2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学(文)试题(解析版)5270.pdf
第 1 页 共 19 页 2020 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考数学(文)试题 一、单选题 1已知集合12MxR x,集合4NxR x,则MN()A12x x B142xx CR D【答案】B【解析】由题意结合交集的定义可得:142MNxx.本题选择B选项.2在复平面内,复数z所对应的点A的坐标为(3,4),则zz()A4255i B4355i C3455i D3455i【答案】C【解析】先写出复数z代数形式,再根据复数的模以及除法运算法则求结果.【详解】34zi,所以22345z,所以5 3453434343455iiziiiz.故选:C【点睛】本题考查复数几何意义、复数的模以及复数除法运算,考查基本分析求解能力,属基础题.3 等比数列 na的前n项和为nS,若1234563,6aaaaaa,则12S()A15 B30 C45 D60【答案】C【解析】根据题设条件,得到4561232aaaaaa,进而得到78910111212,24aaaaaa,即可求解12S的值,得到答案.【详解】第 2 页 共 19 页 由题意,等比数列 na的前 n 项和为nS,满足1234563,6aaaaaa,则456123623aaaaaa,所以78910111212,24aaaaaa,则1212310111245Saaaaaa,故选 C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,及其前 n 项和的计算,其中解答中熟记等比数列的通项公式和前 n 项和公式,准确计算是解得的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4有一批种子,对于一颗种子来说,它可能 1 天发芽,也可能 2 天发芽,如表是不同发芽天数的种子数的记录:发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子数 8 26 22 24 12 4 2 0 统计每颗种子发芽天数得到一组数据,则这组数据的中位数是()A2 B3 C3.5 D4【答案】B【解析】根据数据以及中位数定义求结果.【详解】因为这批种子共有8262224124298个,82649,8262249,所以这组数据的中位数是 3,故选:B【点睛】本题考查中位数定义,考查基本分析求解能力,属基础题.5秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的2,2xn,则输出的S=()第 3 页 共 19 页 A8 B10 C12 D22【答案】D【解析】根据程序依次计算,直到跳出循环,输出结果,即可对照选择.【详解】模拟程序的运行,可得2,2,0,0,2xnkSa,2,1Sk,不满足条件2k,执行循环体,4,8,2aSk,不满足条件2k,执行循环体,6,22,3aSk,此时,满足条件2k,退出循环,输出 S 的值为 22.故选:D【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析求解能力,属基础题.6已知条件:12p x,条件:q xa,且q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A01a B13a C1a D3a 【答案】C【解析】分别求出两个命题p、q是的范围,p是q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件,由此求得a的取值范围【详解】:121p xx或3x ,当0a 时,:q xaxa或xa,当0a 时,:q xaxR,因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,因此 从而0a 或0,1,013,aaaa ,即1a 第 4 页 共 19 页 故选:C【点睛】本题考查由必要不充分条件求参数,属于基础题 7将函数2sin 24yx的图象向右平移12单位后,所得图象对应的函数解析式为()A52sin 212yx B52sin 212yx C2sin 212yx D2sin 212yx【答案】D【解析】先将函数2sin 24yx中 x 换为 x-12后化简即可.【详解】2sin 2()124yx化解为2sin 212yx 故选 D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将 x 按要求变换.8 某几何体的三视图如右图所示,其侧视图为等边三角形,则该几何体的体积为()A32 36 B43 C32 312 D243【答案】A【解析】根据三视图还原为直观图,可知该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成,再求圆锥的底面半径,三棱柱的各边,根据体积公式求解即可【详解】第 5 页 共 19 页 由已知中的三视图可得,该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成,如图,其中半圆锥的底面半径为 1,高为3,三棱柱的底面是一个边长为 2 的正三角形,高为2,则该几何体的体积:211333222 33246V 故选:A 【点睛】本题主要考查三视图、几何体的体积,以空间几何为载体,考查考生的空间想象能力与基本运算能力,考查的核心素养是数学抽象、直观想象、数学运算.9已知实数a,b满足不等式2211ab,则点1,1A与点1,1B 在直线10axby 的两侧的概率为()A34 B23 C12 D13【答案】C【解析】根据题目可知当A与B在直线两侧时110abab ,又因为2211ab,则图象是单位元内的点,其所在的位置占整个圆的12,由此可得结果【详解】解:若点1,1A与点1,1B 在直线10axby 的两侧,则110abab ,即110abab ,又实数a,b满足不等式2211ab,作出图象如图:由图可知,第 6 页 共 19 页 点1,1A与点1,1B 在直线10axby 的两侧的概率为12 故选:C 【点睛】本题考查线性规划以及几何概型,属于基础题 10 正项数列 na的前n项和为nS,且2*2nnnSaanN,设 2112nnnnacs,则数列 nc的前 2020 项的和为()A20192020 B20202019 C20202021 D20212020【答案】C【解析】先根据和项与通项关系得11nnaa,再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,nnaS,代入化简nc,最后利用分组求和法求结果.【详解】因为2*2,0nnnnSaanNa,所以当1n 时,21112aaa,解得11a,当2n 时,2211122nnnnnnnaSSaaaa,所以 1110nnnnaaaa,因为0na,所以11nnaa,所以数列 na是等差数列,公差为 1,首项为 1,所以111,2nnn nann S,所以 2121111112(1)1nnnnnnancsn nnn ,则数列 nc的前 2020 项的和11111111202011223342020202120212021 .第 7 页 共 19 页 故选:C【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法,考查基本分析求解能力,属中档题.11设函数 f x满足 2xexfxfxx,224ef,则0 x 时,f x()A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值【答案】B【解析】先利用导数的运算法则,确定 fx的解析式,构造新函数,确定函数的单调性即可求出结论【详解】解:由 22xx fxxf xe,即 2xx fxe,结合 224ef,可知 2xefxx,32xexfxx,可知此函数仅有一个极值点,是极小值点,没有极大值 故选:B【点睛】本题考查导数知识的应用,考查函数的单调性与极值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题 12已知定义在 上的函数对任意的 都满足,当时,若函数,且至少有 6 个零点,则 取值范围是 A B C D【答案】A【解析】试题分析:函数 g(x)=f(x)-loga|x|的零点个数,即函数 y=f(x)与 y=loga|x|的交点的个数;由 f(x+1)=-f(x),可得 f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),故函数 f(x)是第 8 页 共 19 页 周期为 2 的周期函数,又由当-1x1 时,f(x)=x3,据此可以做出 f(x)的图象,y=loga|x|是偶函数,当 x0 时,y=logax,则当 x0 时,y=loga(-x),做出 y=loga|x|的图象:结合图象分析可得:要使函数 y=f(x)与 y=loga|x|至少有 6 个交点,则 loga51 或 loga5-1,解得 a5,或.故选 C.【考点】1.考查函数图象的变化与运用 二、填空题 13已知tan2a,则sin2a _.【答案】45【解析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tan a的值,再利用二倍角的正弦公式得到sin22sincosaa,分母除以1,利用同角三角函数关系式得到222sincossin 2sincosaaaaa,最后转化为tana即可求出sin2的值.【详解】解:因为tantan2aa,所以222sincossin 2sincosaaaaa 222tan2 24tan1215aa 故答案为:45【点睛】本题考查了二倍角的正切函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.第 9 页 共 19 页 14向量a,b满足2a,1b,且22,2 3ab,则a,b的夹角的取值范围是_.【答案】2,33【解析】首先根据22,2 3ab两边平方,然后根据平面向量的数量积公式进行求解即可【详解】因为22,2 3ab,所以224,12ab,即2244448cos4,12aba b,所以1 1cos,2 2,故2,33 故答案为:2,33【点睛】本题重点考查了数量积的概念、运算法则及夹角等知识,属于基础题 15在平面直角坐标系xOy中,过点(0,1)的直线l与双曲线2231xy交于两点A,B,若OAB是直角三角形,则直线l的斜率为_.【答案】1k 【解析】先设直线方程与双曲线方程联立方程组,根据垂直条件,结合韦达定理求直线l的斜率.【详解】直线l的斜率显然存在,设直线为1ykx,联立双曲线:2231xy,消去y得:223220kxkx.若90AOB,则0110ABABOA OBx xkxkx,222222(1)10(1)1033ABABkkx xk xxkkkk 解得1k .若90OAB(A在左支)设A点坐标(m,n)(0m),则第 10 页 共 19 页 22900OABmnn,联立双曲线无解,故不可能出现90OAB。若90OAB(B 在右支),同理不可能 故答案为:1k 【点睛】本题考查直线与双曲线位置关系,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题 16设实数x,y满足23,12,4,xyxy则1yx 的最大值为_.