2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(文)试题(解析版)5711.pdf

第 1 页 共 17 页 2020 届四川省成都市第七中学 高三上学期一诊模拟数学（文）试题 一、单选题 1复数(,)zabi a bR的虚部记作Im()zb，则3Im1ii（）A-1 B0 C1 D2【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案【详解】解：Q3(3)(1)4221(1)(1)2iiiiiiii，又复数(,)zabi a bR的虚部记作()Im zb，3()11iImi 故选：A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题 2执行如图所示的程序框图，输出的s值为()第 2 页 共 17 页 A3 B6 C10 D15【答案】C【解析】程序框图的作用是计算22221234，故可得正确结果.【详解】根据程序框图可知2222123410S ，故选 C.【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题.3关于函数()tanf xx的性质，下列叙述不正确的是（）A()f x的最小正周期为2 B()f x是偶函数 C()f x的图象关于直线()2kxkZ对称 D()f x在每一个区间(,)()2kkkZ内单调递增【答案】A【解析】试题分析：因为1()tan()()22tanf xxf xx，所以 A 错；()tan()tan()fxxxf x，所以函数()f x是偶函数，B 正确；由()tanf xx的图象可知，C、D 均正确；故选 A.【考点】正切函数的图象与性质.4已知0,0ab，则“1a 且1b”是“2ab且1ab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当01a且01b时，由不等式性质可得2ab且1ab；当31,22ab，满足2ab且1ab，但不满足1a 且1b，所以“1a 且1b”是“2ab且1ab”的充分不必要条件，故选 A.【考点】1.不等式性质；2.充要条件.5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）第 3 页 共 17 页 A3612 B3616 C4012 D4016【答案】C【解析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算【详解】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为 2，高为 4，长方体的棱长分别为 4，2，2，几何体的表面积21122442424224222124022S 故选：C 【点睛】本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题 6在约束条件：1210 xyxy 下，目标函数(0,0)zaxby ab的最大值为 1，则ab的最大值等于（）A12 B38 C14 D18【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），第 4 页 共 17 页 由(0,0)zaxby ab，则azyxbb，平移直线azyxbb，由图象可知当直线azyxbb 经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为 1 代入目标函数zaxby得21ab 则122 2abab，则18ab当且仅当122ab时取等号，ab的最大值等于18，故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法 7设an是有正数组成的等比数列，nS为其前 n 项和已知a2a41，S37，则S5（）A152 B314 C334 D172【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a31，进而由求和公式可得q12，再代入求和公式计算可得【详解】由题意可得a2a4a321，a31，设an的公比为q，则q0，S3211qq17，解得q12或q13（舍去），第 5 页 共 17 页 a121q4，S551413121412 故选 B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题 8双曲线的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r等于()A B2 C3 D6【答案】A【解析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为yx，圆心坐标为(3,0)由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.9定义域为R的函数 f x对任意x都有 4f xfx，且其导函数 fx满足 20 xfx，则当24a时，有（）A 222logafffa B 222logafffa C 22log2affaf D 2log22afaff【答案】C【解析】试题分析：函数 f x对任意Rx都有 4f xfx，函数 f x对任意Rx都有xfxf22，函数 f x的对称轴为2x，导函数 xf 满足 20 xfx，函数 f x在,2上单调递增，2,上单调递减，42 a，1624a，函 数 f x的 对 称 轴 为2x，afaf22log4log，42 a，第 6 页 共 17 页 2log12a3log422aaa2log422，afaff2log422，22log2affaf，故选 C.【考点】（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.10 对圆22(1)(1)1xy上任意一点(,)P x y，若点P到直线1349:0lxy和2:340lxya的距离之和都与x，y无关，则a的取值区间为（）A6,)B 4,6 C(4,6)D(,4 【答案】A【解析】由点到线的距离公式表示出点到直线1l与2l的距离之和，取值与x，y无关，即这个距离之和与P无关，可知直线2l平移时，P点与直线1l，2l的距离之和均为1l，2l的距离，即此时与x，y的值无关，即圆夹在两直线之间，临界条件为直线2l恰与圆相切，即可求出a的取值范围.