长沙市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题(word原卷)3228.pdf

第 1 页 共 9 页 长沙市一中 2022 年高一第二学期期中考试 数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知集合24Axx，2Bx x，则AB R（）A（2，2）B（2，4）C（2，4）D2,2 2复数i1 iz（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3不等式2log311x成立的一个充分不必要条件是（）A1133x B0 x C113x D103x 4如图所示，正方形 OABC的边长为 2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A16cm B8 2cm C8cm D44 3cm 5已知在ABC 中，AB=3，AC=4，5cos8A，则AB BC（）A34 B32 C32 D34 6设 A，B 两点在河的两岸，为测量 A，B 两点间距离，小明同学在 A 的同侧选定一点 C，测出A，C 两点间的距离为 80 米，512ACB，3BAC，请你帮小明同学计算出 A，B 两点间的距离，距离为（）A40 6米 B40 13米 C40 3米 D4026米 7 若函数 f x是定义在 R 上的偶函数，对任意xR，都有11f xf x，且当0,1x时，21xf x，若函数 log2ag xf xx（1a）在区间（1，3）恰有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（）A1,3 B3,5 C3,5 D1,5 8设函数 ln,0sin,04xx xf xxx有 5 个不同的零点，则正实数的取值范围为（）第 2 页 共 9 页 A13 17,44 B13 17,44 C13 17,44 D13 17,44 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，选错的得 0 分）9已知 a，b 表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（）Aa，bab Ba，abb且b Ca，b，a，b D，a，bab 10已知下列四个命题为真命题的是（）A已知非零向量a，b，c，若a b，b c，则a c B若四边形 ABCD 中有ABDC，则四边形 ABCD 为平行四边形 C已知12,3e，24,6e，1e，2e可以作为平面向量的一组基底 D已知向量2,4a，1,2b ，则向量a在向量b上的投影向量为6 12,55 11在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，以下说法中正确的是（）A若AB，则sinsinAB B若 a=4，b=5，c=6，则ABC 为钝角三角形 C若 a=5，b=10，4A，则符合条件的三角形不存在 D若coscosaAbB，则ABC 一定是等腰三角形 12如图，AC 为圆锥 SO 底面圆 O 的直径，点 B 是圆 O 上异于 A，C 的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（）A圆锥 SO 的侧面积为8 2 B三棱锥 SABC 体积的最大值为83 CSAB 的取值范围是,4 3 D若 AB=BC，E 为线段 AB 上的动点，则 SE+CE 的最小值为231 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设向量sin,1a，cos,2b，若a b，则tan_ 14如图 1，一个正三棱柱容器，底面边长为 a，高为 2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图 2，这时水面恰好为中截面，则图 1 中容器内水面的高度是_（答案用 a 表示）第 3 页 共 9 页 15已知直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1 和2 3，此三棱柱的高为3，则该三棱柱的外接球的体积为_ 16如图 ABC 中，点 D，E 是线段 BC 上两个动点，且ADAExAByAC，则9xyxy的最小值为_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知3,2a，2,1b，O 为坐标原点（1）若mab与2ab的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围；（2）当1,1t 时，求atb的取值范围 18（本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，E，F 分别是 BB1，B1C1上的点，且 C1F=2B1F，BE=2B1E （1）证明：点 F 在平面 AD1E 内；（2）若 AA1=2AB=4，求三棱锥 DAD1E 的体积 第 4 页 共 9 页 19（本小题满分 12 分）（1）在复数范围内，求方程22340 xx的解；（2）若复数1z，2z满足12122i2i10zzzz，若1z，2z满足212izz，求出1z，2z 20（本小题满分 12 分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且123CQBPQDPD （1）求证：PQ/平面 A1D1DA；（2）若 R 是 AB 上的点，ARAB的值为多少时，能使平面 PQR/平面 A1D1DA？请给出证明 21（本小题满分 12 分）在22 cosabcB；22234Sabc；23sin12sin2CAB 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设ABC 的面积为 S，已知_（1）求角 C 的值；（2）若 b=4，点 D 在边 AB 上，CD 为ACB 的平分线，CDB 的面积为2 33，求边长 a 的值 第 5 页 共 9 页 22（本小题满分 12 分）已知函数 22f xxmx（mR）（1）对任意的实数，恒有sin10f成立，求实数 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当实数 m 取最小值时，讨论函数 2cos15F xfxa在0,2x时的零点个数 长沙市一中 2022 年高一第二学期期中考试 数学 参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A B B C A 4【解析】直观图正方形O A B C 的边长2cm，2 2O B ，原图形为平行四边形OABC，其中2OA，高4 2OB 3246ABCO 原图形的周长262216()Lcm故选：A 