【答案】2【解析】先根据题意画出可行域,目标函数1yx 表示的是可行域内的点到定点10P,的斜率,当直线过点A时斜率为最大值,只需解方程组求解点2,2A代入目标函数即可 【详解】由实数x,y满足23,12,4,xyxy作出可行域如图,联立2,4xxy得2,2A,由1yzx,而222 1PAk,所以目标函数1yx 的最大值为 2 故答案为:2 第 11 页 共 19 页【点睛】本题考查求分式型的非线性规划的目标函数题,准确作图,利用目标函数的集合意义是解题的关键 17 在ABC中,角,A B C所对的边分别为,a b c,2coscoscosbcosCaBbAB.(1)求证:ABC是等腰三角形;(2)若7cos8A,且ABC的周长为 5,求ABC的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)154.【解析】试题分析:(1)根据正弦定理边化角有2sinBcosCsinAcos BsinBcosAcosBcosBsin AB,据此可得0sin BC,则BC,所以ABC是等腰三角形;(2)由(1)结合余弦定理可得:2ba.ABC的周长为55abca,得1,2ab.由面积公式可得ABC的面积11524SbcsinA.试题解析:(1)根据正弦定理,由2bcosCacos BbcosAcosB可得 2sinBcosCsinAcos BsinBcosAcosBcosBsinAcosBsinBcosA cosBsin AB,即sinBcosCcosBsinC,故0sin BC,由,0,B C得,BC ,故BC,所以ABC是等腰三角形;(2)由(1)知bc,222222272228bcabacosAbabcb.又因为ABC的周长为55abca,得1,2ab.故ABC的面积2117152 212284SbcsinA .18某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为20,25,25,30,30,35,35,40,40,45,第 12 页 共 19 页 45,50,50,55等七组,其频率分布直方图如图所示,已知25,30这组的参加者是 6 人.(1)根据此频率分布直方图求N;(2)已知35,40,40,45这两组各有 2 名数学教师,现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的概率 【答案】(1)40N;(2)1635【解析】(1)先求出年龄在25,30内的频率,由25,30这组的参加者人数和其频率求出总人数N.(2)分别求出“从年龄在35,40之间选出的人中至少有1名数学教师的人数和“从年龄在40,45之间选出的人中至少有 1 名数学教师的人数,即可求出两组选出的人中都至少有 1 名数学老师的概率【详解】解:(1)根据题意,25,30这组频率为0.03 50.15,所以6400.15N;(2)35,40这组的参加者人数为0.04 5 408,40,45这组的参加者人数为0.03 5 406,恰有 1 名数学老师的概率为1 1221 12 6462 422861635c cccc cc c.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题 19 在如图所示的几何体中,ABC是边长为 2 的正三角形,1AE,AE平面ABC,平面BCD 平面ABC,BDCD,且BDCD.第 13 页 共 19 页 (1)若2AE,求证:AC P平面BDE;(2)若B到DE的距离是72,求该几何体的体积.【答案】(1)见解析;(2)3【解析】(1)取BC、BE、BA的中点为M,N,K,证明DNKM是平行四边形 则有KMDNP,又因为KMACP,即ACDNP,即可证得AC P平面BDE(2)首先证明AB 面AMED,几何体的体积 B AEDMCAEDMVV锥锥13EAMDSMBMA,求出EAMDS,即可求得体积。【详解】(1)如图,取BC、BE、BA的中点,分别为M,N,K 连接DM,DN,NK,MK,112122NKAE,M为BC的终点,DMBC,1DM NK DMP 所以DNKM是平行四边形 所以KMDNP,又因为KMACP(三角形中位线定理),所以ACDNP 第 14 页 共 19 页 ACDNACBDEACBDEDNBDE平面平面平面 所以AC P平面BDE得证(2)如图,首先证明AB 面AMED,所以该几何体的体积 13EAMDB AEDMCAEDMVVSMBMA锥锥,所以核心是求EAMDS 如图 在EAMD平面内,过M点做ED直线垂线,垂足是T,连接MT 则BTED,于是72BT 因为1MB,1MD 所以32BT,从而60TDM,所以2AE,从而3 32EAMDS 进而几何体的体积3【点睛】本题着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理,空间几何体的体第 15 页 共 19 页 积,属于中档题。20已知椭圆2222:10 xyCabab的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F,离心率为22,ABF的面积为21.(1)求椭圆C的方程;(2)若M,N为y轴上的两个动点,且MFNF,直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D两点,若O是坐标原点,求证:E、O、D三点共线。