2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(文)试题(解析版)5221.pdf

第 1 页 共 19 页 2020 届陕西省汉中市 高三上学期教学质量第一次检测考试数学（文）试题 一、单选题 1设集合 A1,2，2BxZ|x2x30，则AB()A 1,2 B1,3 C1 D 1,2【答案】D【解析】解一元二次不等式可得集合 B，利用交集定义求解即可.【详解】Q集合 A1,2，2BxZ|x2x30 xZ|1x30,1,2 ，AB1,2 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.2若51 2izi（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A2i B2i C2i D2i 【答案】C【解析】由复数除法法则计算出z，再由共轭复数概念写出共轭复数【详解】55(12)212(12(12)iiiziiii ，2zi 故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题 3已知向量ar，br满足|1a r，2a b r r，则(2)aabrrr（）A4 B3 C2 D0【答案】A 第 2 页 共 19 页【解析】由向量数量积的运算法则计算【详解】(2)aabrrr2222 1(2)4aa b rr r 故选：A【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题 4已知sin()2sin2，则tan2的值为()A43 B34 C165 D12【答案】A【解析】根据诱导公式可化简已知条件得tan，再利用二倍角的正切公式求得结果.【详解】由题意得：sincos2sin2 1tan2 22tan14tan211tan314 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.5函数 y331xx的图象大致是()A B C第 3 页 共 19 页 D【答案】C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(，0)(0，)，故排除 A；取 x1，y1113320，故再排除 B；当 x时，3x1 远远大于 x3的值且都为正，故331xx0 且大于 0，故排除 D，选C.6为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A13 B12 C23 D56【答案】C【解析】试题分析：将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有 6 种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种，故所求概率为23，选 C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.7已知函数 1,022,0 xxfxfxx，则21log5f（）A516 B54 C52 D5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】第 4 页 共 19 页 22221114log0,loglog2log5555fffQ，222244416log0,loglog2log5555fffQ，22216log516log5log116522161615log0,log2255216fQ，故选 A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.8高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 疏散乘客时间(s)120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A B C D【答案】C【解析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间分析对比，能求出结果【详解】（1）同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 200s，同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 140s，所以疏散 1000 名乘客比快60s（2）同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 200s，同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 120s，所以疏散 1000 名乘客比快80s（3）同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 120s，同时开放第 5 页 共 19 页 两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 220s，所以疏散 1000 名乘客比快100s（4）同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 220s，同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 160s，所以疏散 1000 名乘客比快60s（5）同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 160s，同时开放两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间为 140s，所以疏散 1000 名乘客比快20s 综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散 1000 名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果 9已知函数()sin()6f xx(0)的最小正周期为，若()f x在0,)xt时所求函数值中没有最小值，则实数t的范围是()A0,6 B20,3 C5,36 D2,3 3【答案】D【解析】首先根据函数的最小正周期为，求得2，根据函数在给定区间上没有最小值，结合函数的图象，得出532662t，从而求得结果.【详解】因为函数()sin()6f xx(0)的最小正周期为，所以2，当0,)xt时，2,2)666xt，因为0,)xt时所求函数值中没有最小值，所以532662t，解得233t，第 6 页 共 19 页 所以t的取值范围是2(,33，故选 D.