6【解析】ABC中，80AC 米，512ACB，3BAC，所以51234ABC，利用正弦定理得805sinsin124AB，解得6280440(13)22AB，所以计算出A，B两点间的距离为40(13)米 故选：B 7【解析】由题意，令 1x，0，则0 x，1，1()21()1()2xxfxf x 第 6 页 共 9 页 1()1,10()221,01xxxf xx 对任意xR，都有(1)(1)f xf x，令1tx，则1xt，()(2)f tf t，()f x是以 2 为周期的周期函数 故函数()f x在区间(1,3)上的大致图象如下：函数()()log(2)(1)ag xf xxa在区间(1,3)恰有 3 个不同的零点，()yf x的图象与log(2)(1)ayxa在区间(1,3)恰有 3 个不同的交点 根据图，当log(2)ayx经过点(1,1)时，有两个交点，此时log(12)af（1）1，解得3a 当log(2)ayx经过点(3,1)时，有 4 个交点，此时log(32)af（3）1，解得5a 当35a时，恰有 3 个不同的交点，即函数()()log(2)(1)ag xf xxa在区间(1,3)恰有 3 个不同的零点 故选：C 二、多项选择题：本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 10 11 12 ABC AB AC BD 9【解析】a，/bab或a与b相交，故A错误；a，/abb且/b，或b且/b，或/b且b，故B错误；/a，/b，a，/b或与相交，故C错误；由平面与平面平行的性质可知，/，a，/bab，故D正确 故选：ABC 12【解析】在Rt SOC中，2SOOC，2 2SC，则圆锥SO的侧面积为1222 24 22S，故A错误；当B位于AC中点时，ABC面积取最大值，为12222，此时三棱锥SABC体积的最大值为184233，故B正确；当B与C趋于重合时，SAB趋于4，当B与A趋于重合时，ASB趋于 0，SAB趋于2，SAB的取值范围是(4，)2，故C错误；若ABBC，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，则150SBC，在SBC中，2 2SBBC，由余弦定理可得，22(2 2)(2 2)22 22 2cos150SC 第 7 页 共 9 页 38822 22 2()2(31)3，即SECE的最小值为2(31)，故D正确 故选：BD 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）1312 1432a 15323 168 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】（1）由(3,2)a，(2,1)b，所以(32,21)mabmm，2(1,4)ab ；令()(2)0mabab，即32840mm，解得65m，当12m 时，12mabab，2ab与mab方向相反，夹角为平角，不合题意；所以12m ，所以若mab与2ab的夹角为钝角，则m的取值范围是11 6(,)(,)22 5 （2）7 5,265 18【解析】（1）证明：如图，连接1BC EF，在直四棱柱1111ABCDA BC D中，11/C DAB，且11C DAB，四边形11ABC D是平行四边形，11/ADBC 11122C FB FBEB E，即1111113B FB EBCB B，1B EF11B BC，1/EFBC，1/ADEF，1AD EF四点共面，点F在平面1AD E内（2）4 33 19（1）323i4 （2）略 20【解析】（1）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以/BCAD，第 8 页 共 9 页 故PBCPDM，所以23CPBPPMPD，又因为123CQBPQDPD，所以123CQCPQDPM，所以1/PQMD 又1MD 平面11A D DA，PQ 平面11A D DA，故/PQ平面11A D DA（6 分）（2）当ARAB的值为35时，能使平面/PQR平面11A D DA 证明：因为35ARAB，即有23BRRA，故BRBPRAPD，所以/PRDA 又DA 平面11A D DA，PR 平面11A D DA，所以/PR平面11A D DA，又PQPRP，/PQ平面11A D DA 所以平面/PQR平面11A D DA（12 分）21【解析】（1）选22 cosabcB，则由余弦定理可得：222222acbabcac，整理可得222abcab，可得2221cos22abcCab，因为(0,)C，所以3C 选2223()4Sabc，可得22213()sin24abcabC，即2223()sin3cos2abcCCab，所以tan3C，因为(0,)C，可得3C 选23sin()12sin2CAB，可得：3sin2cosCC，可得2sin()26C，可得：sin()16C，因为(0,)C，(66C，7)6，所以62C，可得3C（2）在ABC中，ABCACDBCDSSS，第 9 页 共 9 页 可得111sinsinsin222BC CDBCDCA CDACDCA CBACB，可得134aCDCDa，又12 343CDBSaCD，由可得：2243aa，解得2a，或43a （舍去），所以边长a的值为 2 22【解析】（）任意的实数，可设sin1t，可得 2t，0，由题意可得()0f t恒成立，结合函数()f x的图象为开口向上的抛物线，可得(2)0(0)0ff即(4)0 0()2 0mm，解得0m，即m的取值范围是0，)；（）由（）可得0m，即()2(2)f xx x，()(2cos)154cos(2cos2)15F xfxaxxa，令()0F x，可得15cos(cos1)8axx，0 x，2)，可令cosux，2211()()24f uuuu，11u，当203x时，cosux递减，()yf u在112u递增，即有cos(cos1)yxx在203x时递减，此时124y；当23x时，cosux递减，()yf u在112u 递减，即有cos(cos1)yxx在23x时递增，此时104y；当43x时，cosux递增，()yf u在112u 递减，即有cos(cos1)yxx在43x时递减，此时104y；当423x时，cosux递增，()yf u在112u递增，即有cos(cos1)yxx在423x时递增，此时124y；作出cos(cos1)yxx，0 x，2)的大致图象如右：由图象可得当1528a，即1a 时，函数()F x的零点个数为 1；当15184a 或15028a，即17a 或115a 时，函数()F x的零点个数为 2；当1508a，即15a 时，函数()F x的零点个数为 3；当115048a，即1517a时，函数()F x的零点个数为 4；当1a 或17a 时，函数()F x的零点个数为 0