基本不等式完整版(非常全面)20359.pdf
.根本不等式专题辅导一、知识点总结 1、根本不等式原始形式 1假设Rba,，则abba222 2假设Rba,，则222baab 2、根本不等式一般形式均值不等式 假设*,Rba，则abba2 3、根本不等式的两个重要变形 1假设*,Rba，则abba2 2假设*,Rba，则22baab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba 时取“=4、求最值的条件：“一正，二定，三相等 5、常用结论 1 假设0 x，则12xx(当且仅当1x 时取“=2假设0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=3假设0ab，则2abba (当且仅当ba 时取“=4假设Rba,，则2)2(222babaab 5假设*,Rba，则2211122babaabba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba 时取“=6、柯西不等式 1假设,a b c dR，则22222()()()abcdacbd 2假设123123,a a a b b bR，则有：3设1212,nna aabb与b是两组实数，则有 二、题型分析 题型一：利用根本不等式证明不等式 1、设ba,均为正数，证明不等式:abba112 2、cba,为 两 两 不 相 等 的 实 数，求 证：cabcabcba222 3、1abc，求证：22213abc 4、,a b cR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(5、,a b cR，且1abc，求证：1111118abc 6、2013 年新课标卷数学理选修 45：不等式选讲 设,a b c均为正数,且1abc,证明:()13abbcca;()2221abcbca.7、2013 年卷数学选修 45：不等式选讲 0ba，求证:baabba223322 题型二：利用不等式求函数值域 1、求以下函数的值域 122213xxy 2)4(xxy 3)0(1xxxy 4)0(1xxxy 题型三：利用不等式求最值 一 凑项 1、2x，求函数42442xxy的最小值；变式 1：2x，求函数4242xxy的最小值；变式 2：2x，求函数4242xxy的最大值；.练习：1、54x，求函数14245yxx的最小值；2、54x，求函数14245yxx的最大值；题型四：利用不等式求最值 二 凑系数 1、当时，求(82)yxx的最大值；变式 1：当时，求4(82)yxx的最大值；变式 2：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。2、假设02x，求yxx()63的最大值；变式：假设40 x，求)28(xxy的最大值；3、求函数)2521(2512xxxy的最大值；提示：平方，利用根本不等式 变式：求函数)41143(41134xxxy的最大值；题型五：巧用“1的代换求最值问题 1、12,0,baba，求tab11的最小值；法一：法二：变式 1：22,0,baba，求tab11的最小值；变式 2：28,0,1x yxy，求xy的最小值；变式 3：0,yx，且119xy，求xy的最小值。变式 4：0,yx，且194xy，求xy的最小值；变式 5：1假设0,yx且12 yx，求11xy的最小值；2假设 Ryxba,且1ybxa，求yx 的最小值；变式 6：正项等比数列 na满足：5672aaa，假设存在两项nmaa,，使得14aaanm，求nm41的最小值；题型六：别离换元法求最值了解 1、求函数)1(11072xxxxy的值域；变式：求函数)1(182xxxy的值域；2、求函数522xxy的最大值；提示：换元法 变式：求函数941xxy的最大值；题型七：根本不等式的综合应用 1、1loglog22ba，求ba93 的最小值 2、2009*0,ba，求abba211的最小值；变式 1：2010如果0ba，求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值；变 式 2：2012 诊 断 ，当1,0aa时，函 数1)1(logxya的图像恒过定点A，假设点A在直线0nymx上，求nm24 的最小值；3、0,yx，822xyyx，求yx2最小值；变式 1：0,ba，满足3baab，求ab围；变式 2：20100,yx，312121yx，求xy最大值；提示：通分或三角换元 变式 3：20110,yx，122xyyx，求xy最大值；4、2013年 理 设 正 实 数zyx,满 足04322zyxyx,则 当zxy取 得 最 大 值.时,zyx212的最大值为 A0B1C49D3 提示：代入换元,利用根本不等式以及函数求最值 变式：设zyx,是正数，满足032zyx，求xzy2的最小值；题型八：利用根本不等式求参数围 1、2012 检测0,yx，且9)1)(yaxyx恒成立，求正实数a的最小值；2、0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果Nn，求n的最大值；参考：4 提示：别离参数，换元法 变式：0,ba满则241ba，假设cba恒成立，求c的取值围；题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 ),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba假设,a b c dR，则22222()()()abcdacbd 2、二维形式的柯西不等式的变式 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 4、三维柯西不等式 假设123123,a a a b b bR，则有：5、一般n维柯西不等式 设1212,nna aabb与b是两组实数，则有:题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设,x y zR，假设2224xyz，则zyx22 的最小值为时，),(zyx 析：2)2(1)()22(2222222zyxzyx zyx22 最小值为6 此时322)2(16221222zyx32x，34y，34z 2、设,x y zR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时,x y z之值。Ans：)34,32,34(),(;4zyxm 3、设,x y zR，332zyx，求222)1(zyx之最小值为，此时y 析：0)1(32332zyxzyx 4、2013 年卷理,236,a b cabc 则22249abc的最小值是 (12:Ans)5、2013年 卷 理 设,x y zR,且 满足:2221xyz,2314xyz,求zyx的值；6、求coscossincos3sin2 的最大值与最小值。Ans：最大值为22，最小值为22 析：令a(2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)
