解析几何中定值及定点问题37637.pdf

.1 解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，根本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的 (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进展研究【实例探究】题型 1：定值问题:例 1：椭圆 C 的中心在原点，焦点在*轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于 求椭圆 C 的标准方程；过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，假设 为定值.解：I设椭圆 C 的方程为，则由题意知b=1.椭圆 C 的方程为 II方法一：设 A、B、M 点的坐标分别为 易知 F 点的坐标为2，0.将 A 点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得 方法二：设 A、B、M 点的坐标分别为 又易知 F 点的坐标为2，0.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是.1 将直线l的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去y并整理得 又 例 2.椭圆 C 经过点 A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1求椭圆方程 2E、F 是椭圆上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值 1a-b=c=1 设椭圆方程为*/b+1+y/b=1 将1，3/2代入整理得 4b4-9b-9=0 解得 b=3 另一值舍 所以椭圆方程为*/4+y/3=1 2 设 AE 斜率为 k 则 AE 方程为 y-(3/2)=k(*-1)*/4+y/3=1 ，联立得出两个解一个是 A1,3/2另一个是 E*1，y1 代入消去 y 得1/4+k/3*-2k/3-k*+k/3-k-1/4=0 根据韦达定理*11=k/3-k-1/4/1/4+k/3 将的结果代入式得 y1=-k/2-k/2+3/8/(1/4+k/3)设 AF 斜率为-k，F*2，y2 则 AF 方程为 y-3/2=-k*-1 */4+y/3=1 联立同样解得 *2=k/3+k-1/4/1/4+k/3 y2=-k/2+k/2+3/8/1/4+k/3 EF 斜率为 y2-y1/(*2-*1)=1/2 所以直线 EF 斜率为定值，这个定值是 1/2。例 3、椭圆)0(12222babyax的离心率为36，且过点)1,2(.求椭圆的方程；假设过点 C-1，0且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点BA,，试问在x轴上是否存在点M，使25MA MB3k1是与k无关的常数.假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.解：1椭圆离心率为63，63ca，2213ba.又椭圆过点2，1，代入椭圆方程，得22211ab.1 所以225a5,b3.椭圆方程为221553xy，即22x3y5.2在*轴上存在点 M1(,0)6，使25MA MB3k1是与 K 无关的常数.证明：假设在*轴上存在点 Mm,0,使25MA MB3k1是与 k 无关的常数，直线 L 过点 C-1，0且斜率为 K,L 方程为yk(x1)，由),1(,5322xkyyx 得0536)13(2222kxkxk.设),(),(2211yxByxA，则1353,13622212221kkxxkkxx 1122MA(xm,y),MB(xm,y),12112255MA MB(xm)(xm)y y3k13k1=21212251131xmxmkxxk=22122121225131kx xkmxxmkk=22222222235651313131kkkkmmkkkk=2222226331kmkm kmk 设常数为 t，则222222k6mk3m kmt3k1.整理得222(3m6m13t)kmt0 对任意的 k 恒成立，223m6m 1 3t0,mt0.解得1m6，即在*轴上存在点 M1,06，使25MA MB3k1是与 K 无关的常数.题型 2：定点问题 例 4.椭圆 C：12222byax(a b 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角.1 形，直线*-y+b=0 是抛物线 y2=4*的一条切线。1求椭圆的方程;(2)过点 S0，-1/3的动直线 L 交椭圆 C 于 A,B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T.假设存在，求出点 T 的坐标；假设不存在，请说明理由。例 5.在平面直角坐标系*Oy 中，椭圆 C：，如下列图，斜率为 kk0且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线*=-3 于点 D-3，m 求 m2+k2的最小值；假设|OG|2=|OD|OE|，求证：直线 l 过定点；试问点 B，G 能否关于*轴对称.假设能，求出 此时ABG 的外接圆方程；假设不能，请说明理由。解：由题意：设直线 l：y=k*+n(n0)，由，消 y 得：，设 A、B，AB的 中 点E，则 由 韦 达 定 理 得：=，即，所以中点 E 的坐标为 E，因为 O、E、D 三点在同一直线上，所以 kOE=kOD，即，解得，所以m2+k2=，当且仅当 k=1 时取等号，即 m2+k2的最小值为 2。证明：由题意知：n0，因为直线 OD 的方程为，所以由得交点 G 的纵坐标为，又因为，且|OG|2=|OD|OE|，所以，又由 知：，所以解得 k=n，所以直线 l 的方程为 l：y=k*+k，.1 即有 l：y=k*+1，令*=-1 得，y=0，与实数 k 无关，所以直线 l 过定点(-1，0)；假设点 B，G 关于*轴对称，则有ABG 的外接圆的圆心在*轴上，又在线段 AB 的中垂线上，由知点 G，所以点 B，又因为直线l 过定点(-1，0)，所以直线 l 的斜率为，又因为，所以解得或 6，又因为，所以 m2=6 舍去，即 m2=1，此时 k=1，m=1，E，AB的中垂线为 2*+2y+1=0，圆心坐标为，G，圆半径为，圆的方程为；综上所述，点 B，G 关于*轴对称，此时ABG 的外接圆的方程为。【针对练习】1椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,F F,离心率为32,过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1.