高中数学必修二第一章《空间几何体》章末复习+单元测试(整理含答案)18108.pdf

1 高中数学必修二章末复习+单元测试 第一章空间几何体 1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点 2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同 3对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法 4求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错 5由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误 6易混侧面积与表面积的概念.专题 1 空间几何体的三视图与直观图 三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题 主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据 例 1(1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面 2 边长分别为()A2，2 3 B2 2，2 C4，2 D2，4(2)(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 5 B5418 5 C90 D81 解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致 所以侧视图中2 为正三棱柱的高，2 3为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 6，侧棱长为3 5，则该几何体的表面积 S232233 52365418 5.故选 B.答案：(1)D(2)B 1第(1)题中易把 2 3误认为是正三棱锥底面等边三角形的边长注意“长对正、高平齐、宽相等”2(1)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图(2)组合体的三视图要分开分析，特殊几何体要结合日常生活的观察分析还原 变式训练(1)如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是()3 A3 B2 C1 D0(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1 B.2 C.3 D2 解析：(1)如图所示的正(主)视图和俯视图与题图相同 所以题中的 3 个命题均是真命题(2)由三视图知，四棱锥的直观图如图所示 其中侧棱 SA底面 ABCD，SAl，且底面是边长为 1 的正方形 所以四棱锥的最长棱为 SC，且 SC SA2CA2 3.答案：(1)A(2)C 专题 2 空间几何体的表面积与体积的计算 面积和体积的计算是本章的重点，熟记各种简单几何体的表面积和体积公式是基础，复杂几何体常用割补法、等积法求解，具体问题具体分析，灵活转化是解题策略 例 2如图所示的三棱锥 O-ABC 为长方体的一角其中 OA、OB、OC 两两垂直，三个侧面 OAB、OAC、OBC 的面积分别为 1.5 cm2、1 cm2、3 cm2，求三 4 棱锥 O-ABC 的体积 解：设 OA、OB、OC 的长依次为 x cm、y cm、z cm，则由已知可得12xy1.5，12xz1，12yz3.解得 x1，y3，z2.显然三棱锥 O-ABC 的底面积和高是不易求出的，于是我们不妨转换视角，将三棱锥 O-ABC 看成以 C 为顶点，以 OAB 为底面 易知 OC 为三棱锥 C-OAB 的高 于是 VOABCVCOAB13SOABOC 131.521(cm3)1(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，计算组合体的表面积时应注意衔接部分的处理(2)求解旋转体的表面积问题时注意其侧面展开图的应用 2(1)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(2)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 变式训练 某几何体的三视图如图所示，试求该几何体的体积 解：由三视图知，该几何体是一圆柱被平面所截后得的简单组合体，如图所示，其中 AD5，BC2，且底面圆的半径 R2.5 过 C 点作平行于底面的截面，将几何体分成两部分 故该几何体的体积 V2221222314.专题 3 转化思想与函数方程思想 转化思想的核心在于把生疏和复杂的问题转化、归结为较为熟悉、简单的问题解决，在本章中体现在通过展开图求其表面积、利用截面图将立体几何问题转化成平面几 何问题等函数方程思想是用运动变化的观点研究具体问题中的数量关系，如表面积、体积及空间几何体表面上的距离等问题 例 3 一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，在其中有一个高为 x 的内接圆柱(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S；(2)当 x 为何值时，S 最大？解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示 设圆柱的底面半径为 r，则由三角形相似可得x62r2，解得 r2x3.(1)圆柱的轴截面面积为：S2rx22x3x23x24x(0 x6)(2)因为 S23x24x23(x26x)23(x3)26，所以当 x3 时，S 最大，最大值为 6.归纳升华 6 1作出圆锥的轴截面，由SOESOB 得比例式，进而用 x 表示圆柱的底面半径，空间几何体平面化 2结合二次函数的性质求圆柱的侧面积最大值体现了函数思想的应用 变式训练 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm，求球的体积 解：如图作出轴截面，因为ABC 是正三角形，所以 CD12AC.因为 CD1 cm，所以 AC2 cm，AD 3 cm.因为 RtAOERtACD，所以OEAOCDAC.设 OER，则 AO 3R，所以R3R12，所以 R33(cm)，所以 V球433334 327(cm3)7 单元测试卷(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1下列说法正确的是()A棱柱的侧面可以是三角形 B正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C所有的几何体的表面都能展成平面图形 D棱柱的各条棱都相等 2小红拿着一物体的三视图(如图所示)给小明看，并让小明猜想这个物件的形状是()A长方形 B圆柱 C立方体 D圆锥 3如图所示的直观图表示的四边形的平面图形ABCD是()A任意梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形 4半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.324R3 B.38R3 C.524R3 D.58R3 5如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()8 6若长方体相邻三个面的面积分别为 2，3，6，则长方体的体积等于()A 6 B6 C6 6 D36 7一个几何体的三视图如下图所示，已知这个几何体的体积为 10 3，则 h为()A32 B 3 C3 3 D5 3 8过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为()A.316 B.916 C.38 D.932 9一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面所有可能的图形是()A B C D 9 10若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A24 cm3 B40 cm3 C36 cm3 D48 cm3 11如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17 B18 C20 D28 12如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 BC 上的一点，则三棱锥 D1B1C1E 的体积等于()A.13 B.512 C.36 D.16 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13圆台的底面半径为 1 和 2，母线长为 3，则此圆台的体积为_ 14圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径为圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.10 15已知一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 _ 16如图是一个棱长为 1 的无盖正方体盒子的平面展开图，A，B，C，D 为其上四个点，则以 A，B，C，D 为顶点的三棱锥的体积为_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位：cm)(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积 18.