)若“x0,4,tan xm”是真命题,则实数m的最小值为 .【解析】函数y=tan x在0,4上是增函数,ymax=tan4=1.依题意,mymax,即m1,m的最小值为 1.【答案】1 高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.1.1 集合 一 集合的概念 1.集合中元素的特征:、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作 ;b不属于集合A,记作 .3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或 N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系 子集:AB或 .真子集:AB或 .集合相等:AB且BAA=B.空集是 集合的子集,是 集合的真子集.二 集合的性质 1.集合的运算(1)交集:AB=x|xA且xB.(2)并集:AB=x|xA或xB.(3)补集:UA=x|xU且xA.2.需要特别注意的运算性质和结论 A=A,A=,A(UA)=,A(UA)=U;AB=AAB,AB=ABA.左学右考 1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“”.(1)若集合A=x|y=x2,B=y|y=x2,C=(x,y)|y=x2,则A,B,C表示同一个集合.()(2)若x2,1=0,1,则x=0,1.()(3)若AB=AC,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(AB)(AB)成立.()2 若集合A=xN|x10,a=22,则下列结论正确的是().A.aA B.aA C.aA D.aA 3 集合A=x|x-20,B=x|xa,若AB=A,则实数a的取值范围是 .知识清单 一、1.确定性 互异性 2.aA bA 5.BA BA 任何 任何非空 基础训练 1.【解析】(1)错误,A=R,B=0,+),C=(x,y)|y=x2表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(AB)(AB)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)(2)(3)(4)2.【解析】因为a=22=8N,所以aA,故选 D.【答案】D 3.【解析】集合A=x|x-20=x|x2,B=x|xa,因为AB=A,所以AB,所以a2.【答案】2,+)题型一 集合的概念 【例 1】已知集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系:a=1;b1;c=2;d4 中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .【解析】若只有正确,即a=1,则b1 不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为 6.【答案】6 研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【变式训练 1】(1)已知集合A=0,1,2,则集合B=x-y|xA,yA中元素的个数是().A.1 B.3 C.5 D.9(2)(2017 山东实验中学模拟)设集合A=x|(x-a)21,且2A,3A,则实数a的取值范围为 .【解析】(1)A=0,1,2,B=x-y|xA,yA=0,-1,-2,1,2.集合B中有 5 个元素.(2)由题意得(2-)2 1,(3-)2 1,即1 3,2 或 4,故 1a2.【答案】(1)C(2)(1,2 题型二 集合间的基本关系 【例 2】已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是 .【解析】当B=时,有m+12m-1,则m2.当B时,若BA,则+1 2,2-17,+1 2-1,解得 20,则下列结论正确的是().A.AB=R B.AB C.ARB D.ARB(2)(2017 湖南师大附中模拟)已知集合A=x|=2-2,xR,B=1,m,若AB,则m的值为().A.2 B.-1 C.-1 或 2 D.2 或2【解析】(1)A=x|x2 或x-2,B=x|-1x0,B=|2-30=x|1x2,B=|2-3 0=|0 x 32,RA=x|x1 或x2,BRA=x|0 x1,故选 D.【答案】D 在进行集合的运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴求解,使抽象问题直观化.【变式训练 3】(1)(2017 郑州调研)设集合 M=x|x2=x,N=x|lg x0,则 MN=().A.0,1 B.(0,1 C.0,1)D.(-,1(2)(2017太原一模)已知全集 U=R,集合M=x|(x-1)(x+3)0,N=x|x|1,则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.-1,1)B.(-3,1 C.(-,-3)-1,+)D.(-3,-1)【解析】(1)M=x|x2=x=0,1,N=x|lg x0=x|0 x1,MN=0,1.(2)由题意可知,M=(-3,1),N=-1,1,阴影部分表示的集合为M(UN)=(-3,-1).【答案】(1)A(2)D 方法 数形结合思想在集合中的应用 对于集合的运算,常借助数轴、Venn 图求解.【突破训练】向 50 名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的35,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3 人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的13多 1 人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【解析】赞成A地重建的专家人数为 5035=30,赞成B地重建的专家人数为 30+3=33.