选修2-1第三章空间向量与立体几何(B)2897.pdf
梦想不会辜负每一个努力的人.1 选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何(B)一、选择题 1、已知 a3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，则a，b等于()A30 B60 C90 D45 2、空间四个点 O、A、B、C，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是()AO、A、B、C 四点不共线 BO、A、B、C 四点共面，但不共线 CO、A、B、C 四点中任意三点不共线 DO、A、B、C 四点不共面 3、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的余弦值为()A.12 B.32 C.13 D.33 4、已知 A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为()A30 B45 C60 D90 5、已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若xy，则 x，y 的值分别为()Ax1，y1 Bx1，y12 Cx12，y12 Dx12，y13 6、设 E，F 是正方体 AC1的棱 AB 和 D1C1的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面 A1ECF 成60角的对角线的数目是()A0 B2 C4 D6 7、已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)且 ab2，则 x 的值是()A3 B4 C5 D6 8、设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD 是()A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 9、正三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于()梦想不会辜负每一个努力的人.2 A30 B45 C60 D90 10、若向量 a(2,3，)，b1，1，63的夹角为 60，则 等于()A.2312 B.612 C.23 612 D23 612 11、已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当取得最小值时，点 Q 的坐标为()A.12，34，13 B.12，32，34 C.43，43，83 D.43，43，73 12、已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面 ABCD 的法向量；.其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4 二、填空题 13、若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则 x_.14、若 A0，2，198，B1，1，58，C2，1，58是平面 内的三点，设平面 的法向量 a(x，y，z)，则 xyz_.15、平面 的法向量为 m(1,0，1)，平面 的法向量为 n(0，1,1)，则平面 与平面 所成二面角的大小为_ 16、在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，点 D 是 A1C1的中点，则异面直线 AD 和 BC1所成角的大小为_ 梦想不会辜负每一个努力的人.3 三、解答题 17、如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB2，BC4，E 是 PD 的中点 (1)求证：平面 PDC平面 PAD；(2)求点 B 到平面 PCD 的距离 18、如图，已知 ABCDA1B1C1D1是平行六面体设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC1B1对角线 BC1上的34分点，设，试求、的值 梦想不会辜负每一个努力的人.4 19、如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2a 的菱形，且 SASC2a，SBSD 2a，点 E 是 SC 上的点，且 SEa(00.B 为锐角，同理，C，D 均为锐角，BCD 为锐角三角形 9、C 建系如图，设 AB1，则 B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)(1,0,1)，(0,1,1)cos，梦想不会辜负每一个努力的人.8 12 212.，60，即异面直线 BA1与 AC1所成的角等于 60.10、C a(2,3，)，b1，1，63，ab631，|a|213，|b|2 63，cosa，bab|a|b|6312132 6312.23 612.11、C Q 在 OP 上，可设 Q(x，x,2x)，则(1x，2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x43时，最小，这时 Q43，43，83.12、C 2240，APAB，正确；440，APAD，正确；由知是平面 ABCD 的法向量，正确，错误 二、填空题 13、2 解析 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)(2b)2(1x)2，x2.14、23(4)解析 1，3，74，2，1，74，梦想不会辜负每一个努力的人.9 由 a0，a0，得 x23yz43y，xyz23yy43y 23(4)15、60或 120 解析 cosm，nmn|m|n|12 212，m，n120，即平面 与 所成二面角的大小为 60或 120.16、6 解析 建立如图所示坐标系，则(1,1，2)，(0,2，2)，cos，62 2632，6.即异面直线 AD 和 BC1所成角的大小为6.三、解答题 17、梦想不会辜负每一个努力的人.10 (1)证明 如图，以 A 为原点，AD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)(4,0，2)，(0，2,0)，(0,0，2)设平面 PDC 的一个法向量为 n(x，y,1)，则 2y04x20 y0 x12，所以平面 PCD 的一个法向量为12，0，1.PA平面 ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面 PAD.平面 PAD 的法向量为(0,2,0)n0，n.平面 PDC平面 PAD.(2)解 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为n|n|55，0，2 55.梦想不会辜负每一个努力的人.11 4，0，055，0，2 554 55，点 B 到平面 PCD 的距离为4 55.18、解 1234 12()34()12()34()12123434 121434，12，14，34.19、(1)证明 连结 BD，AC，设 BD 与 AC 交于 O.由底面是菱形，得 BDAC.SBSD，O 为 BD 中点，梦想不会辜负每一个努力的人.12 BDSO.又 ACSOO，BD面 SAC.又 AE面 SAC，BDAE.(2)解 由(1)知 BDSO，同理可证 ACSO，SO平面 ABCD.取 AC 和 BD 的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系，设 SOx，则 OA4a2x2，OB2a2x2.OAOB，AB2a，(4a2x2)(2a2x2)4a2，解得 xa.OA 3a，则 A(3a,0,0)，C(3a,0,0)，S(0,0，a)SC平面 EBD，是平面 EBD 的法向量(3a,0，a)，(3a,0，a)设 SA 与平面 BED 所成角为，则 sin|3a2a2|31a31a12，梦想不会辜负每一个努力的人.13 即 SA 与平面 BED 所成的角为6.20、(1)证明 连结 BD，设 AC 交 BD 于点 O，由题意知 SO平面 ABCD，以 O 点为坐标原点，、分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示 设底面边长为 a，则高 SO62a.于是 S(0,0，62a)，D22a，0，0，C0，22a，0，B22a，0，0，0，22a，0，22a，0，62a，0.OCSD，即 ACSD.(2)解 由题意知，平面 PAC 的一个法向量22a，0，62a，平面 DAC 的一个法向量 0，0，62a，梦想不会辜负每一个努力的人.14 设所求二面角为，则 cos 32，故所求二面角 PACD 的大小为 30.(3)解 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.由(2)知是平面 PAC 的一个法向量，且22a，0，62a，0，22a，62a，22a，22a，0,设t，则 t 22a，22a1t，62at.由 0，得 t13，即当 SEEC21 时，而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC.21、解 以 O 为坐标原点，射线 OB，OA，OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐梦想不会辜负每一个努力的人.15 标系 Oxyz.设 B(1,0,0)，则 C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC 的中点 M12，0，12.故12，0，12，12，1，12，(1,0，1)，所以0，0.即 MOSC，MASC.故，为二面角 ASCB 的平面角 cos，33.即二面角 ASCB 的余弦值为33.22、解 a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ab|a|b|1002 51010，a 与 b 的夹角 的余弦值为 1010.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即 2k2k100，k52或 k2.
