2020届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学(文)试题(解析版)5531.pdf

第 1 页 共 18 页 2020 届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校 高三上学期第一次联考数学（文）试题 一、单选题 1已知集合|2xPy y，|1Qx yx，则PQ（）A1,1 B0,C,11,D0,1【答案】D【解析】分别求两个集合，再求交集.【详解】|0Py y，10 x，解得：1x|1Qx x，0,1PQ.故选：D.【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型.2复数21ii等于（）A1 i B1 i C1 i D1 i 【答案】A【解析】略 3已知一组数据点11,x y，22,xy，33,x y，77,xy，用最小二乘法得到其线性回归方程为24yx，若数据1x，2x，3x，7x的平均数为 1，则71iiy（）A2 B11 C12 D14【答案】D【解析】根据,x y在回归直线上，代入求y，再求71iiy.第 2 页 共 18 页【详解】1x，且,x y在线性回归直线24yx上，242 142yx ，则7177214iiyy.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点,x y.4经过原点并且与直线20 xy相切于点2,0的圆的标准方程是（）A22112xy B22112xy C22114xy D22114xy【答案】A【解析】设圆心为,a b，根据条件列关于,a b的方程，求圆的标准方程.【详解】设圆心的坐标为,a b，则222abr，2222abr，12ba；由组成方程组，解得 1a，1b ，22r；故所求圆的标准方程是22112xy.故选：A.【点睛】本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型.5已知向量1,3a，3,bm.若向量ab，则实数m等于（）A3 3 B3 3 C3 D3 第 3 页 共 18 页【答案】D【解析】直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.【详解】向量1,3a，3,bm，若向量ab，则330a bm，则实数3m ，故选：D【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型.6 阅读如图的程序框图.若输入6n,则输出k的值为 A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否 k=1；第二圈，n=13,n=27,否 k=2；第三圈，n=27,n=55,否 k=3；第四圈，n=55,n=110,是，输出 k=3；故选 B。【考点】本题主要考查程序框图。点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果。7如图，正三棱柱111ABCABC中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）第 4 页 共 18 页 A1CC与1B E是异面直线 BAC 平面11ABB A CAE，11BC为异面直线，且11AEBC D11/AC平面1AB E【答案】C【解析】逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析；B.根据AC与AB的夹角判断；C.利用面面垂直的性质定理证明；D.利用11/ACAC，判断线面是否平行.【详解】A.1CC与1B E都在平面11B BCC内，所以是共面直线，不是异面直线，故不正确；B.若AC 平面11ABB A，则AC应垂直于平面内的任一条直线，但AC与AB的夹角是60，不垂直，故不正确；C.AE与11BC是异面直线，平面ABC平面11BBC C，且平面ABC平面11BBC CBC，又ABC是正三角形，且E是BC的中点，AEBC,AE平面11BB C C，11AEBC 故 C 正确；D.11/ACAC,又AC与平面1AB E相交，那么11AC与平面1AB E相交，故不正确.故选：C【点睛】本题考查线线和线面关系的判断，意在考查空间想象能力和推理与证明，属于中档题型.8赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4第 5 页 共 18 页 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DFAF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A413 B2 1313 C926 D3 1326【答案】A【解析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在ABD中，3AD，1BD，120ADB，由余弦定理，得222cos12013ABADBDAD BD，所以213DFAB.所以所求概率为2241313DEFABCSS.故选 A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 9等差数列 na的公差为d，前n项和为nS，当首项1a和d变化时，3711aaa是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A7S B8S C13S D15S【答案】C【解析】根据等差数列的性质可知371173aaaa，可知7a是定值，再利用等差数列的前n项和公式计算.【详解】第 6 页 共 18 页 371173aaaa是一个定值，只有：11313713132aaSa是一个定值.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列的前n项和，意在考查基本计算，属于基础题型.10已知定义在R上的偶函数 f x满足11fxfx，且当02x时，3f xxx，则在区间0,6上函数 yf x的图象与x轴的交点的个数为（）A6 B7 C8 D9【答案】B【解析】首先由题意判断函数的周期2T，再根据02x时的零点个数，判断在0,6上的零点个数.【详解】因为 f x是R上偶函数，且满足11fxfx，满足111fxfxf x，令1xt，则1xt，2f tf t；f x是最小正周期为 2 的周期函数，当02x时，30f xxx解得0 x 或1x，故 0f x 在区间0,6上解的个数为 6，又因为 600ff，故 0f x 在区间0,6上解的个数为 7，即函数 yf x的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 7.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的性质求函数的零点个数，属于基础综合问题，本题的关键是根据函数性质判断函数的周期，当函数有两个对称轴时，可判断函数是周期函数.11已知点P是双曲线C：222210,0 xyabab右支上一点，1F是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF的中垂线，则该双曲线的离心率是（）第 7 页 共 18 页 A2 B3 C2 D5【答案】D【解析】设渐近线与1PF交于点M，,O M分别是12FF和1PF的中点，则2/OMPF，由题意可知，12PFF是直角三角形，设1PFm，2PFn，12PFF内建立边长的等量关系，求双曲线的离心率.