如图,记 50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为3+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为 30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为 33-x.依题意,(30-x)+(33-x)+x+(3+1)=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有 21 人,都不赞成的专家有 8 人.1.(2017 潍坊模拟)已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0 x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为().A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由x2-3x+2=0,得x=1 或x=2,A=1,2.由题意知B=1,2,3,4,满足条件的集合C可以是1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,共 4 个.【答案】D 2.(2017 南昌月考)设集合P=a2,log2a,Q=2a,b,若PQ=0,则PQ=().A.0,1 B.0,1,2 C.0,2 D.0,1,2,3【解析】PQ=0,0P,只能 log2a=0,a=1,a2=1.又 0Q,2a=21=20,b=0.故P=0,1,Q=2,0,PQ=0,1,2.【答案】B 3.(2017 河南八市重点高中质检)已知U=1,4,6,8,9,A=1,6,8,B=4,6,则A(UB)等于().A.4,6 B.1,8 C.1,4,6,8 D.1,4,6,8,9【解析】因为U=1,4,6,8,9,A=1,6,8,B=4,6,所以UB=1,8,9,因此A(UB)=1,8.【答案】B 4.(2017 湖南省东部六校联考)已知集合M=-2,-1,0,1,N=|12 2 4,xZ,则MN=().A.-2,-1,0,1,2 B.-1,0,1,2 C.-1,0,1 D.0,1【解析】由122x4,解得-1x2.又xZ,N=-1,0,1,2,MN=-1,0,1.【答案】C 5.(2017 石家庄教学质检(二)已知集合M=-1,1,N=|1 2,则下列结论正确的是().A.NM B.MN C.MN=D.MN=R【解析】1-20,解得x12,N=(-,0)(12,+).又M=-1,1,B 正确,A,C,D 错误.【答案】B 6.(2017 山东临沂质检)已知全集U=R,集合A=x|x2-3x+20,B=x|x-a0,若UBA,则实数a的取值范围是().A.(-,1)B.(-,2 C.1,+)D.2,+)【解析】因为x2-3x+20,所以x2 或x2 或xa.因为UBA,借助数轴可知a2,所以选 D.【答案】D 7.(2017 开封市一模)设集合A=n|n=3k-1,kZ,B=x|x-1|3,则A(RB)=().A.-1,2 B.-2,-1,1,2,4 C.1,4 D.【解析】由|x-1|3,得x-13 或x-14 或x4 或x-2,RB=x|-2x4.当k=-1 时,n=-4;当k=0 时,n=-1;当k=1 时,n=2;当k=2 时,n=5.所以A(RB)=-1,2.【答案】A 8.(2017 江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A=x|0 x5,xU,B=x|x1,xU,则A(UB)=.【解析】A=x|0 x1,xU=2,3,4,5,则A(UB)=2,3,4.【答案】2,3,4 9.(2017 山西考前质检)已知全集U=xZ|-2x4,A=-1,0,1,2,3.若BUA,则集合B的个数是 .【解析】由题意得U=-2,-1,0,1,2,3,4,所以UA=-2,4,所以集合B的个数是 22=4.【答案】4 10.(2017 山东枣庄一模)已知集合A=x|(x+1)(x-2)0,B=x|log3(2-x)1,则A(RB)=().A.B.x|x2 或x-1 C.x|x-1 D.x|x2 或x-1【解析】集合A=x|(x+1)(x-2)0=x|x2 或x-1,B=x|log3(2-x)1=x|-1x2,RB=x|x2 或x-1,则A(RB)=x|x2 或x2,A=y|y2.由-x2+x+20,即x2-x-20,解得-1x2,B=x|-1x2.AB=.【答案】D 12.(2017上海市七宝中学模拟)设M=a|a=x2-y2,x,yZ,则对任意的整数n,形如 4n,4n+1,4n+2,4n+3 的数中,不是集合M中的元素是().A.4n B.4n+1 C.4n+2 D.4n+3【解析】4n=(n+1)2-(n-1)2,4nM.4n+1=(2n+1)2-(2n)2,4n+1M.4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,4n+3M.若 4n+2M,则存在x,yZ 使得x2-y2=4n+2,4n+2=(x+y)(x-y).x+y和x-y的奇偶性相同,若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而 4n+2 是偶数;若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被 4 整除,而 4n+2 不能被 4 整除,4n+2M.【答案】C 13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A=x|0 x2,集合B=x|-1x0,若(AB)C,则实数m的取值范围为().A.m|-2m1 B.|-12 m 1 C.|-1 12 D.|-12 m 14【解析】由题意得AB=x|-1x0,(AB)C,当m0 时,x-1,-12,m-12,-12m0 时,x-1,-1-1,m1,0m1.综上可知,实数m的取值范围为|-12 m 1.【答案】B 14.