【详解】解：点P到直线1349:0lxy与直线2:340lxya距离之和 2222|34|349|3434dxyaxy Q取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：可知直线2l平移时，P点与直线1l，2l的距离之和均为1l，2l的距离，即此时与x，y的值无关，当直线2l与圆相切时，22|34|134xya，化简得|1|5a，解得6a 或4a （舍去），6a 故选：A 第 7 页 共 17 页 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题 11若ar，br，cr满足，|2|2abcrrr，则()()abcbrrrr的最大值为（）A10 B12 C5 3 D6 2【答案】B【解析】设OAauuurr，OBbuuurr，OCcuuurr，表示出abrr，rrcb利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OAauuurr，OBbuuurr，OCcuuurr，则abBArruu r，cbBCrruuur cosabcbBA BCBABCABCrrrruuur uuuruuuruuurgg|2|2abcrrrQ 4BAuuur，3BC uuur 当且仅当BAuuur，BCuuu r同向时abcbrrrrg取最大值12 故max12abcbrrrrg 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12点E，F分别是棱长为1 的正方体1111ABCDABC D中棱BC，1CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动，且1PA面AEF，则1PA的长度范围为（）第 8 页 共 17 页 A51,2 B3 25,42 C3 2 3,42 D31,2【答案】B【解析】分别取棱1BB、11BC的中点M、N，连接MN，易证平面1/AMN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时1AP最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得【详解】解：如下图所示：分别取棱1BB、11BC的中点M、N，连接MN，连接1BC，MQ、N、E、F为所在棱的中点，1/MNBC，1/EFBC，/MNEF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，/MN平面AEF；1/AANEQ，1AANE，四边形1AENA为平行四边形，1/A NAE，又1A N 平面AEF，AE 平面AEF，1/A N平面AEF，又1A NMNNI，平面1/AMN平面AEF，PQ是侧面11BCC B内一点，且1/AP平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt11A B M中，2221111151()22AMABB M，同理，在Rt11AB N中，求得152A N，1AMN为等腰三角形，当P在MN中点O时1A PMN，此时1AP最短，P位于M、N处时1AP最长，222211523 2()()244AOAMOM，1152AMA N，第 9 页 共 17 页 所以线段1AP长度的取值范围是3 24，52 故选：B 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置 二、填空题 13命题“2,1xN x”的否定为_”【答案】2,1xN x 【解析】全称命题“,()xM p x”的否定是存在性命题“,()xMp x”，所以“2,1xN x”的否定是“2,1xN x”14 在样本的频率分布直方图中,共有 9 个小长方形,若第一个长方形的面积为 0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为 1600,则中间一组（即第五组）的频数为 .【答案】360【解析】略 15设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，则，令，则,所以，当且仅当时等号成立，所以的最第 10 页 共 17 页 大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.16已知，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以，则 （当且仅当，即时，取等号）；故填【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式 三、解答题 17设的内角、所对的边分别为、,已知,且.（1）求角 的大小;（2）若向量与共线,求的值.【答案】(1);(2)。【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，可解得；（2）由 与共线，得，再由正弦定理，得，在根据余弦定理列出方程，即可求解的值.第 11 页 共 17 页 试题解析：（1）,即,解得.（2）与 共线,由正弦定理,得,由余弦定理，得,联立,.【考点】正弦定理；余弦定理.18 学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高二男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3 小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 100 参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，其中nabcd 参考数据：20P Kk 0.500 0.400 0.250 0.050 0.025 0.010 0k 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 （1）根据上表数据判断能否有 60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行理科学习时间的调查，求所抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；【答案】（1）没有（2）3 人和 2 人【解析】（1）求出2K，与临界值比较，即可得出结论；（2）调查的 50 名女生中“古文迷”有 30 人，“非古文迷”有 20 人，按分层抽样的方法抽出 5 人，即可得出结论；第 12 页 共 17 页【详解】解：（1）由列联表得22100(26203024)0.64940.70856445050K 所以没有 60%的把握认为“古文迷”与性别有关.（2）调查50名女生按分层抽取5人，其中古文迷有305350人，非古文迷有205250人，即所抽取的 5 人中，古文迷和非古文迷的人数分别为 3 人和 2 人.【点睛】本题考查独立性检验知识的运用，分层抽样各层人数的计算，考查学生的计算能力，属于中档题 19如图，在三棱柱111ABCABC中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱1CC的中点.（1）求证：CD平面1A EB；（2）求证：1AB 平面1A EB；（3）若2AB，求三棱锥11AB BE的体积.