(本小题满分 12 分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用 a 将 h 表示出来 19(本小题满分12 分)把一块边长为10 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容 11 器的容积 V 与等腰三角形的底边边长 x 的函数关系式，并求出函数的定义域 20(本小题满分 12 分)在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积 21(本小题满分 12 分)如图所示是已知几何体的三视图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积 22(本小题满分 12 分)已知一圆锥的母线长为 10 cm，底面半径为 5 cm.(1)求它的高；(2)若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积 12 参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1下列说法正确的是()A棱柱的侧面可以是三角形 B正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C所有的几何体的表面都能展成平面图形 D棱柱的各条棱都相等 答案：B 2小红拿着一物体的三视图(如图所示)给小明看，并让小明猜想这个物件的形状是()A长方形 B圆柱 C立方体 D圆锥 解析：由正视图和侧视图可知该几何体是棱柱或圆柱，则 D 不可能再由俯视图是圆可知该几何体是圆柱 答案：B 3如图所示的直观图表示的四边形的平面图形ABCD是()A任意梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形 解析：ABOy，ADOx，故 ABAD.又 BCAD 且 BCAD，所以为直角梯形 答案：B 4半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()13 A.324R3 B.38R3 C.524R3 D.58R3 解析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h.依题意 R2r，所以 rR2，则 h R2T232R.所以圆锥的体积 V13r2n13R2232R324R3.答案：A 5如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：根据三种视图的对角线的位置关系，容易判断A 正确 答案：A 6若长方体相邻三个面的面积分别为 2，3，6，则长方体的体积等于()A 6 B6 C6 6 D36 解析：设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则不妨设 ab 6，ac 3，bc 2.所以 a2b2c2 2 3 66.故长方体的体积 Vabc 6.答案：A 7一个几何体的三视图如下图所示，已知这个几何体的体积为 10 3，则 h 14 为()A32 B 3 C3 3 D5 3 解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为 6，宽为 5 的矩形，高为 h，所以 V1365h10 3，解得 h 3.答案：B 8过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为()A.316 B.916 C.38 D.932 解析：设球的半径为 R，截面圆的半径为 r，则R22r2R2，所以 r234R2.故S截面S球r24R21434316.答案：A 9一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面所有可能的图形是()A B C D 解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得，当截面过正方体的体对角线时得，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得，但无论如何都不能截 15 出.答案：C 10若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A24 cm3 B40 cm3 C36 cm3 D48 cm3 解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高为 2 的三棱锥形成的，故该几何体的体积 V124382131243240(cm3)，故选 B.答案：B 11如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17 B18 C20 D28 解析：根据三视图还原出几何体，再根据表面积公式求解 由三视图可知其对应几何体应为一个切去了18部分的球，由43r378283，得 r2，所以此几何体的表面积为 4r278314r217，故选 A.答案：A 12如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 BC 上的一点，则三棱锥 D1B1C1E 的体积等于()16 A.13 B.512 C.36 D.16 解析：VD1B1C1EVEB1C1D113SB1C1D1CC1131212116，故选D.答案：D 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13圆台的底面半径为 1 和 2，母线长为 3，则此圆台的体积为_ 解析：作圆台的轴截面如图所示，则 r1O1D1，r2O2A2，AD3.所以圆台的高 h AD2AH2 32（21）22 2.因此圆台的体积 V3(r21r22r1r2)h14 2 3.答案：14 23 14圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径为圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.解析：设球的半径为r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为6r，则有 17 r26r8r2343r3，即 2r8，所以 r4.答案：4 15已知一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 _ 解析：设正三棱柱的侧棱与底面边长为 a，则 V三棱柱34a2a2 3，所以a2，因此底面正三角形的高 2sin 60 3.故侧视图(矩形)的面积 S 322 3.答案：2 3 16如图是一个棱长为 1 的无盖正方体盒子的平面展开图，A，B，C，D 为其上四个点，则以 A，B，C，D 为顶点的三棱锥的体积为_ 解析：将展开图还原为正方体，如图所示 故以 A，B，C，D 为顶点的三棱锥的体积 VVCABD131212116.答案：16 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的 18 直观图及正视图和侧视图(单位：cm)(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积 解：(1)该几何体的俯视图如图所示 (2)该几何体的体积 VV长方体V三棱柱44613(1222)22843(cm3)18.(本小题满分 12 分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用 a 将 h 表示出来 解：V圆锥液h2h3，V圆柱液(a2)2h，由已知得h33(a2)2h，所以 h32a.19(本小题满分12 分)把一块边长为10 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与等腰三角形的底边边长x 的函数关系式，并求出函数的定义域 解：在 RtEOF 中，EF5，OF12x，则 EO 2514x2，19 于是 V13x22514x2.依题意，函数的定义域为x|0 x10 20(本小题满分 12 分)在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积 解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S，则 ROC2，AC4，AO 42222 3.如图所示易知AEBAOC，所以AEAOEBOC，即32 3r2，所以 r1，S底2r22，S侧2rh2 3.所以 SS底S侧22 3(22 3).21(本小题满分 12 分)如图所示是已知几何体的三视图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积 解：(1)这个几何体的直观图如图所示 20(2)这个几何体可看成是由正方体 AC1及直三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体 由 PA1PD1 2，A1D1AD2，可得 PA1PD1.故所求几何体的表面积 S52222 2212(2)2 224 2(cm2)，所求几何体的体积 V2312(2)2210(cm3)22(本小题满分 12 分)已知一圆锥的母线长为 10 cm，底面半径为 5 cm.(1)求它的高；(2)若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积 解：(1)它的高为 102525 3(cm)(2)其轴截面如图所示 设球的半径为 r cm.由题意知SCE 与SBD 相似，则r55 3r10.解得 r5 33.于是，所求球的体积 V球43r3435 333500 327(cm3)