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质，函数的最小正周期以及函数的最值，属于简单题目.10已知函数是定义在 上的奇函数，且时，则()A4 B C D【答案】D【解析】先利用得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解【详解】因为函数满足，所以，即函数是以 为周期的周期函数，又函数是定义在 上的奇函数，且时，所以故选 D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题本题的易错点在于“正确根据判定函数是以 为周期的周期函数，而不是图象关于直线对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数满足或，则函数的图象关于直线对称；若函数满足或，则函数是以为周期的周期函数.11若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线被曲线22420 xyx所截得的弦长为 2则双曲线C的离心率为（）A3 B2 33 C5 D2 55【答案】B【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213ba，再求双曲线C的离心第 7 页 共 19 页 率得解.【详解】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为byxa，由对称性，不妨取byxa，即0bxay 又曲线22420 xyx化为2222xy，则其圆心的坐标为2,0，半径为2 由题得，圆心到直线的距离 22211d，又由点到直线的距离公式可得22201bdba 解得2213ba，所以22222222 313cabbeaaa 故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.12 已知函数211()(0)42f xxxa x，()ln(0)g xx x，其中Ra 若()f x的图象在点 11,A x f x处的切线与g x（）的图象在点 22,B xf x处的切线重合，则a的取值范围为（）A(1ln2,)B(1ln2,)C3,4 D(ln2ln3,)【答案】A【解析】先根据导数的几何意义写出函数 f x在点 A 与函数 g x在 B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出222111ln12axx，令21tx，则102t，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围 【详解】第 8 页 共 19 页 211()(0)42f xxxa x，()ln(0)g xx x 11022fxxx，10gxxx，函数 f x在点 11,A x f x处的切线方程为：2111111114222yxxaxxx，函数 g x在点 22,B xf x处的切线方程为：2221lnyxxxx，两直线重合的充要条件是1211122xx，2121ln14xax，由及120 xx得21102x，故22222211111ln1ln122axxxx，令21tx，则102t，且21ln12att，设 21ln12h ttt，102t 221112121tttth ttttt ，当102t 时，0h t恒成立，即 h t单调递减，11ln22h th ，0 x 时，h t，即a的取值范围为(1ln2,)，故选 A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题.二、填空题 13曲线324yxx在点(1,3)处的切线的倾斜角为 _.【答案】45 第 9 页 共 19 页【解析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知ky|x1，再结合正切函数的值求出角 的值即可【详解】y3x22，切线的斜率k31221故倾斜角为 45 故答案为 45【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题 14在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,.c已知ABC的面积为15,2bc,14cosA ,则a的值为_【答案】2 6【解析】根据三角形的面积，以及14cosA ，求出bc，再结合余弦定理，即可得出结果.【详解】因为14cosA ，所以15sin4A，又ABC的面积为15,所以1si158n152ABCSbcAbc，故8bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，所以22()22cos416424abcbcbcA，因此2 6a.故答案为2 6【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式与余弦定理即可，属于常考题型.15正四棱锥PABCD底面的四个顶点,A B C D在球O的同一个大圆上，点P在球面上.若163PABCDV-=，则球O的体积是_【答案】323【解析】正四棱锥PABCD底面的四个顶点,A B C D在球O的同一个大圆上，则第 10 页 共 19 页 棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积【详解】正四棱锥PABCD底面的四个顶点,A B C D在球O的同一个大圆上，球心O是正方形ABCD对角线交点，PO是棱锥的高，设球半径为R，则2ABR，22(2)2ABCDSRR，211162333P ABCDABCDVSPORR，2R，3344322333VR球 故答案为：323【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系 16已知函数()log(3)1af xx（0a 且1a）的图象恒过定点A，若点A在直线40mxny上，其中0mn，则121mn的最小值为_【答案】43【解析】先由函数 f x得到定点A坐标，再把A代入直线，得到,m n的关系，再由基本不等式得到答案.【详解】函数()log(3)1af xx（0a 且1a）的图象恒过定点2,1，所以2,1A,将2,1A 代入到直线40mxny中，得到24mn，即216mn 所以121mn1111622mnmn 4112261mnmn 14222263 当且仅当1,32mn时，等号成立.