【答案】(1)22142xy;(2)见解析【解析】(1)根据离心率公式和面积公式可求得,a b,即可求得椭圆的方程;(2)分别设直线AMl求出其与曲线的交点2,0A,11,E x y,同理设ANl求出其与曲线的交点2,0A,22,D x y,根据斜率ODOEkk得到三点共线【详解】(1)依题意:22cea,2ac,bc,211212122ABFSacbc,所以222cb,24a,所以椭圆方程:22142xy(2)设:2AMmlyxm与2224xy交于2,0A、11,E x y,且0,Mm 2222222122402224myxmxm xmxy,212422mxm,1242mym,设:2ANnlyxn与2224xy交于2,0A、22,D x y,且0,Nn,2,0F 同理可得222424,22nnDnn,所以222244242422OEmmmkmmm,第 16 页 共 19 页 由MFNF,可得mn2,2222228448448424842424ODOEnmmmmkknmmmm,所以ODOEkk 所以E,O,D三点共线从而ED恒过定点O【点睛】本意考查了椭圆标准方程的求法,考查了直线与椭圆相交,一元二次方程的根与系数的关系、三点共线关系,考查推理能力与计算能力 21如果函数 f x满足 1fxfx且1x 是它的零点,则函数 f x是“有趣的”,例如 1lnlng xxx就是“有趣的”,已知 2lnlnh xxcbx是“有趣的”.(1)求出b、c并求出函数 h x的单调区间;(2)若对于任意正数x,都有 0h xkg x恒成立,求参数k的取值范围.【答案】(1)2b,1c,单减区间为 0,1),单增区间为1,;(2)1,2【解析】(1)根据定义得方程恒成立,解得b、c,再根据复合函数单调性确定函数 h x的单调区间;(2)先化简不等式,再求导数,根据导函数符号分类讨论,利用导数证明12k 恒成立,再说明12k 不恒成立.【详解】(1)因为 2lnlnh xxcbx是“有趣的”,所以 1(),(1)0h xhhx 即 221lnlnlnln,1ln(1)ln0bxcbxchcbxx 221112,xccxcbc 211ln1ln 2ln()2h xxxxx()h x的定义域为(0,),单减区间为(0,1),单增区间为1,.第 17 页 共 19 页(2)参数k的取值范围为1,2.引理:不等式1lnyy 对任意正数 y 都成立。证明如下:11 ln101(0,1),0;(1,),0(1)0uyyuyyyyyyyy 由 0h xkg x恒成立,得221(ln)ln02xkxx恒成立。.我们构造函数221()(ln)ln2xF xkxx。注意到10F()。222222ln11()21 ln111xxF xkk xxxxx xx x 构造()(1)ln1G tk ttt,注意到(1)0G,且 221()1F xG xx x 11()ln11ln21kG tktkkkttt 我们以下分两部分进行说明:第一部分:12k 时,()0F x 恒成立。12k 时,由引理得:111ln0tt,知道11()1ln210G tkktt ,从而当1t 时有()(1)0G tG,1t 时有()(1)0G tG,所以 221()1F xG xx x在(0,1)上为负,在1(,)上为正。从而 F x在0,1上单减,在1,上单增,最小值为 1F。从而()(1)0F xF 第二部分:12k 时,不满足条件。构造函数()(1ln)21H sk ssk。()若0k,则对于任意(0,1)s,都有()0H s。()若0k,则对于任意(0,1)s,()(1)0kH sss,第 18 页 共 19 页 而11ee10kkhk,所以在(0,1)上H s()有唯一零点0SS,同时在0,1ss,时都有0H s()。于是只要12k,无论是()还是(),我们总能找到一个实数001s,在(0,1)s时都有0H s()。这样在011,ts时,都有1()0G tHt ,结合(1)0G,所以011,ts时()0G t,从而在011,xs时有 221()01F xG xx x。(1)0F,所以011,xs时0F x(),不满足要求。【点睛】本题考查利用导数求函数单调性以及利用导数研究不等式恒成立,考查综合分析求解能力,属难题.22选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下,直线(为参数),以原点 为极点,以 轴为非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为()写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;()若直线 与曲线 交于,两点,求的值【答案】()直线:,曲线:;().【解析】试题分析:()消去参数,得直线 的普通方程为,由,两边同乘以,得曲线 的直角坐标方程为;()将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得,即,由直线参数的几何意义知,.试题解析:()直线 的普通方程为,由,即曲线 的直角坐标方程为 第 19 页 共 19 页()把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得,即,设方程的两根分别为,则 【考点】极坐标与参数方程(互化)、直线参数几何意义 23已知函数()|()f xxxR.(1)求不等式(1)(1)4f xf x的解集M;(2)若,a bM证明:2()()4f abf ab【答案】(1)2,2M (2)见解析.【解析】(1)由零点分段法讨论x的范围,解各个范围内的不等式,最后求并集即可求出解集.(2)由题意可知,即证2|4abab,对两边平方,作差,根据(1)的结论即可证明结果.【详解】(1)2,1112,112,1x xxxxx x ,故124xx 或1124x 或124xx,故不等式的解为 2,2.(2)证明:要证2|4abab,只需证224()(|4)abab,即证222484()8|16aabbabab().只需证:222484()8|160aabbabab 因为88|abab,所以只需证:22244()160abab,又由(1)知,|2,|2ab,则22440ab,即22244()160abab,所以()式显然成立,故原命题得证.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式,考查分析法证明不等式,属于基础题.