(2017 上海中学高考模拟)集合S=1,2,3,4,5,6,A是S的一个子集,当xA时,若x-1A,x+1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有 4 个元素的子集的个数是 .【解析】S中无“孤立元素”且含有 4 个元素的子集是1,2,3,4,1,2,4,5,1,2,5,6,2,3,4,5,2,3,5,6,3,4,5,6,共 6 个.【答案】6 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 一 命题 用语言、符号或式子表达的,可以 的陈述句叫作命题,其中 的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.二 四种命题及其相互关系 1.四种命题间的相互关系 2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 .三 充分条件与必要条件 1.如果pq,那么p是q的 条件,q是p的 条件.2.如果pq,那么p是q的 条件.3.如果p/q且q/p,那么p是q的 条件.左学右考 1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“”.(1)“x2+2x-30”是命题.()(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()2 若条件p:|x|2,条件q:xa,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是 .3 已知,是两个平面,直线l,则“”是“l”的().A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 知识清单 一、判断真假 判断为真 判断为假 二、1.若q,则p 若q,则p 2.(1)相同(2)没有关系 三、1.充分 必要 2.充要 3.既不充分也不必要 基础训练 1.【解析】(1)错误,“x2+2x-31,则x21”的否命题 B.命题“若xy,则x|y|”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若11,则x1”的逆否命题【解析】对于 A,否命题为“若x1,则x21”,易知当x=-2 时,x2=41,故否命题为假命题;对于 B,逆命题为“若x|y|,则xy”,其为真命题;对于 C,否命题为“若x1,则x2+x-20”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于 D,逆否命题为“若x1,则11”,易知其为假命题.故选 B.【答案】B 当一个命题不易直接判断其真假时,直接判断该命题的真假可转化为判断其等价命题的真假.【变式训练 1】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如下,则正确的是().A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i 时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.【答案】B 题型二 充分条件、必要条件的判断 【例 2】下列说法正确的是().A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 B.p:AB=A,q:AB,则p是q的充分不必要条件 C.已知数列an,若p:对于任意的nN*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1 上,q:an为等差数列,则p是q的充要条件 D.“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件【解析】A 错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1 或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.B 错误,由AB=A,得 AB,所以p是q的必要不充分条件.C 错误,因为点Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an=2n+1(nN*),则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列an是公差为 2 的等差数列,即pq.反之则不成立,如:令an=n,则an为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1 上,从而q/p.所以p是q的充分不必要条件.D 正确,因为 ln(x+1)00 x+11-1x0,所以“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.故选 D.【答案】D 判断充分条件、必要条件的方法有定义法,集合法,等价转化法.【变式训练 2】“a0”是“函数f(x)=|x-a|+|x|在区间0,+)上为增函数”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当a0 时,x0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;当a=0 时,f(x)=2|x|,其在区间0,+)上为增函数,所以必要性不成立.故选 A.【答案】A 题型三 充分条件、必要条件的应用 【例 3】方程ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是().A.0a1 B.a1 C.a1 D.0a1 或a0【解析】当a=0 时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根.当a0 时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是=4-4a0,即a1.设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-2,x1x2=1,当方程有一个负实根和一个正实根时,有 1,1 0a0;当方程有两个负实根时,有 1,-2 0,0 0 综上所述,a1.