江苏省沭阳县修远中学2022届高三上学期第一次阶段考试数学试题3344.pdf

20212022 学年度第一学期第一次阶段测试 高三数学试题（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合axxA，21xxxB或，若BA，则实数a的取值范围为（）A.2a B.1a C.1a D.2a 2.函数)32ln(2xxy的定义域为（）A.）（1,23 B.），（），（231 C.），（），（123 D.），（231 3.已知Rba,，则“1ab”是“ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若1,10cba，则（）A.0)(cba B.ccba C.bcac D.baccloglog 5.已知31)6sin(，则)62sin(的值为（）A.97 B.97 C.98 D.31 6.函数2|2xyxe在2,2的图像大致为(）A B C D 7.已知复数),(Rbabiaz，有下列四个命题：甲:1|z 乙：z的虚部为21 丙：复数z对应的点位于第二象限 丁：1 zz 如果只有一个假命题，则该命题是（）A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 8.已知()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若1)1(f，则)2021()2020()4()3()2()1(ffffff()A0 B1 C2 D2021 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2 分.）9.下列说法正确的有（）111,.2xRxA 11,.xxRxB.CnnNnp2,:2若，则p：nnNn2,2 .D若:p4n，22nn，则p：4n，22nn 10已知12,0,0baba且，则（）baA42.的最大值为22 baB22loglog.的最大值为3 baaC21.的最小值为 5 224.baD的最小值为2 11.已知M、N均为实数集R的子集，且MCNR，则下列结论中正确的是（）A.NCMR B.RNCMR C.MCNCMCRRR D.MCNCMCRRR 12.若tan2，则下列等式中成立的是（）542tan.A 31cossincossin.B 56)cos(sinsin.C 10343)62sin(.D 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.）13.某学校高三（1）班有 55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中 35 人参加数学培训班，28 人参加物理培训班，31 人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有 6 人，则有 人只参加了一种培训班。14.写出一个同时具有下列性质的函数)(xf_。1212f x xf xf x；0)()()(2121xfxfxx；),1(x时，xxf)(恒成立.15.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我没去过 A 城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断甲去过的城市为_.16.已知奇函数)(xf在R上是增函数，)()(xxfxg 若)3(ga，)2(8.0gb，)5log(2 gc，则 a，b，c 的大小关系为 （用0，b0，且 a+b=1，则（）A2212ab B122a b C22loglog2ab D2ab【答案】ABD 改编：已知12,0,0baba且，则（）A.ba42 的最大值为22 B.ba22loglog的最大值为3 C.baa21的最小值为 5 D.224ba 的最小值为2【答案】B C 考查：用基本不等式求常见的最大、最小值 11.原题：（八省联考第 1 题）已知M、N均为实数集R的子集，且NMCR，则NCMR（）A.B.M C.N D.R 改编：已知M、N均为实数集R的子集，且MCNR，则下列结论中正确的是（）A.NCMR B.RNCMR C.MCNCMCRRR D.MCNCMCRRR 【答案】BD 考查：用 Venn 图表达集合的基本运算。12.原题：（2021 新高考一卷第 6 题）若tan2，则sin(1sin2)(sincos )A65 B25 C25 D65 改编：若tan2，则下列等式中成立的是（）542tan.A 31cossincossin.B 56)cos(sinsin.C 10343)62sin(.D 【答案】BCD 考查：二倍角公式，同角三角函数关系，和差角公式。三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.）13.原题：（新人教版阅读材料：集合中的元素个数）学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人。两次运动会中，这个 班共有多少名同学参赛？改编：某学校高三（1）班有 55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中 35 人参加数学培训班，28 人参加物理培训班，31 人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有 6 人，则有 人只参加了一种培训班。【答案】22 考查：集合中的容斥原理。14.原题：（2021 新高考二卷第 14 题）写出一个同时具有下列性质的函数_。1212f x xf xf x；当(0,)x时，()0fx；()fx是奇函数 改编：写出一个同时具有下列性质的函数)(xf_。