高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元测试题(整理含答案)17850.pdf

高中数学选修 2-1圆锥曲线与方程单元测试题 时间：90 分钟 满分：120 分 第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 1F1、F2是定点，|F1F2|7，动点 M 满足|MF1|MF2|7，则 M 的轨迹是()A椭圆 B直线 C线段 D圆 2已知双曲线x2a2y21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是()Ay 5x By55x Cy 3x Dy33x 3设定点 F1(0，3)，F2(0,3)，动点 P 满足条件|PF1|PF2|a9a(a0)，则点 P的轨迹是()A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 4抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是()A.43 B.75 C.85 D3 5设 k3，k0，则二次曲线x23ky2k1 与x25y221 必有()A不同的顶点 B不同的准线 C相同的焦点 D相同的离心率 6已知实数 4，m,9 构成一个等比数列，则圆锥曲线x2my21 的离心率为()A.306 B.7 C.306或 7 D.56或 7 7已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C 在抛物线 x2y 的图象上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为()A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 8O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2 B2 2 C2 3 D4 9已知双曲线x2a2y221(a 2)的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为()A.2 33 B.2 63 C.3 D2 10从椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24 B.12 C.22 D.32 第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 11已知正方形 ABCD，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的离心率为_ 12 以抛物线 y28 3x 的焦点 F 为右焦点，且两条渐近线是 x 3y0 的双曲线方程为_ 13直线 yx3 与曲线y29x|x|41 的公共点的个数为_个 14抛物线 y2x 上存在两点关于直线 ym(x3)对称，则 m 的取值范围是_ 三、解答题：本大题共4 小题，满分50 分 15(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1(0，2 2)，F2(0,2 2)，且离心率 e2 23.(1)求椭圆的方程；(2)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B，且线段 AB 中点的横坐标为12，求直线 l 斜率的取值范围 16(12 分)已知动圆 C 过定点 F(0,1)，且与直线 l1：y1 相切，圆心 C 的轨迹为E.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)已知直线 l2交轨迹 E 于两点 P，Q，且 PQ 中点的纵坐标为 2，则|PQ|的最大值为多少？17(12 分)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 e，若右准线 l：xa2c与两条渐近线相交于 P，Q 两点，F 为右焦点，FPQ 为等边三角形(1)求双曲线 C 的离心率 e 的值；(2)若双曲线 C 被直线 yaxb 截得弦长为b2e2a，求双曲线 C 的方程 18(14 分)设椭圆方程为 x2y241，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A，B，O 是坐标原点，点 P 满足OP12(OAOB)，点 N 的坐标为12，12，当 l 绕点 M 旋转时，求：(1)动点 P 的轨迹方程；(2)|NP|的最小值与最大值 高中数学选修 2-1圆锥曲线与方程单元测试题 参考答案 第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 1F1、F2是定点，|F1F2|7，动点 M 满足|MF1|MF2|7，则 M 的轨迹是()A椭圆 B直线 C线段 D圆 解析：由于点 M 满足|MF1|MF2|F1F2|，点 M 在线段 F1F2上，故选 C.答案：C 2已知双曲线x2a2y21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是()Ay 5x By55x Cy 3x Dy33x 解析：y28x 焦点是(2,0)，双曲线x2a2y21 的半焦距 c2，又虚半轴长 b1 且 a0，a 2212 3，双曲线的渐近线方程是y33x.答案：D 3设定点 F1(0，3)，F2(0,3)，动点 P 满足条件|PF1|PF2|a9a(a0)，则点 P的轨迹是()A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 解析：由|PF1|PF2|a9a2 96，当|PF1|PF2|6 时轨迹为线段，当|PF1|PF2|6 时轨迹为椭圆 答案：D 4抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是()A.43 B.75 C.85 D3 解析：设与直线 4x3y80 平行的直线方程为 4x3yc0，与抛物线联立方程组得 4x3yc0，yx2，消去 y 得 3x24xc0，(4)243(c)0，解得 c43，则抛物线与直线 4x3y80 平行的切线是 4x3y430，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得 d|438|423243，故选 A.答案：A 5设 k3，k0，则二次曲线x23ky2k1 与x25y221 必有()A不同的顶点 B不同的准线 C相同的焦点 D相同的离心率 解析：当 0k3 时，则 03k3，x23ky2k1 表示实轴为 x 轴的双曲线，a2b23c2.两曲线有相同焦点；当 k0 时，k0 且 3kk，x23ky2k1 表示焦点在 x 轴上的椭圆 a23k，b2k.a2b23c2与已知椭圆有相同焦点 答案：C 6已知实数 4，m,9 构成一个等比数列，则圆锥曲线x2my21 的离心率为()A.306 B.7 C.306或 7 D.56或 7 解析：因 4，m,9 成等比数列，则 m236，m6.当 m6 时圆锥曲线为椭圆x26y21，其离心率为306；当 m6 时圆锥曲线为双曲线y2x261，其离心率为 7，故选 C.答案：C 7已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C 在抛物线 x2y 的图象上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为()A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解析：由已知可得|AB|2 2，要使 SABC2，则点 C 到直线 AB 的距离必须为 2，设 C(x，x2)，而 lAB：xy20，所以有|xx22|2 2，所以 x2x22，当 x2x22 时，有两个不同的 C 点；当 x2x22 时，亦有两个不同的 C 点 因此满足条件的 C 点有 4 个，故应选 A.