【答案】C 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.【变式训练 3】(2017 常德一中月考)若“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件,则a的最小值为 .【解析】由x2-x-60,解得x3.因为“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件,所以x|xa是x|x3的真子集,即a3,故a的最小值为 3.【答案】3 方法 集合与充分条件、必要条件“联手”求参数 集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.设集合A=x|x满足条件p,B=x|x满足条件q,则有:1.若AB,则p是q的充分条件;若AB,则p是q的充分不必要条件.2.若BA,则p是q的必要条件;若BA,则p是q的必要不充分条件.3.若A=B,则p是q的充要条件.【突破训练】已知p:|1-13|2,q:1-mx1+m(m0),且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .【解析】由|1-13|2,得-2x10,所以p对应的集合为x|x10 或x10 或x0),所以q对应的集合为x|xm+1 或x0.设B=x|xm+1 或x0.因为p是q的必要不充分条件,所以BA,所以 0,1 2,1+10,且不能同时取得等号,解得m9,所以实数m的取值范围为9,+).【答案】9,+)1.(2017 大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是().A.“若a,b,c成等比数列,则b2ac”B.“若a,b,c不成等比数列,则b2ac”C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”D.“若b2ac,则a,b,c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2ac,则a,b,c不成等比数列”.【答案】D 2.(2017 合肥市第一次教学质量检测)“x2”是“x2+2x-80”成立的().A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由x2+2x-80,解得x2,所以“x2”是“x2+2x-80”成立的充分不必要条件,故选 B.【答案】B 3.(2017 江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是().A.若x2,则(x-2)(x+1)0 B.若x2+y24,则xy=2 C.若x+y=2,则xy1 D.若ab,则ac2bc2【解析】A 错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)0,则x2”,显然错误;B 正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y24”,由基本不等式可知正确;C 错误,其逆命题为“若xy1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy1,但x+y2;D 错误,其逆命题为“若ac2bc2,则ab”,如c=0,满足ac2bc2,但不一定得到ab.故选 B.【答案】B 4.(2017 上海模拟)原命题“若ABB,则ABA”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是().A.0 B.1 C.2 D.4【解析】由题意可知,否命题为“若AB=B,则AB=A”,其为真命题;逆否命题为“若AB=A,则AB=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选 D.【答案】D 5.(2017 南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0 与直线 3x+my+9=0 垂直”的().A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0 与直线 3x+my+9=0 垂直可知 3m+m(2m-1)=0,m=0 或m=-1,“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0 与直线 3x+my+9=0 垂直”的充分不必要条件.【答案】B 6.(2017 西安调研)“sin=cos”是“cos 2=0”的().A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】cos 2=0 等价于 cos2-sin2=0,即 cos=sin.故“sin=cos”是“cos 2=0”的充分不必要条件.【答案】B 7.(2017 山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m,n,则“nm”是“n”的().A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由nm,推不出n.由n,能推出nm.因此,“nm”是“n”的必要不充分条件.【答案】A 8.(2017 荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为().“若一个整数的末位数字是 0,则这个整数能被 5 整除”的逆命题;“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】对于,“若一个整数的末位数字是 0,则这个整数能被 5 整除”的逆命题为“若一个整数能被 5 整除,则这个整数的末位数字是0”,故为假命题;对于,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知为真命题;对于,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知为真命题;对于,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即是假命题.