()求椭圆C的方程;()点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF,设12FPF的角平分线PM交C 的长轴于点(,0)M m,求m的取值围;()在()的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线12,PF PF的斜率分别为12,k k,假设0k,试证明1211kkkk为定值,并求出这个定值.2、如图，(1,1)S是抛物线为22(0)ypx p上的一点，以S为圆心，r为半径 12r做圆，分别交*轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点。()求证：直线CD的斜率为定值；()延长DC交*轴负半轴于点 E，假设EC:ED=1:3，求.1 sin2cosCSDCSD的值。3、椭圆 C:22221xyab(0ab)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C上.()求椭圆C的方程;()假设椭圆C的两条切线交于点M(4,t),其中tR,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆22221xyab上的点(00,xy)处的椭圆切线方程是00221x xy yab,证明直线AB恒过椭圆的右焦点2F;()在()的前提下，试探究2211|AFBF的值是否恒为常数,假设是,求出此常数;假设不是,请说明理由.4、椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10(1)求椭圆C的标准方程；(2)假设直线:l ykxm与椭圆C相交于AB、两点(AB、不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 5、如图，椭圆22:1,4xCyA B是四条直线2,1xy 所围成长方形的两个顶点.1设P是椭圆C上任意一点，假设,OPmOAnOB 求证：动点(,)Q m n在定圆上运动，并求出定圆的方程；2假设MN、是椭圆C上的两个动点，且直线OMON、的斜率之积等于直线OAOB、的斜率之积，试探求OMN 的面积是否为定值，说明理由.【针对练习参考答案】1、解:()由于222cab,将xc 代入椭圆方程22221xyab得2bya 由题意知221ba,即22ab 又cea32 所以2a,1b 所以椭圆方程为2214xy F2 O*y P A B F1 A2 l.1()由题意可知:11|PF PMPFPM=22|PFPMPFPM,11|PF PMPF=22|PFPMPF,设00(,)P xy其中204x,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312xxx,因为204x,所以034mx,而0(2,2)x ,所以3 3(,)2 2m (3)由题意可知,l为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:0014x xy y,所以004xky,而0012,33yykkxx,代入1211kkkk中得 00120033114()8xxkkkkxx 为定值.2、解1将点1，1代入pxy22，得12p抛物线方程为xy 2 设)1(1xkySA的方程为直线，),(11yxC与 抛 物 线 方 程xy 2 联 立 得：012kykyky111111ky)11,)1(22kkkC 由题意有SBSA，kSB的斜率为直线 2设)0,(tEEDEC31)11,)1(31)11,)1(2222ktkkktkk 同 理)0,23(B532coscos222SASBABSBSAASBCSD4sin5CSD，24sin225CSD，因此：39sin2cos25CSDCSD 3、解:()设椭圆C的方程为22221xyab(0ab)431222eab点(1,32)在椭圆C上,221914ab,由得:224,3ab椭圆C的方程为22143xy，()设切点坐标11(,)A x y,22(,)B xy,则切线方程分别为11143x xy y,22143x xy y.又两条切线交于点 M(4,t),即1113txy,2213txy 即点A、B的坐标都适合方程13txy,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程，.1 故直线AB恒过椭圆的右焦点2F.()将直线AB的方程13txy，代入椭圆方程,得223(1)41203tyy,即22(4)2903tyty所以122612tyyt,1222712y yt 不妨设120,0yy,22222211119|(1)(1)93ttAFxyyy,同理2229|3tBFy 所以2211|AFBF=212212123113()99yyyyy ytt=221212()3439yyy yt 所以2211|AFBF的值恒为常数43 4、解：1由题：12cea 左焦点(c,0)到点 P(2,1)的距离为：d=(2+c)2+1 2=10 由可解得c=1，a=2，b 2=a 2c 2=3 所求椭圆 C 的方程为*24+y 23=1 2设 A(*1,y1)、B(*2,y2)，将 y=k*+m代入椭圆方程得 (4k 2+3)*2+8km*+4m 212=0*1+*2=8km4k 2+3，*1*2=4m 2124k 2+3，且y1=k*1+m，y2=k*2+m AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0)，所以 A2A A2B=0 所以(*12,y1)(*22,y2)=(*12)(*22)+y1y2=(*12)(*22)+(k*1+m)(k*2+m)=(k 2+1)*1*2+(km2)(*1+*2)+m 2+4=(k 2+1)4m 2124k 2+3(km2)8km4k 2+3+m 2+4=0 整理得 7m 2+16km+4k 2=0m=27 k 或 m=2k 都满足 0 假设 m=2k 时，直线 l 为 y=k*2k=k(*2)，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去 O*y P A B F1 F2 A2 l.1 假设 m=27 k 时，直线 l 为 y=k*27 k=k(*27)，恒过定点(27,0)5.解析:(1)证明：由题意可知 A(2,1)，B(2,1)设 P(*0，y0)，则*204y201.由OPmOAnOB，得0022xmnymn 所以24()4mn(mn)21，即 m2n212.故点 Q(m，n)在定圆*2y212上(2)设 M(*1，y1)，N(*2，y2)，则y1y2*1*214.平方得*21*2216y21y22(4*21)(4*22)，即*21*224.因为直线 MN 的方程为(*2*1)*(y2y1)y*1y2*2y10，所以 O 到直线 MN 的距离为 d|*1y2*2y1|*2*12y2y12，所以OMN 的面积 S12MNd12|*1y2*2y1|12*21y22*22y212*1*2y1y2 12*211*224*221*21412*21*22 12*21*221.故OMN 的面积为定值 1.