【详解】设渐近线与1PF交于点M，,O M分别是12FF和1PF的中点，则2/OMPF，由题意，12PFF是直角三角形，2PF的斜率为ba，设1PFm，2PFn，则mbna,2mna，2224mnc，由可知，222abmbaanba，2422244abacbaba 解得：2ba，5ca，5cea.故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是 1.直接法：直接求出,a c，然后利用公式cea求解；2.公式法：第 8 页 共 18 页 222111cbeaabc，3.构造法：根据条件，可构造出,a c的齐次方程，通过等式两边同时除以2a，进而得到关于e的方程.12函数 223,0,0 xxf xxx，若0ab，且 f af b，则f ab的取值范围是（）A,0 B1,C1,0 D,1 【答案】B【解析】首先画出函数的图象，根据 f af bt可知0t，并解出a和b，表示313222tabttt 21112t，根据a b的范围，再代入分段函数求值域.【详解】设 f af bt，作出 f x的图象，由图象知，0t，由 2f aat，得at，由 23f bbt ，得32tb，则313222tabttt 21112t，0t，0t，则211112mt ，即1mab，第 9 页 共 18 页 此时 232 31f abf mm ，即f ab的取值范围是1,，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是a b用t表示，并求其范围.13若变量x，y满足约束条件280403xyxy，则2zxy的最大值等于（）A7 B8 C10 D11【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组280403xyxy所表示的可行域如下图所示，直线4x 交直线28xy于点4,2A，作直线:2l zxy，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max2 4210z，故选 C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.二、填空题 14已知函数 3log,041,0 x xf xxx，则2ff _.【答案】2【解析】先求 2f，再求 2ff 的值.第 10 页 共 18 页【详解】函数 3log,041,0 x xf xxx，24219f ，329log 92fff.故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单计算题型.15甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第 1 名到第 5 名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_.【答案】13【解析】根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率.【详解】甲和乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，这三个人获得第一名是等概率事件，丙是第一名的概率是13.故答案为：13.【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.16已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为_【答案】144【解析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，第 11 页 共 18 页 设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB R2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144.故答案为 144.【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.三、解答题 17已知函数 22cossin2xfxaxb.（1）当1a 时，求 f x的单调递增区间；（2）当0a，且0,x时，f x的值域是3,4，求a，b的值.【答案】（1）32,244kkkZ；（2）21,3ab【解析】（1）当1a 时，利用降幂公式22cos1cos2xx，和辅助角公式化简函数 2sin14fxxb，再求函数的单调递增区间；（2）类似于（1）的化简 2 sin4fxaxba，先求4x的范围，再求sin4x的范围，再用,a b表示函数的最值，列方程组求解.【详解】（1）当1a 时，22cossin1cossin2xxbxxbfx 2sin14xb.由22242kxkkZ得：32244kxkkZ，所以 f x的单调递增区间为32,244kkkZ；第 12 页 共 18 页（2）因为 22cossin2xfxaxb1cossin2 sin4axxbaxba，50,sin4444xxx2,12 sin,224axaa ，所以，,21f xbab，又 f x的值域是3,4，所以3b，432121a.【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.18交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：0,2T 畅通；2,4T 基本畅通；4,6T 轻度拥堵；6,8T 中度拥堵；8,10T 严重拥堵.晚高峰时段（2T），从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.（）用分层抽样的方法从交通指数在4,6，6,8，8,10的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（）从（）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.【答案】（）2,3,1；（）35P 【解析】（）分别求4,6，6,8，8,10这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽取的路段的个数；（）根据（）的结果，分别设2个轻度拥堵路段为1A，2A，选取的3个中度拥堵路段为1B，2B，3B，选取的1个严重拥堵路段为C，然后按照列举法求概率.第 13 页 共 18 页【详解】（）由直方图可知：0.1 0.21 206，0.250.21 209，0.1 0.051 203.所以这 20 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为 6 个，9 个，3 个.拥堵路段共有69318 个，按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个，每种情况分别为：66218，69318，63118，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1.