答案：A 8O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2 B2 2 C2 3 D4 解析：设 P(a，b)为抛物线上在第一象限内的点，则 a 24 2，得 a3 2，因为点 P(a，b)在抛物线上，所以 b2 6，所以 SPOF12 22 62 3，故选 C.答案：C 9已知双曲线x2a2y221(a 2)的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为()A.2 33 B.2 63 C.3 D2 解析：如图所示，双曲线的渐近线方程为：y2ax，若AOB3，则 6，tan2a33，a 6 2.又c 622 2，eca2 262 33.答案：A 10从椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24 B.12 C.22 D.32 解析：由已知，点 P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得 Pc，b2a，ABOP，kABkOP，bab2ac，bc，该椭圆的离心率 e22，选 C.答案：C 第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 11已知正方形 ABCD，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的离心率为_ 解析：设正方形边长为 1，则|AB|2c1，c12，|AC|BC|1 22a，a212，eca12212 21.答案：21 12 以抛物线 y28 3x 的焦点 F 为右焦点，且两条渐近线是 x 3y0 的双曲线方程为_ 解析：抛物线y28 3x的焦点F为(2 3，0)，设双曲线方程为x23y2，43(2 3)2，9，双曲线方程为x29y231.答案：x29y231 13直线 yx3 与曲线y29x|x|41 的公共点的个数为_个 解析：当 x0 时，方程y29x|x|41 化为y29x241；当 x0 时，y29x|x|41 化为y29x241，曲线y29x|x|41 是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如图)，直线 yx3 与曲线y29x|x|41 的公共点的个数为 3 个 答案：3 个 14抛物线 y2x 上存在两点关于直线 ym(x3)对称，则 m 的取值范围是_ 解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 ym(x3)对称，A，B 中点M(x，y)，则当 m0 时，有直线 y0，显然存在点关于它对称 当 m0 时，y21x1，y22x2y1y2x1x21y1y212y1m，所以 ym2，所以 M 的坐标为52，m2，M 在抛物线内，则有52m22，得 10m 10且 m0，综上所述，m(10，10)答案：(10，10)三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分 15(12 分)已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1(0，2 2)，F2(0,2 2)，且离心率 e2 23.(1)求椭圆的方程；(2)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B，且线段 AB 中点的横坐标为12，求直线 l 斜率的取值范围 解：(1)设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，由已知 c2 2，又ca2 23，解得 a3，所以 b1，故所求方程为y29x21.(6 分)(2)设直线 l 的方程为 ykxt(k0)代入椭圆方程整理得(k29)x22ktxt290，由题意得 2kt24k29t290，2ktk291，解得 k 3或 k 3.(12 分)16(12 分)已知动圆 C 过定点 F(0,1)，且与直线 l1：y1 相切，圆心 C 的轨迹为E.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)已知直线 l2交轨迹 E 于两点 P，Q，且 PQ 中点的纵坐标为 2，则|PQ|的最大值为多少？解：如图所示，(1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为 x24y.(4 分)(2)由题意易知直线 l2的斜率存在，又抛物线方程为 x24y，当直线 AB 斜率为 0 时|PQ|4 2.当直线 AB 斜率 k 不为 0 时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有 x214y1，x224y2，两式作差得 x21x224(y1y2)，即得 kx1x24t2，则直线方程为 y2t2(xt)，与 x24y 联立得 x22tx2t280.由根与系数的关系得 x1x22t，x1x22t28，|PQ|x1x22y1y22 1k2x1x224x1x2 1t244t242t28 8t24t26，即|PQ|的最大值为 6.(12 分)17(12 分)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 e，若右准线 l：xa2c与两条渐近线相交于 P，Q 两点，F 为右焦点，FPQ 为等边三角形(1)求双曲线 C 的离心率 e 的值；(2)若双曲线 C 被直线 yaxb 截得弦长为b2e2a，求双曲线 C 的方程 解：(1)双曲线 C 的右准线 l 的方程为：xa2c，与 x 轴的交点为 M，两条渐近线方程为：ybax.两交点坐标为Pa2c，abc，Qa2c，abc.PFQ 为等边三角形，则有|MF|32|PQ|(如图)ca2c32abcabc，即c2a2c3abc.解得 b 3a，c2a，eca2.(4 分)(2)由(1)得双曲线 C 的方程为x2a2y23a21.把 yax 3a 代入得(a23)x22 3a2x6a20.依题意 a230，12a424a23a20，a26，且 a23.双曲线 C 被直线 yaxb 截得的弦长为 x1x22y1y22 1a2x1x22 1a2x1x224x1x2 1a212a424a23a2a232.b2e2a12a，144a2(1a2)72a212a4a232，整理得 13a477a21020.a22 或 a25113，双曲线 C 的方程为x22y261 或13x25113y21531.(12 分)18(14 分)设椭圆方程为 x2y241，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A，B，O 是坐标原点，点 P 满足OP12(OAOB)，点 N 的坐标为12，12，当 l 绕点 M 旋转时，求：(1)动点 P 的轨迹方程；(2)|NP|的最小值与最大值 解：(1)直线 l 过点 M(0,1)，设其斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点 A、B 的坐标是方程组 ykx1 x2y241 的解 将代入并化简得(4k2)x22kx30，x1x22k4k2，y1y284k2.于是OP12(OAOB)x1x22，y1y22 k4k2，44k2，(6 分)设点 P 的坐标为(x，y)，则 xk4k2，y44k2，消去参数 k 得 4x2y2y0 当 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点(0,0)，也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为 4x2y2y0.(8 分)(2)由点 P 的轨迹方程知 x2116，即14x14.|NP|2x122y122 x122y2y14 x122144x2 3x162712，故当 x14时，|NP|取得最小值，最小值为14.当 x16时，|NP|取得最大值，最大值为216.(14 分)