2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)5728.pdf

第 1 页 共 20 页 2020 届黑龙江省大庆市 高三第二次教学质量检测数学（文）试题 一、单选题 1已知集合2,4,6,8A，|26Bxx，则AB（）A2,4 B2,4,6 C4,6 D2,6【答案】C【解析】利用交集的运算，即可得到结果.【详解】集合2,4,6,8A，|26Bxx，4,6AB，故选：C【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.2设复数z满足(1)2i zi，则|z（）A2 B22 C12 D2【答案】A【解析】1 i2i,1 i 1 i1 i2izz ,化为221 i,1 izz ，22112z，故选 A.3函数 ln26f xxx的零点一定位于区间（）A1,2 B2,3 C3,4 D4,5【答案】B【解析】函数 f xlnx2x6在其定义域上连续，同时可判断 f（2）0，f（3）0；从而可得解【详解】函数 f（x）lnx2x6在其定义域上连续，f（2）ln2+226ln220，第 2 页 共 20 页 f（3）ln3+236ln30；故函数 f xlnx2x6的零点在区间（2，3）上，故选 B【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题 4下列函数中，定义域和值域相同的函数是（）A3xy B12logyx C3yx Dtanyx【答案】C【解析】分别求出四个函数的定义域及其值域分析得答案【详解】3xy 的定义域为 R，值域为0,，不符合题意；12logyx的定义域为0,，值域为 R，不符合题意；3yx的定义域为 R，值域为 R，符合题意；tanyx的定义域为,2xR xkkZ，值域为 R，不符合题意，故选：C【点睛】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查了学生对基本函数的图象与性质的掌握情况.5 给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则,p q均为假命题；命题“若ab，则221ab”的否命题为“若ab，则221ab”；命题“xR，211x ”的否定是“xR，211x ”；在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的充要条件.其中正确的命题是（）A B C D【答案】A【解析】根据复合命题与简单命题之间的关系进行判断根据否命题的定义进行判断根据含有量词的命题的否定进行判断根据正弦定理及充要条件的定义进行判断【详解】第 3 页 共 20 页 解：若“p且q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题，错误 根据命题的否命题可知，命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”，正确 特称命题的否定是全称命题，得“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”正确 在ABC中，sinAsinBsinA2RsinB2RabAB，正确；故正确；故选：A【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，复合命题与简单命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充要条件的定义，比较基础 6已知向量(3,2)a，(1,)bm，且aba，则m（）A-8 B-6 C6 D8【答案】D【解析】利用向量的加法与数量积运算即可得到结果.【详解】向量(3,2)a，(1,)bm，4,2abm，又aba，12220m，8m，故选：D【点睛】本题考查平面向量的运算，考查向量垂直的等价条件，考查计算能力.7已知各项均不为 0 的等差数列 na，满足23711220aaa，数列 nb为等比数列，且77ba，则113b b（）A16 B8 C4 D2【答案】A【解析】化简得到27704aa，计算得到74a，再利用等比数列的性质得到21137b ba得到答案.第 4 页 共 20 页【详解】各项均不为 0 的等差数列 na，223711777240204aaaaaa 221137716b bba 故选：A【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用.8 某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为 2 的正方形，三视图中的曲线均为14圆周，则该组合体的体积为（）A283 B483 C246 D242【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为 2 的正方体除去八个四八分之一半径为 1 的球形成的几何体，计算体积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为边长为 2 的正方体除去八个八分之一半径为 1 的球形成的几何体 故3442833V 故选：B【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键.9函数 sin0,2fxx的最小正周期为，若其图象向左平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f x的图象（）A关于点7,012对称 B关于点,012对称 C关于直线12x 对称 D关于直线712x 对称 第 5 页 共 20 页【答案】C【解析】根据函数()f x的最小正周期为，求出，向左平移6个单位后得到的函数为奇函数，求出，可得出()f x的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案.