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2 33【解析】（1）设1AB和1AB的交点为O，根据/ECOD，且ECOD，得到四边形ECOD为平行四边形，故/EOCD，/CD平面1ABE（2）证明CD 平面11A ABB，可得EO 平面11A ABB，故有1EOAB，由正方形的两对角线的性质可得11ABAB，从而证得1AB 平面1ABE 第 13 页 共 17 页（3）利用等体积法将11AB BEV转化为求11BA BEV可得.【详解】证明：（1）设1AB和1AB的交点为O，连接EO，连接OD.因为O为1AB的中点，D为AB的中点，所以1ODBB且112ODBB.又E是1CC中点，所以1ECBB，且112ECBB，所以ECOD且ECOD.所以，四边形ECOD为平行四边形.所以EOCD.又CD 平面1ABE，EO 平面1ABE，则CD平面1ABE.（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BBAB，1BBBC.所以1BB 平面ABC.因为CD 平面ABC，所以1BBCD.由已知得ABBCAC，所以CDAB，所以CD 平面11A ABB.由（1）可知EOCD，所以EO 平面11A ABB.所以1EOAB.因为侧面是正方形，所以11ABAB.又1EOABO，EO 平面1A EB，1AB 平面1A EB，所以1AB 平面1ABE.（3）解：由条件求得15BEAE，12 2AB，可以求得16A BESV 所以111111112 362333AB BEBA BEA BEVVSBOV【点睛】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，属于中档题.第 14 页 共 17 页 20已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆 的方程;(2)过点的直线 与椭圆 相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)；(2)定值为 2.【解析】试题分析：（1）由题意得到，所以，写出椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理，.试题解析：（1）依题意，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，.椭圆 的方程为.（2）当直线 的斜率不存在时，由解得，.设，则为定值.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为：.将代入整理化简，得.依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，设，则，.又，所以 第 15 页 共 17 页 .综上得为常数 2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则，为定值。21已知函数()ln()f xtxx t R.（1）当1t 时，证明：()1f x ；（2）若对于定义域内任意x，()1xf xx e恒成立，求t的范围【答案】（1）见解析（2）(,1【解析】（1）构造函数()ln1g xxx利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln1xxtex在(0,)恒成立，构造函数ln1()xxxex求出函数的最小值，即可得到参数t的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln1xx，设()ln1g xxx，1()xg xx 当01x，()0g x，()g x单调递增；当1x，()0g x，()g x单调递减；所以()g x在1x 处取到最大值，即()(1)0g xg，所以ln1xx 得证（2）原式子恒成立即ln1xxtex在(0,)恒成立 设ln1()xxxex，22ln()xx exxx，设2()lnxQ xx ex，21()20 xQ xxx ex，所以()Q x单调递增，且102Q，(1)0Q 所以()Q x有唯一零点0 x，而且0200ln0 xxex，所以0200lnxxex 第 16 页 共 17 页 两边同时取对数得 0000lnlnlnlnxxxx 易证明函数lnyxx是增函数，所以得00lnxx，所以001xex 所以由()x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，所以 0000000ln111()1xxxxxexxx 于是t的取值范围是(,1【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.22在极坐标系下，已知圆和直线（1）求圆 和直线 的直角坐标方程；（2）当时，求圆 和直线 的公共点的极坐标.【答案】（1）圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2-x-y=0,直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0（2）【解析】试题分析：（1）根据 将圆O和直线l极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l与圆O的公共点的直角坐标，再根据化为极坐标 试题解析：(1)圆O：cos sin，即2 cos sin，故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0.直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求 23已知函数 2321f xxx（1）求不等式 5fx 的解集；第 17 页 共 17 页（2）若关于x的不等式 1f xm的解集非空，求实数m的取值范围【答案】（1）73|44xx（2）6m 或2m 【解析】（1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出 f（x）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可【详解】（1）原不等式为：23215xx，当32x 时，原不等式可转化为425x，即7342x；当3122x时，原不等式可转化为45恒成立，所以3122x；当12x 时，原不等式可转化为425x，即1324x 所以原不等式的解集为73|44xx （2）由已知函数 342,2314,22142,2xxf xxxx，可得函数 yf x的最小值为 4，所以24m，解得6m 或2m 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向