2019年高考数学总复习第20讲导数的实际应用及综合应用5197.pdf

第 20 讲 导数的实际应用及综合应用 1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式yax310(x6)2，其中 3x6，a为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 (1)因为当x5 时，y11，所以a5310(56)211，解得a2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y2x310(x6)2(3x6)，所以该商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)2x310(x6)2(x3)210(x3)(x6)2(3x6)，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得，x4 是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x4 时，f(x)max42.答：当销售价格定为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F是AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 (1)根据题意，有 S4 2x22(602x)240 x8x2 8(x15)21800(0 x30)所以x15 时包装盒侧面积S最大(2)根据题意，有 V(2x)222(602x)2 2x2(30 x)(0 x30)所以V6 2x(20 x)当 0 x0，V单调递增；当 20 x30 时，V0，则由f(x)0 得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 若a0，则由f(x)0 得xln(a2)当x(，ln(a2)时，f(x)0.故f(x)在(，ln(a2)上单调递减，在(ln(a2)，)上单调递增(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即a1 时，f(x)0.若a1 时，g(x)0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1，)内恒成立 (1)由题意得f(x)2ax1x2ax21x(x0)当a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)内单调递减 当a0 时，由f(x)0 有x12a，当x(0，12a)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(12a，)时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1 时，s(x)0，所以 ex1x，从而g(x)1x1ex10.(3)由(2)知，当x1 时，g(x)0.当a0，x1 时，f(x)a(x21)ln x0.故当f(x)g(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当 0a12时，12a1.由(1)有f(12a)f(1)0，而g(12a)0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立 当a12时，令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1 时，h(x)2ax1x1x2e1xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20.因此，h(x)在区间(1，)上单调递增 又因为h(1)0，所以当x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立 综上，a12，)