【详解】根据三角函数的图象与性质2|T，可得|2，因为0，所以2 所以()sin(2)f xx 设()f x的图象向左平移6个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g xxx 若()g x为奇函数，则(0)0g,故3k(kZ)，即,3kkZ 因为|2，所以3，所以()sin 23f xx，由23xk,(kZ)解得62kx,所以()f x关于点,062k,(kZ)对称 A 项，不存在整数k，使得76212k，故 A 项错误；B 项，不存在整数k，使得6212k，故 B 项错误；由232xk(kZ)解得5122kx,所以()f x关于直线5122kx(kZ)对称 C 项，当1k 时，12x，故()f x关于直线12x 对称，故 C 项正确；D 项，不存在整数k，使得5712212k，故 D 项错误.故选:C.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，第 6 页 共 20 页 综合性较强，属于中等题.10若函数6(3)3,7(),7xa xxf xax，若对任意的12,x xR，都有 12120f xf xxx，则实数a的取值范围是（）A9,34 B9,3)4 C1,3 D2,3【答案】B【解析】由任意x1x2，都有 1212f xf xxx0 成立，得到函数f（x）单调递增，从而列出不等式组，解不等式组组则可得答案【详解】解：对任意x1x2，都有 1212f xf xxx0 成立，函数f（x）单调递增，又函数6(3)3,7(),7xa xxf xax，1307 33aaaa，解得：1394aaa 实数a的取值范围是：94a3 故选：B【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题 11已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为A，且以A为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C两点，若BCb，则双曲线C的离心率为（）第 7 页 共 20 页 A2 33 B4 33 C2 D72【答案】A【解析】由题意可知：ABC为边长为b的等边三角形，即,0A a到渐近线的距离为32b，从而可得双曲线C的离心率.【详解】由题意可知：ABC为边长为b的等边三角形，,0A a到渐近线的距离为32b（等边三角形的高），设双曲线的一条渐近线为0byax，2232abbba，即32abbc，双曲线C的离心率2 33e，故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的转化能力与计算能力，属于中档题 12如图，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MD=NB=1，E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是（）A平面BCE 平面 ABN BMCAN C平面CMN 平面 AMN D平面BDE/平面 AMN【答案】C【解析】将几何体补成正方体后再进行判断【详解】第 8 页 共 20 页 分别过 A，C 作平面 ABCD 的垂线 AP，CQ，使得 AP=CQ=1，连接 PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为 1 的正方体 BC平面 ABN，BC平面 BCE，平面 BCE平面 ABN，故 A 正确；连接 PB，则 PBMC，显然 PBAN，MCAN，故 B 正确；取 MN 的中点 F，连接 AF，CF，AC AMN 和CMN 都是边长为2的等边三角形，AFMN，CFMN，AFC 为二面角 A-MN-C 的平面角，AF=CF=62，AC=2，AF2+CF2AC2，即AFC2，平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故 C 错误；DEAN，MNBD，平面 BDE平面 AMN，故 D 正确 故选 C【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其补成一个正方体，然后求解 二、填空题 13已知函数23(0 xyaa且1)a 的图象恒过定点P，点P在幂函数()yf x的图象上，则3log(3)f_.【答案】2 第 9 页 共 20 页【解析】根据指数函数过定点0,1,求出函数23xya过定点2,4.即可求出幂函数2()f xx，代入 3log(3)f即可得出答案.【详解】函数23xya过定点2,4.将2,4代入幂函数()af xx，即(2)2=42afa.所以233log(3)log 3=2f.故填：2.【点睛】本题考查指数型函数的定点、幂函数、对数恒等式,属于基础题.需要注意的是指数型函数的定点求法：令指数位置等于 0.属于基础题.14已知直线l：2yk x与圆221xy相切，则直线l的倾斜角大小为_【答案】30或150【解析】利用圆心到直线的距离等于半径得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线l：2yk x与圆221xy相切，圆心到直线的距离等于半径，即20021kk1，解得k33，直线l的倾斜角大小为30或150，故答案为：30或150【点睛】本题主要考查直线和圆相切的应用，利用直线相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解是解决本题的关键 15已知,A B C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数,0,0m n mn，使得4OCmOAnOB成立，则14mn的最小值为_【答案】16【解析】由条件可得41mn，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.第 10 页 共 20 页【详解】,A B C为直线l上的不同三点，且4OCmOAnOB，41mn，又0,0mn，1414164882 1616nmmnmnmnmn，当且仅当16nmmn即142nm时等号成立，14mn的最小值为 16，故答案为：16【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型.16 已知点,O F分别为抛物线21:4C yx的顶点和焦点，直线314yx与抛物线交于,A B两点，连接AO，BO并延长，分别交抛物线的准线于点,P Q，则|BPAQ_【答案】254【解析】直线与抛物线方程联立，求出,A B坐标，进而得到,P Q的坐标，从而得到结果.