1212f x xf xf x；0)()()(2121xfxfxx；),1(x时，xxf)(恒成立【答案】3)(xxf（答案不唯一）考查：幂函数的性质及数学探究能力 15.原题：（2019 全国 1 卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_ 改编：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我没去过 A 城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断甲去过的城市为_ 【答案】：B 考查：逻辑推理能力。16.原题：2017天津卷 已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x)若 ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为()Aabc Bcba Cbac Dbca 改编：已知奇函数)(xf在R上是增函数，)()(xxfxg 若)3(ga，)2(8.0gb，)5log(2 gc，则 a，b，c 的大小关系为 （用连接）【答案】acb 考查：函数性质的研究及其综合应用 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 10 分）原题：（必修四教材习题 3.1（3）已知,2tan,31tan且,900360270求的值.改编：已知71tan,31tan，且20,2，求2的值.解答：因为31tan，所以4391132tan1tan22tan2.2 分 所以1714317143tan2tan1tan2tan)2tan(.4 分 因为,2所以22，又因为0432tan，所以2322，.6 分 因为20，所以22.8 分 所以472.10 分 考查：和差角公式，二倍角公式，三角方程。18.（本小题满分 12 分）原题：（苏教版 P155 第 15 题）设m为实数，已知函数)(151Rxmxfx是奇函数。（1）求m的值；（2）求证：xf是R上的增函数；（3）当2,1x时，求函数 xf的取值范围。改编：已知函数155)(xxmxf是R上的奇函数（3）求m的值;（4）若对一切实数x满足0)1cos()(sin22xafaxf，求实数a的取值范围.解：（1）（方法 1）因为)(xf是R上的奇函数，所以0)0(f 所以015500m，所以1m（方法 2）因为)(xf是R上的奇函数，所以)()(xfxf 即155155xxxxmm，所以0)1)(15(mx恒成立，所以1m.4 分（2）因为15211515)(xxxxf，任取Rxx21,，且21xx 则)15)(15()55(215211521)()(21212121xxxxxxxfxf 因为21xx，所以2155xx，所以0)()(21xfxf即)()(21xfxf 所以)(xf是R上的增函数。.7 分 因为对一切实数x满足0)1cos()(sin22xafaxf，即)(sin)1cos(22axfxaf 所以有xaxasin1cos22 即xxaa22sin2sin对一切Rx恒成立。.10 分 因为0sin2sin2xx，所以02aa，所以10 a.12 分 考查：初等函数的奇偶性，单调性及其综合应用 19.（本小题满分 12 分）原题：（2022全国高三专题练习）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取 100 名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为 2：3，抽取的学生中男生有 20 名对讲座活动满意，女生中有 20 名对讲座活动不满意（1）完成22列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；满意 不满意 合计 男生 女生 合计 100（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取 6 名学生，再在这 6 名学生中抽取 2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中 1 名男生与 1 名女生的概率 参考数据：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 20P Kk 010 005 001 0005 0001 0k 2706 3841 6635 7879 10828 改编：为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120 名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为 1：1，抽取的学生中男生有 40 名对讲座活动满意，女生中有 30 名对讲座活动不满意（1）完成22列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；满意 不满意 合计 男生 女生 合计 120（3）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取 7 名学生，再在这 7 名学生中抽取 3 名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中 2 名男生与 1 名女生的概率 参考数据：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 20P Kk 010 005 001 0005 0001 0k 2706 3841 6635 7879 10828 解：（1）22 列联表如表所示 .3 分 利用公式可得706.2429.372450706060)30203040(12022K .6 分 故有 90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.7 分 （2）由（1）知，在样本中对讲座活动满意的学生有 70 人，从中抽取 7 人“男生满意”的人中占470740人，“女生满意”的人中占370730人，.8 分 记“恰好抽中 2 名男生与 1 名女生”为事件 A，则3518)(371324CCCAP .11 分 答：恰好抽中 2 名男生与 1 名女生的概率.3518 .12 分 考查：独立性检验，分层抽样，古典概型 20.