【2023春】人教版九年级数学中考压轴试题(含答案解析)57825.pdf

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1（6 分）如图 1，点 C 是O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作 CDAB 交O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交O 于点 N已知 AB=6cm，AM=2cm，设线段 AC 的长度为 xcm，线段 MN 的长度为 ycm 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 4 3.3 2.8 2.5 3 2.1 2（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AC=MN 时，x 的取值约为 2.7 cm【分析】（1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN 利用勾股定理求出 DM，致力于相似三角形的性质求出 MN 即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象寻找图象与直线 y=x 的交点的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN AC=4，OA=3，OC=1，在 RtOCD 中，CD=，在 RtCDM 中，DM=，由AMNDMB，可得 DMMN=AMBM，MN=3，故答案为 3 （2）函数图象如图所示，（3）观察图象可知，当 AC=MN 上，x 的取值约为 2.7 故答案为 2.7【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、描点法画函数图象等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 2（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点 P（x1，y），Q（x2，y），且满足 x1x2，结合函数图象回答问题；当 y=3 时，直接写出 x2x1的值；当 2x2x13，求 y 的取值范围 【分析】（1）利用图中信息，根据待定系数法即可解决问题；（2）求出 y=3 时的自变量 x 的值即可解决问题；（3）当 x2x1=3 时，易知 x1=，此时 y=2+3=，可得点 P 坐标，由此即可解决问题；【解答】解：（1）由图象知抛物线与 x 轴交于点（1，0）、（3，0），与 y 轴的交点为（0，3），设抛物线解析式为 y=a（x1）（x3），将（0，3）代入，得：3a=3，解得：a=1，抛物线解析式为 y=（x1）（x3）=x24x+3；（2）当 y=3 时，x24x+3=3，解得：x1=0，x2=4，x2x1=4；当 x2x1=3 时，易知 x1=，此时 y=2+3=观察图象可知当 2x2x13，求 y 的取值范围 0y【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 3（8 分）以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN2，我们规定：N1PN2为点 P 的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，PN2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，3）（1）当点 P 的摇摆角为 60时，请判断 O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C（填写字母即可）；（2）如果过点 D（1，0），点 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90；（3）W 的圆心坐标为（a，0），半径为 1，如果W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，求 a 的取值范围 【分析】（1）根据点 P 的摇摆区域的定义出图图形后即可作出判断；（2）根据题意分情况讨论，然后根据对称性即可求出此时点 P 的摇摆角；（3）如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，此时W 与射线 PN1相切，设直线 PN1与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，根据特殊角锐角三角函数即可求出 OM，OW 的长度，从而可求出 a 的范围【解答】解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，将 O、A、B、C 四点在平面直角坐标系中描出，后，可以发现，B、C 在点 P 的摇摆区域内，故属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C（2）如图所示，当射线 PN1过点 D 时，由对称性可知，此时点 E 不在点 P 的摇摆区域内，当射线 PN2过点 E 时，由对称性可知，此时点 D 在点 P 的摇摆区域内，易知：此时 PQ=QE，EPQ=45，如果过点 D（1，0），点 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90（3）如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，此时W 与射线 PN1相切，设直线 PN1与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，由定义可知：PMW=60，NW=1，PQ=3，sinPMW=，tanPMW=MW=，MQ=，OM=2，OW=OM+MW=2+=2 此时 W 的坐标为：（2，0）由对称性可知：当W 与射线 PN2相切时，此时 W 的坐标为：（2+，0）a 的范围为：2a2+【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，锐角三角函数，圆的切线判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识需要学生灵活运用知识 4（5 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合），CAD=B（1）求证：AC 是半圆 O 的切线；（2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 EF=4，AD=6，求 BD 的长 【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 欲证 AC 是半圆 O 的切线，只需证明CAB=90即可；（2）由相似三角形的判定定理 AA 可以判定AEFBAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得 BD 的长即可【解答】解：（1）AB 是半圆直径，BDA=90，B+DAB=90，又DAC=B，DAC+DAB=90，即CAB=90，AC 是半圆 O 的切线（2）由题意知，OEBD，D=90，D=AFO=AFE=90，OEAD，AFE=D=AFO=90，AF=AD=3，又AD=6 AF=3 又B=DAE，AEFBAD，=，而 EF=4，解得 BD=【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 5（7 分）已知一次函数 y1=x1，二次函数 y2=x2mx+4（其中 m4）（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：若 m=5，求当 y10 且 y20 时，自变量 x 的取值范围；如果满足 y10 且 y20 时自变量 x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）把 m=5 代入 y2，画图象，并求与 x 轴交点 A、B、C 三点的坐标，根据图象可得结论；根据题意结合图象可知 x=3，把 x=3 代入 y2=x2mx+40，当 x=4时，y2=x2mx+40 即可求得 m 的取值；【解答】解：（1）y2=x2mx+4=（x）2+4，二次函数图象的顶点坐标为：（，+4）（2）当 m=5 时，y1=x1，y2=x25x+4（4 分）如图，当 y1=0 时，x1=0，x=2，A（2，0），当 y2=0 时，x25x+4=0，解得：x=1 或 4，B（1，0），C（4，0），因为 y10，且 y20，由图象，得：2x4 （5 分）当 y10 时，自变量 x 的取值范围：x2，如果满足y10且y20 时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，x=3，当 x=3 时，y2=323m+40，解得 m，当 x=4 时，y20，即 164m+40，m5，m 的取值范围是：m5（7 分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想 6（8 分）已知：如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点，过点 C 作 AB 的平行线交O 于点 E，连接 AC、BC、AE，EB过点 C作 CGAB 于点 G，交 EB 于点 H（1）求证：BCG=EBG；（2）若 sinCAB=，求的值 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在 RtHGB 与 RtBCG 中，利用三角函数的性质，即可求得的值【解答】证明：（1）AB 是直径，ACB=90，CGAB 于点 G，ACB=CGB=90 CAB=BCG，CEAB，CAB=ACE BCG=ACE 又ACE=EBG BCG=EBG，（2）sinCAB=，由（1）知，HBG=EBG=ACE=CAB 在 RtHGB 中，由（1）知，BCG=CAB 在 RtBCG 中，设 GH=a，则 GB=2a，CG=4aCH=CGHG=3a，ECAB，ECH=BGH，CEH=GBH ECHBGH，【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等此题综合性较强，属于中考常考题，解题时要注意数形结合思想的应用