【详解】联立方程：214314yxyx 解得：44xy，或114xy，不妨设：14,4,1,4AB 易得：1,1,4,1PQ，525|544BPAQ，故答案为：254【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题.第 11 页 共 20 页 三、解答题 17已知等差数列 na的公差0d，其前n项和为nS，若36S,且1a，2a，31a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）若2nannba，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）nan.（2）(1)1122nnn nT 【解析】（1）根据等差数列公式得到213212316aaaaaa，计算得到答案.（2）12nnbn，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得213212316aaaaaa即 2111121336aadadad，整理得220dd.0d，1d，11a.数列 na的通项公式11nann 即数列 na的通项公式nan.（2）1222nnannnbann，12nnTbbb211221122nn，231111122222nnTn11122(1)1212nn n 11122(1)1212nn n(1)1122nn n 故(1)1122nnn nT.第 12 页 共 20 页【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18已知函数21()3sincossin22f xxxx，xR.（1）若,0,2，且52125f，3 102610f，求sin的值；（2）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，满足3c，1f C,求a b的取值范围.【答案】（1）22（2）(3,2 3【解析】（1）化简得到 sin 26fxx，代入数据计算得到5sin5，2 5cos5，3 10cos10，10sin10，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据 1f C 得到3C，利用余弦定理得到233abab，再利用均值不等式得到答案.【详解】（1）31 cos(2)1()sin2222xf xx 31cos2131sin2sin2cos222222xxxxsin 26x 52125f,5sin5.0,2,2 5cos5.3 102610f,3 10sin210.3 10cos10.0,2,10sin10.第 13 页 共 20 页 53 102 5102sin()sincoscossin5105102（2）()sin 26f CC,sin 216C.(0,)C,112,666C,262C,即3C.2222222cos()3cababCabababab,233abab22abab，当且仅当ab时取“”.2222313()3()()()44ababababab 212ab，即2 3ab，当且仅当ab时取“”.又3abc，a b的取值范围是(3,2 3.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.19 如图，在三棱柱111ABCABC中，1A A 平面ABC，,D E分别是线段AB，1BB的中点.（1）证明：1BC平面1ACD；（2）当三棱柱的各棱长均为 2 时，求三棱锥1CADE的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【解析】（1）连接1AC与1AC相交于点F，连接DF，易得1DFBC，从而得证；【详解】第 14 页 共 20 页（1）证明：连接1AC与1AC相交于点F，连接DF，由侧面11ACC A为平行四边形可得F是线段1AC的中点，又因为D是线段AB的中点，1DFBC，1BC 平面1ADC，DF 平面1ADC，1BC平面1ACD.（2）1AA 平面ABC，CD 平面ABC，1AACD ACBC，D是线段AB的中点，ABCD 1ABAAA，1,AB AA 平面11A ABB，CD 平面11A ABB，线段CD为三棱锥1CADE的高，2ABBCAC，3CD，1AA 平面ABC，AB 平面ABC，1AAAB，三棱柱的各棱长均为 2，四边形11A ABB为正方形，111132 21 21 11 22222A DES ，11113333322A DECA DEVSCD三棱锥 【点睛】本题考查线面平行的证明，三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.20已知点2,0P为平面内一定点，动点,M x y为平面内曲线C上的任意一点，且满足2222(2)(2)4xyxy，过原点的直线交曲线C于,A B两点.（1）证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；（2）设直线PA，PB交直线3x 于E、F两点，求线段EF长度的最小值.第 15 页 共 20 页【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）由题意可知点M的轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，设11,A x y，则11,Bxy，可得21112111224PAPByyykkxxx，利用点在椭圆上可得定值；（2）由（1）可设直线PA：2yk x，则直线PB：122yxk，分别求出E、F的坐标，表示线段EF长度，利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）设1(2,0)F，2(2,0)F，由题意可知124MFMF，且122 24FF，所以，点M的轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，且长轴长为 4，焦距为2 2，即2a，2c，2b，所以，曲线C的轨迹方程为22142xy.