中考数学专题复习强化练习《数学思想方法》(整理含答案)17729.pdf

1 中考数学专题复习强化练习数学思想方法 类型一 分类讨论思想 将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转(0 360)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E 在 BD 上时，求证：FD CD；(2)当 为何值时，GC GB？画出图形，并说明理由 【分析】(1)先判定四边形BDFA 是平行四边形，可得FD AB，再根据AB CD，即可得出FD CD；(2)当 GC GB 时，点G 在 BC 的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角 的度数【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案 1在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是()A 5 B 4 C 3 D 2 2为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1x15，且x为整数)每件产品的成本是p 元，p 与 x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数(x)1 3 6 10 每件成本p(元)7.5 8.5 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y(件)与 x(天)满足如下关系：2 设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元(1)直接写出p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299 元工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20 元奖金请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二 数形结合思想 某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min 后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口两车距学校的路程s(km)和行驶时间 t(min)之间的函数关系如图所示 请结合图象解决下面问题：3 (1)学校到景点的路程为_ km，大客车途中停留了_ min，a _；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待_分钟，大客车才能到达景点入口【分析】(1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a 的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD 的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km 时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km 的速度与80 km/h 作比较可得结论(4)利用路程速度时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可【自主解答】4 把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决 3如图，二次函数y ax2 bx c 的图象经过点A(1，0)，点B(3，0)，点C(4，y1)，若点 D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数y ax2 bx c 的最小值为4a；若1x24，则0y25a；若y2 y1，则x2 4；一元二次方程cx2 bx a 0 的两个根为1 和13.其中正确结论的个数是()A 1 B 2 C 3 D 4 4如图，矩形ABCD 的顶点A，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数ykx在第一象限内的图象经过点D 交 BC 于点E.若 AB 4，CE 2BE，tanAOD34，则k 的值为()A 3 B 2 3 C 6 D 12 5一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示 5 (1)求 y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”约为100.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直(1)若屏幕上下宽BC 20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG 100 cm，上臂DE 30 cm，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH 72 cm.请判断此时 是否符合科学要求的100？(参考数据：sin 691415，cos 211415，tan 20411，tan 431415，所有结果精确到个位)【分析】(1)在 RtABC中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交 DG 于点I，利用三角函数求得DEI即可求得 的值，从而作出判断【自主解答】6 把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等 6如图，正方形ABCD 内接于O，O的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E，交AD 的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是()A 4 4 B 4 8 C 8 4 D 8 8 7则a1a6，则a21a2值为_ 8随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成A，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程已知CAB30，CBA45，AC 640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：31.7，21.4)7 类型四 方程思想 如图，C，D 是以AB 为直径的O上的点，AC BC，弦CD 交 AB 于点E.(1)当 PB 是O的切线时，求证：PBDDAB；(2)求证：BC2 CE2CEDE；(3)已知OA 4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长【分析】(1)由 AB 是O的直径知BADABD90，由PB 是O的切线知PBDABD90，据此可得证；(2)连接OC，设圆的半径为r，证ADECBE，由AC BC知AOCBOC90，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC，CE，再根据BC2 CE2CEDE计算可得【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化 9若正多边形的内角和是1 080，则该正多边形的边数是_ 10如图，已知正方形DEFG 的顶点D，E 在ABC的边BC 上，顶点G，F 分别在边AB，AC上如果BC 4，ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_ 8 类型五 函数思想 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1 时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.求y 关于x 的函数解析式；当y3 时，求x 的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)直接利用矩形面积求法进而得出y 与 x 之间的关系；直接利用y3 得出x的取值范围；(2)直接利用x y 的值结合根的判别式得出答案【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型求出函数解析式结合函数解析式与函数的性质作出解答要注意从几何和代数两个角度思考问题 11如图，已知抛物线y ax2 bx6(a0)与x 轴交于点A(3，0)和点B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线y 的函数解析式及点C 的坐标；(2)点 M 为坐标平面内一点，若MA MB MC，求点M 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tanABE11tanACB？