（）记（）中选取的2个轻度拥堵路段为1A，2A，选取的3个中度拥堵路段为1B，2B，3B，选取的1个严重拥堵路段为C，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：12,A A，11,A B，12,A B，13,A B，1,A C，21,A B，22,A B，23,A B，2,A C，12,B B，13,B B，1,B C，23,B B，2,B C，3,B C，共 15 种可能，其中至少有1个轻度拥堵的有：12,A A，11,A B，12,A B，13,A B，1,A C，21,A B，22,A B，23,A B，2,A C，共 9 种可能，所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为：93155P.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.19如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB 平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积【答案】（1）证明见解析；（2）62 3.第 14 页 共 18 页【解析】试题分析：（1）由90BAPCDP，得ABAP，CDPD从而得ABPD，进而而AB 平面PAD，由面面垂直的判定定理可得平面PAB 平面PAD；（2）设PAPDABDCa，取AD中点O，连结PO，则PO底面ABCD，且22,2ADa POa，由四棱锥PABCD的体积为83，求出2a，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAPCDP，得ABAP，CDPD 由于ABCD，故ABPD，从而AB 平面PAD 又AB 平面PAB，所以平面PAB 平面PAD （2）在平面PAD内作PEAD，垂足为E 由（1）知，AB 面PAD，故ABPE，可得PE 平面ABCD 设ABx，则由已知可得2ADx，22PEx 故四棱锥PABCD的体积31133P ABCDVAB AD PEx 由题设得31833x，故2x 从而2PAPD，2 2ADBC，2 2PBPC 可得四棱锥PABCD的侧面积为 111222PA PDPA ABPD DC 21sin6062 32BC 20已知函数 2xexf xa，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为1ybx.（）求a，b的值；（）求 f x在 0,1上的最大值.【答案】（）1a，2be；（）max1f xe.【解析】（）利用导数的几何意义可知 11fb，和 1fb，求a，b的值；第 15 页 共 18 页（）由（）可知，2xf xex，先求 2xfxex，再求 2xfxe，利用 fx的正负，分析 fx的单调性，并求 fx的最小值，并判断 yf x的单调性，求函数的最大值.【详解】（）2xfxeax，由题设得 12feab，11feab，解得1a，2be.（）由（）知 2xf xex，所以 2xfxex，2xfxe，所以 fx在0,ln 2上单调递减，在ln2,上单调递增，所以 ln222ln20fxf，所以 f x在 0,1上单调递增，所以 max11f xfe.【点睛】本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数 fx的正负，分析 fx的单调性，21如图，已知椭圆：222210 xyabab经过点2,0A，离心率32e.（）求椭圆的方程；（）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问OMON是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（）2214xy；（）是定值，52 第 16 页 共 18 页【解析】（）根据已知条件列方程组222232acaabc，求解椭圆方程；（）由（）求得点C的坐标，并求直线OC的方程20 xy，设00,P x y，112,My y，222,Ny y，根据三点共线求1y和2y，并表示1212555OM ONyyy y.【详解】（）由题意可知：222232acaabc，解得21ab，所以椭圆的方程：2214xy；（）由已知，点C的坐标为11,2，得直线OC 的方程为20 xy，设00,P x y，112,My y，222,Ny y，因P，A，M三点共线，故0110222yyyx，整理得0100222yyxy，因P，B，N三点共线，故0220112yyyx，整理得020022xyxy，因点P在椭圆上，故220044xy，从而000012200000022222224yxx yy yxyxyxy00220000214442x yxyx y，所以121255552OM ONyyy y为定值.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N的纵坐标并用点P的纵坐标表示，并将OM ON表示为1212555yyy y，这样问题迎刃而解.22已知直线l：1cossinxtyt （t为参数，a 为l的倾斜角），以坐标原点为极点，第 17 页 共 18 页 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：26cos50.（1）若直线l与曲线C相切，求的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为(,)x y，求xy的取值范围.【答案】（1）566或；（2）32 2,32 2【解析】试题分析：（1）将直线l的参数方程化为普通方程为sincossin0 xy，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为22650 xyx，利用直线和圆相切的条件，列方程求的值；（2）利用圆的参数设32cos,2sinxy，从而将xy用角表示，转化为三角函数的取值范围问题 试题解析：（1）曲线 C 的直角坐标方程为22650 xyx 即22(3)4xy曲线 C 为圆心为（3，0），半径为 2 的圆.直线 l 的方程为:sincossin0 xy3 分 直线 l 与曲线 C 相切 223sinsin2sincos 即1sin25 分 a0，）a=566或6 分（2）设32cos,2sinxy 则xy=32cos2sin32 2sin()49 分 xy的取值范围是32 2,32 2.10 分【考点】1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程和参数方程.23若实数x，y，m满足xmym，则称x比y接近m.（）若2x比1接近3，求x的取值范围；（）已知,a bR，0m 且ab，求证：1ambm比221ambm接近 0.【答案】（）1 5,2 2；（）证明见解析【解析】（）由题意可知231 32x，转化为解含绝对值不等式；第 18 页 共 18 页（）利用分析法转化为证明220011ambambmm，然后两边平方，逐步转化为使命题成立的充分条件.【详解】（）由已知得231 32x，则2232x ，1522x，x的取值范围为1 5,2 2.（）要证1ambm比221ambm接近 0，只需证220011ambambmm，只需证222211ambambmm，只需证2221ambambm，即证222ambabm.,a bR，0m 且ab，222ambabm显然成立，1ambm比221ambm接近 0.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，以及分析法证明不等式，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型.