故选 B.【答案】B 9.(2017 华北十校模拟)有下列三个命题:“面积相等的三角形全等”的否命题;“若m1,则x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题;“若AB=B,则AB”的逆否命题.其中真命题是 .(填写所有真命题的序号)【解析】对于,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题;对于,若x2-2x+m=0 有实数解,则=4-4m0,解得m1,所以“若m1,则x2-2x+m=0 有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于,若AB=B,则BA,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.【答案】10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+)上单调递增,q:|m-2|0,解得m=2.由|m-2|1,解得1m1”是真命题 B.逆否命题“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”是真命题 C.逆否命题“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”是假命题【解析】f(x)=ex-mx,f(x)=ex-m.又f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)=ex-m0 在(0,+)上恒成立,m1,原命题是真命题,其逆否命题“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”也是真命题,B正确,C,D 错误.A 错误,否命题应为“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数,则m1”.故选 B.【答案】B 13.(2017山东潍坊模拟)若“ma”是“函数f(x)=(13)+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .【解析】函数f(x)=(13)+m-13的图象不过第三象限,1+m-130,解得m-23.“ma”是“函数f(x)=(13)+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,a-23.【答案】(-,-23)14.(2017 上海市风华中学期中)定义:若m-12xm+12(mZ),则m叫作离实数x最近的整数,记作x,即m=x.给出关于函数f(x)=x-x的四个命题:定义域为 R,值域为(-12,12;点(k,0)(kZ)是函数f(x)图象的对称中心;函数f(x)的最小正周期为 1;函数f(x)在(-12,32上是增函数.其中,真命题的序号是 .【解析】令x=m+a,a(-12,12,则f(x)=x-x=a(-12,12,正确.令k=0,f(12)=12-12=12,f(-12)=-12-12=-12+1=12,f(12)-f(-12),即函数f(x)不关于点(0,0)对称,错误.f(x+1)=(x+1)-x+1=x-x=f(x),函数f(x)的最小正周期为 1,正确.当x=32时,m=1,f(32)=12,当x=12时,m=0,f(12)=12,f(32)=f(12),错误.【答案】1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一 简单的逻辑联结词 1.命题中的“”“”“”叫作逻辑联结词.2.命题pq,pq,p的真假判定 p q pq pq p 真 真 真 假 假 真 假 假 二 全称命题与存在命题 1.全称量词:短语“”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“”表示.2.全称命题:含有 的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 .3.存在量词:短语“”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 .三 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 xM,p(x)x0M,p(x0)左学右考 1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“”.(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和p不可能都是真命题.()2 命题p:对任意xR,sin xx2;存在x0R,02-x0+10;存在一个四边形,它的对角线互相垂直.以上命题的否定中,真命题为 .(填序号)4 下列命题中的假命题是().A.xR,2x-10 B.xN*,(x-1)20 C.x0R,ln x00 对xR 恒成立,所以选项 A 中的命题是真命题;当x=1 时,(x-1)2=0,所以选项 B 中的命题是假命题;存在 0 x0e,使得 ln x00.给出下列结论:命题“pq”是真命题;命题“p(q)”是假命题;命题“(p)q”是真命题;命题“(p)(q)”是假命题.其中结论正确的是().A.B.C.D.【解析】因为521,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=(+12)2+34340,所以命题q是真命题.故结论正确.【答案】A 题型二 全称命题与特称命题 【例 2】下列命题中的真命题是().A.存在xR,使得 sin x+cos x=32 B.对任意x(0,+),exx+1 C.