若存在，求出满足条件的所有点E 的坐标；若不存在，请说明理由 9 参考答案 类型一【例1】(1)如图1，连接AF.由四边形ABCD 是矩形，结合旋转可得BD AF，EAFABD.ABAE，ABDAEB，EAFAEB，BDAF，四边形BDFA 是平行四边形，FDAB.ABCD，FDCD.(2)如图2，当点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G 也是AD 的垂直平分线上的点，DGAG.又AGAD，ADG是等边三角形，DAG60，60.如图3，当点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC 的左边时，连接CG，BG，DG，同理，ADG是等边三角形，DAG60，此时 300.综上所述，当 为 60或300时，GC GB.变式训练 10 1 C 2解：(1)设 p 与 x 之间的函数关系式为p kx b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得 k b 7.5，3k b 8.5，解得k 0.5，b 7，即 p 与 x 的函数关系式为p 0.5x7(1x15，x 为整数)当 1x10 时，W 20(0.5x 7)(2x 20)x2 16x 260.当 10 x15时，W 20(0.5x7)4020 x 520，即 W x2 16x 260（1x10，x为整数），20 x 520（10 x15，x为整数）.(2)当 1x10 时，Wx2 16x 260(x 8)2 324，当x 8 时，W 取得最大值，此时W 324.当 10 x15时，W20 x 520，当x 10 时，W 取得最大值，此时W 320.324320，李师傅第8 天创造的利润最大，最大利润是324 元(3)当 1x10 时，令x2 16x 260 299，得x1 3，x2 13，当 W 299 时，3 x 13.1x10，3x 10.当 10 x15时，令 W20 x 520 299，得x 11.05，10 x11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4 月到11 月，李师傅共获得奖金为20(113)160(元)答：李师傅共可获得160 元奖金 类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km，大客车途中停留了5min，小轿车的速度为4060 20 1(km/min)，a(3520)115.11 故答案为40，5，15.(2)由(1)得 a 15，大客车的速度为153012(km/min)小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(6035)107121257(km)，401257 15507(km)答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507 km.(3)设直线CD 的解析式为s kt b，将(20，0)和(60，40)代入得20k b 0，60k b 40，解得k 1，b20，直线CD 的解析式为s t 20.当 s 46 时，46 t 20，解得t 66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40 1512107 35(min)，小轿车司机折返时的速度为6(3535 66)32(km/min)90 km/h 80km/h.答：小轿车折返时已经超速(4)大客车的时间：4012 80(min)，80 70 10(min)故答案为10.变式训练 3 B 4.A 5解：(1)设该一次函数解析式为y kx b，将(150，45)，(0，60)代入y kx b 中得 150k b 45，b 60，解得k110，b 60，该一次函数解析式为y110 x 60.12(2)当 y110 x 60 8 时，解得x 520，即行驶520 千米时，油箱中的剩余油量为8 升 530 520 10(千米)，油箱中的剩余油量为8 升时，距离加油站10 千米 答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10 千米 类型三【例3】(1)RtABC 中，tan ABCAB，ABBCtan ABCtan 2020411 55(cm)(2)如图，延长FE 交 DG 于点I，则四边形GHFI 为矩形，IGFH，DIDG FH 100 72 28(cm)在 RtDEI 中，sinDEIDIDE28301415，DEI69，18069111100，此时 不符合科学要求的100.变式训练 6 A 7.8 8解：如图，过点C 作 CDAB 于点D.在 RtADC 和 RtBCD 中，CAB30，CBA45，AC 640，CD320，AD 320 3，BDCD 320，BC 320 2，13 ACBC 640 320 21 088，ABAD BD 320 3320864，1 088864 224(公里)答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约224 公里 类型四【例4】(1)AB 是O的直径，ADB90，BADABD90.PB 是O的切线，ABP90，PBDABD90，BADPBD.(2)ADCB，AEDCEB，ADECBE，DEBEAECE，即DECEAEBE.如图，连接OC.设圆的半径为r，则 OA OB OC r，则 DECEAEBE(OA OE)(OB OE)r2 OE2.AC BC，AOCBOC90，CE2 OE2 OC2 OE2 r2，BC2 BO2 CO2 2r2，则 BC2 CE2 2r2(OE2 r2)r2 OE2，BC2 CE2DECE.(3)OA 4，OBOC OA 4，14 BCOB2 OC2 4 2.又E是半径OA 的中点，AEOE 2，则 CEOC2 OE242 22 2 5.BC2 CE2DECE，(42)2(2 5)2DE25，解得DE6 55.变式训练 9 8 10.127 类型五【例5】(1)由题意可得xy 3，则y3x.当y3 时，3x3，解得x1，x 的取值范围是0 x1.(2)一个矩形的周长为6，xy 3，x3x 3，整理得x2 3x 3 0.b2 4ac 9 123 0，矩形的周长不可能是6，圆圆的说法不对 一个矩形的周长为10，xy 5，x3x 5，整理得x2 5x 3 0.b2 4ac 25 12 13 0，矩形的周长可能是10，方方的说法对 变式训练 11解：(1)将点A，B 的坐标代入函数解析式得 15 9a 3b 6 0，a b 6 0，解得a2，b4，抛物线的函数解析式为y2x2 4x 6，当 x 0 时，y 6，点C 的坐标为(0，6)(2)由 MA MB MC 得 M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上 设 M(1，y)，由MA MC 得 (1 3)2 y2(y 6)2(1 0)2，解得y114，点M 的坐标为(1，114)(3)如图，过点A 作 DAAC 交 y 轴于点F，交CB 的延长线于点D.ACOCAO90，DAOCAO90，ACOAFO90，DAOACO，CAOAFO，AOFCOA，AOOFCOAO，AO2OCOF.OA3，OC 6，OF32632，F(0，32)A(3，0)，F(0，32)，直线AF 的解析式为y12x32.B(1，0)，C(0，6)，直线BC 的解析式为y6x 6，联立y12x32，y6x 6，解得x1511，y2411，16 D(1511，2411)，AD24115，AC 3 5，tanACB24 5113 5811.4tanABE11tanACB，tanABE2.如图，过点A 作 AMx 轴，连接BM 交抛物线于点E.AB4，tanABE2，AM8，M(3，8)B(1，0)，M(3，8)，直线BM 的解析式为y2x 2.联立y2x 2，y2x2 4x 6，解得 x2，y 6或x 1，y 0，(舍去)E(2，6)17 当点E 在 x 轴下方时，如图，过点E 作 EGAB，连接BE.设点E(m，2m2 4m 6)，tanABEGEBG2m2 4m 6 m 1 2，m4 或 m 1(舍去)，可得E(4，10)综上所述，E 点坐标为(2，6)或(4，10)