（本小题满分 12 分）原题：（2021全国高考真题）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值 改编：在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若5,2QAQDAD,平面QAD 平面ABCD 满意 不满意 合计 男生 40 20 60 女生 30 30 60 合计 70 50 120（1）求QB的长；（2）求二面角CQDB的平面角的余弦值 解：（1）取AD的中点为O，连接BOQO,.因为QAQD，OAOD，则QO AD，因为平面QAD 平面ABCD，ADABCDQAD平面平面,QADQO平面 所以QO 平面ABCD .2 分 因为ABCDBO平面 所以BOQO 而2,5ADQA，故5 12QO.在正方形ABCD中，因为2AD，故1AO，故5BO，所以35422BOQOQB.5 分(2)在平面ABCD内，过O作/OTCD，交BC于T，则OTAD，结合（1）中的QO 平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.则0,1,0,0,0,2,2,1,0DQB，)0,1,2(C故2,1,2,2,2,0BQBD ,)0,0,2(),2,1,0(DCDQ 设平面QBD的法向量,nx y z，则00n BQn BD 即220220 xyzxy，取1x，则11,2yz，故11,1,2n.7 分 而平面QCD的法向量为),(zyxm，则00DCmDQm即0202xzy，取1z，则2,0yx，故)1,2,0(m.9 分 因为5410|,234111|mn，252120nm 所以3552325|,cosnmnmnm .11 分 二面角CQDB的平面角为锐角，故其余弦值为35.12 分 考查：面面垂直的性质及二面角的计算 21.（本小题满分 12 分）原题：（2020北京卷）已知函数2()12f xx（）求曲线()yf x的斜率等于2的切线方程；（）设曲线()yf x在点(,()t f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t，求()S t的最小值 改编：已知函数)(xfbxax 3，)(xg为)(xf的导函数，且3)3(,27)3(gf（2）求)(xf的解析式（2）设曲线)(xgy 在点)0(,ttgt处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t，求()S t的最小值 解：（1）因为bxaxxf3)(，所以baxxg23)(所以32727327baba 解得1231ba 所以xxxf1231)(3.4 分（2）因为12)(2xxg,所以)(xgy 在点2,12tt处的切线方程为：2122ytt xt，令0 x，得212yt，令0y，得2122txt，所以 221121222|tS ttt，.7 分 不妨设0t（0t时，结果一样）时，则 4232414411442444ttS ttttt，所以 422223848114432444ttS tttt 2222234123221244ttttttt，.10 分 由 0S t，得2t，由 0S t，得02t，所以 S t在0,2上递减，在2,上递增，所以2t 时，S t取得极小值，也是最小值为 16 162328S.12 分 考查：函数解析式、切线方程以及用导数研究常规函数的性质 22.（本小题满分 12 分）原题：【2020山东枣庄期末】已知函数 ln2sinf xxxx,fx为 f x的导函数.(1)求证:fx在0，上存在唯一零点;(2)求证:f x有且仅有两个不同的零点.改编：已知xaxxtln1)(且0)(xt，1sin2)(xxs（3）求a的值（4）令)()()(xtxsxf，求证)(xf有且只有两个不同的零点 解：（1）因为函数0,ln1)(xxaxxt 所以xaxxaxt1)(且0)1(t 所以当0a时0)(xt恒成立，此时)(xt在（0，+）上单调递增，又0)1(t，不合题意；.2 分 当0a时令0)(xt，解得ax，所以)(xt在),0(a上单调递减，在),(a上单调递增，所以)()(minatxt，又0)1(t，所以1a .4 分（2）因为xxxxtxsxflnsin2)()()(设 112cosg xfxxx，当0,x时，212sin0gxxx，所以 g x在0,上单调递减，又因为31 103g ，2102g 所以 g x在,3 2 上有唯一的零点.5 分 所以当0,x时，0fx，f x在0,上单调递增;当,x 时，0fx，f x在,上单调递减;所以 f x在0,上存在唯一的极大值点32.6 分 所以 ln2202222ff 又因为2222111122sin220feeee ，所以 f x在0,上恰有一个零点又因为 ln20f，所以 f x在,上也恰有一个零点.8 分 当,2x时，sin0 x，lnf xxx，设 lnh xxx，110h xx 所以 h x在,2上单调递减，所以 0h xh 所以当,2x时，0f xh xh恒成立 所以 f x在,2上没有零点.10 分 当2,x时，ln2f xxx 设 ln2xxx，110 xx 所以 x在2,上单调递减，所以 20 x 所以当2,x时，20f xx恒成立 所以 f x在2,上没有零点 综上，f x有且仅有两个零点.12 分 考查：不等式的恒成立，函数的单调性、最值、零点以及用导数综合研究复杂函数的能力