存在x(-,0),2xcos x【解析】因为 sin x+cos x=2sin(+4)232,所以 A 错误;当x0 时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故 C 错误;当x(0,4)时,sin xcos x,故 D 错误.所以选 B.【答案】B 对全(特)称命题进行否定的方法:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;对原命题的结论进行否定.【变式训练 2】已知命题p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则p是().A.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0 B.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0 C.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0 D.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0【解析】由命题的否定的定义可得,p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m2 B.m-2 C.m-2 或m2 D.-2m2【解析】依题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+10 恒成立,则有m0;当q是真命题时,=m2-40,即-2m2.因此由p,q均为假命题得 0,2 或 2,即m2.【答案】A 方法 分类讨论思想在命题真假判断中的应用 【突破训练】(2017 福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1 的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是 .【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以12-21+a 0,得 0a0,得4a2-12a+50,解得a52.因为p且q是假命题,p或q是真命题,所以p,q一真一假.若p真q假,则0 1,12 a 52,解得12a1;若p假q真,则 0 或 1,52,解得a0 或a52.故实数a的取值范围是a0 或12a52.【答案】a0 或12a52 1.(2017 吉林长春第一次质检)命题“x00,使得20(x0-a)1”的否定是().A.x0,2x(x-a)1 B.x0,2x(x-a)1 C.x0,2x(x-a)1 D.x0,2x(x-a)1【解析】该命题的否定为“x0,2x(x-a)1”,故选 B.【答案】B 2.(银川一中 2018 届月考)下列命题中的真命题是().A.x0R,e00 B.xR,2xx2 C.“a+b=0”的充要条件是“=-1”D.“a1,b1”是“ab1”的充分条件【解析】因为y=ex0(xR)恒成立,所以 A 不正确;因为当x=-5 时,2-5x2不成立,所以 B 不正确;当a=b=0 时,a+b=0,但是没有意义,所以 C 不正确;“a1,b1”是“ab1”的充分条件,显然正确.故选 D.【答案】D 3.(2017 凯里一中联考)一道数学试题,甲、乙两位同学独立完成.设命题p是“甲同学解出试题”,命题q是“乙同学解出试题”,则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为().A.(p)(q)B.p(q)C.(p)(q)D.pq【解析】由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”,故此命题可以表示为(p)(q).【答案】A 4.(2017 黑龙江大庆实验中学模拟)已知命题p:若a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的充分不必要条件;命题q:“xR,x2+23x”的否定是“xR,x2+2b”是“a2b2”的充分不必要条件,是假命题;“xR,x2+23x”的否定是“xR,x2+23x”,故命题q:“xR,x2+23x”的否定是“xR,x2+23x”,是假命题.故(p)(q)是真命题.【答案】D 5.(2017 吉林实验中学第二次模拟)下列说法正确的是().A.若pq为真命题,则pq为真命题 B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件 C.命题“若x0”的否命题为“若x-1,则x2-2x-30”D.已知命题p:xR,x2+x-10”的否定是“存在xR,ex0”B.命题“已知x,yR,若x+y3,则x2 或y1”的逆否命题是真命题 C.“x2+2xax在x1,2上恒成立”“(x2+2x)min(ax)max在x1,2上恒成立”D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点”的逆命题为真命题【解析】A 错误,该命题的否定是“存在xR,ex0”.B 正确,原命题的逆否命题为“已知x,yR,若x=2,y=1,则x+y=3”,易知其为真命题.C 错误,分析题意可知,不等式两边的最值不一定在同一个点取到.D错误,若函数f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点,则当a=0 时,符合题意;当a0 时,=4+4a=0,a=-1.故原命题的逆命题是假命题.【答案】B 7.(2017 湖南衡阳四中月考)已知命题p:xR,有 sin x1,则p是 .【解析】命题p为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题,得p:xR,有 sin x1.【答案】xR,有 sin x1 8.(柳州市 2018 届月考)已知命题p:对任意x0,1,aex;命题q:存在xR,使得x2+4x+a=0.若命题p且q是真命题,则实数a的取值范围是 .【解析】若命题p且q是真命题,则命题p,q都是真命题.由对任意x0,1,aex,得ae;由存在xR,使得x2+4x+a=0,知=16-4a0,得a4.因此 ea4.【答案