由已知,A B两点关于原点对称，不妨设11,A x y，则11,Bxy，所以，21112111224PAPByyykkxxx，又因为，点A在曲线C上，所以，2211142xy，解得，22211142 142xxy，所以，2121142yx，所以，直线PA与直线PB的斜率之积为定值12.（2）由第（1）可得，12PAPBkk，所以，不妨设直线PA：2yk x，则直线PB：122yxk，将3x 分别代入直线PA，直线PB的方程得，3,Ek，13,2Fk，11|22EFkkkk，第 16 页 共 20 页 因为，|0k，所以，11|2|222kkkk，当且仅当1|2kk，即22k 时，取得最小值2.【点睛】本题考查定义法求椭圆方程，椭圆中的定值问题与最值问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题 21已知函数，斜率为 的直线与相切于点.（）求的单调区间；（）当实数时，讨论的极值点。（）证明：.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减,(2)当时，的极小值点为=1，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为=1，极小值点;(3)见解析.【解析】分析：（1）（1）把 f（x）代入 h（x），对 f（x）进行求导，利用导数研究 h（x）的单调区间，注意函数的定义域；（2）已知实数 0a1，对 g（x）进行求导，令 g（x）=0，得出极值点，这时方程 g（x）=0 的两个根大小不一样，需要进行讨论，然后再确定极大值和极小值点；（3）结合（1）通过讨论 x 的范围，结合函数的单调性证明即可 详解：（）由题意知：，解得：；解得：所以在上单调递增，在上单调递减（）=，第 17 页 共 20 页 由 g（x）=0 得 x1=1，x2=1，1、若 0 11，a0 即 a1，0 x1x2，此时 g（x）的极小值为 x=1，极大值点 x=1，2、若 1=1，a0，即 a=，x1=x2=1，则 g（x）0，g（x）在（0，+）上为单调增区间，无极值点，3、若 11，a0 即 0a，x1x2=1，此时 g（x）的极大值点为 x=1，极小值点 x=1，综上：当 a1 时，g（x）的极小值点为 x=1，极大值点 x=1；当 a=时，g（x）无极值点为 x=1，极小值点 x=；当 0a时，g（x）的极大值点为 x=1，极小值点 x=1；（）由（）知：当时,，即 当时，当时，所以 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小第 18 页 共 20 页 关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22已知直线l过点1,0，倾斜角为60，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2262sin.（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于,A B两点，设点1,0F,求11|FAFB的值.【答案】（1）直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），曲线C的直角坐标方程为22132xy.（2）3【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（2）将参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理得到12128111611ttt t ，再计算1216|11FAFBt t，1216 3|11FAFBtt，代入计算得到答案.【详解】（1）直线l过点1,0，倾斜角为60可设直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），曲线C的方程为2262sin 2222sin6,22226xyy,22236xy,曲线C的直角坐标方程为22132xy.（2）由（1）知，直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），第 19 页 共 20 页,A B两点所对应的参数分别为1t，2t，将l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程为22132xy中，化简得2118160tt12128111611ttt t ,1216011t t ,1216|11FAFBt t,1212|FAFBtttt22121281616 344111111ttt t ,11|3|FAFBFAFBFAFB.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，韦达定理，意在考查学生的计算能力，利用直线的参数方程可以简化运算，是解题的关键.23已知函数()|21|f xxax，aR.（1）当1a 时，求不等式 3f x 的解集；（2）设关于x的不等式|21|f xx的解集为M,若11,2M，求实数a的取值范围.【答案】（1）51|33xx（2）51,2【解析】（1）()|1|21|f xxx，讨论1x，112x 和12x 计算得到答案.（2）原题等价于当11,2x 时，不等式|21|f xx恒成立，化简得到 22xax ，代入数据计算得到答案.【详解】（1）当1a 时，()|1|21|f xxx，第 20 页 共 20 页 则所求不等式可化为11 213xxx ，或1121 213xxx ，或121213xxx ，解得153xx ，或1123xx ，或1213xx，513x，或112x ，或1123x，原不等式的解集为51|33xx.（2）|21|f xx的解集包含11,2，当11,2x 时，不等式|21|f xx恒成立，|21|21|xaxx在11,2x 上恒成立，|2112xaxx ,即|2xa，22xa，22xax 在11,2x 上恒成立，maxmin(2)(2)xax ,512a，所以实数a的取值范围51,2.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，根据解集求参数，解不等式转化为恒成立问题是解题的关键.