第 11 页 共 19 页 所以答案为：43【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.三、解答题 17已知等差数列na满足4357,219aaa。（1）求通项na；（2）设nnba是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求数列 nb通项公式及前 n 项和nT.【答案】（1）21nan；（2）221nnbn，1222nnTn。【解析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组1113722419adadad，求解即可；（2）可先求出nnba的通项，再解出数列 nb通项公式，求其前 n 项和则运用分组求和的方法求解即可。【详解】（1）由题意得1113722419adadad，解得112ad，1 2121.nann （2）2,nnnba 221nnbn，222?21 3?2n-1nnT，1222nnTn。【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。182019 年 2 月 13 日西安市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间X（单位：第 12 页 共 19 页 小时）并绘制如图所示的频率分布直方图 （1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为6.5,7.5)，7.5,8.5)的学生中抽取 9 名参加座谈会（i）你认为 9 个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现 9 名学生中理工类专业的较多请根据 200 名学生的调研数据，填写下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足 8.5 小时）与“是否理工类专业”有关？（精确到 0.1）阅读时间不足 8.5 小时 阅读时间超过 8.5 小时 理工类专业 40 60 非理工类专业 附：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d（nabcd ）.临界值表：20()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）9,（2）（i）每周阅读时间为6.5,7.5)的学生中抽取 3 名，每周阅读时间为7.5,8.5)的学生中抽取 6 名理由见解析,（ii）有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关 第 13 页 共 19 页【解析】（1）取各区间中点值乘以频率再相加即得；（2）（i）两组差异明显，用分层抽样计算（ii）求出两组的人数，填写列联表，计算2K可得【详解】（1）6 0.037 0.18 0.29 0.35100.1911 0.09120.049 （2）（i）每周阅读时间为6.5,7.5)的学生中抽取 3 名，每周阅读时间为7.5,8.5)的学生中抽取 6 名 理由：每周阅读时间为6.5,7.5)与每周阅读时间为7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为 0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配（ii）22列联表为：阅读时间不足 8.5 小时 阅读时间超过 8.5 小时 理工类专业 40 60 非理工类专业 26 74 2K2200(407426 60)4.43.84166 134 100 100，所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，考查独立性检验属于基础题 19如图，在四面体PABC中，5PAPCABBC，6AC，4 2PB，线段AC，AP的中点分别为O，Q （1）求证：平面PAC 平面ABC；第 14 页 共 19 页（2）求四面体POBQ的体积【答案】（1）证明见解析,（2）4【解析】（1）由PAPCABBC，O是AC中点，可得,POAC BOAC，再勾股定理证明POBO，即可得线面垂直，从而有面面垂直；（2）由（1）得BO 平面PAC，从而P OBQB POQVV可计算出体积【详解】（1）证明:因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC.在Rt PAO中，5PA，3OA，且PA为直角三角形的斜边，由勾股定理，得4PO.因为BABC，O是AC的中点，所以BOAC.在RtBAO中，因为5BA，3OA，由勾股定理，得4BO.因为4PO，4OB，4 2PB，有222POOBPB，则POOB.且BOACO，,BO AC 平面ABC，所以PO平面ABC.而PO 平面PAC，故平面PAC 平面ABC.（2）由（1）可知平面PAC 平面ABC.因为平面ABC I平面PACAC，BOAC，BO 平面ABC，所以BO 平面PAC，因为在AOPV中，Q是AP的中点所以132PQOPAOSS 所以111143 443323P OBQB POQPQOPAOVVSBOS.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积计算立体几何中的线面、面面关系的证明可根据其判定定理进行，即先证得定理需要的条件，然后得出结论，注意条件缺一不可三棱锥的体积计算中用换底法，关键是要棱锥的高容易确定计算 20已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长是短轴长的3倍，焦距为2 2（1）求椭圆的方程；（2）已知定点1,0E，若直线2(0)ykxk与椭圆交于,C D两点.问:是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.第 15 页 共 19 页【答案】（1）2213xy,（2）存在76k，使得以CD为直径的圆过点E【解析】（1）题中两个条件为22232ababc，从而可解得,a b得椭圆方程；（2）以CD为直径的圆过点1,0E，即CEDE，设11,C x y，22,D x y，则1212110y yxx，为此由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得121 2,xx xx，注意，代入1212110y yxx计算出k，满足 即存在，否则不存在【详解】（1）依题意2232abab解得31ab 椭圆方程是2213xy（2）假若存在这样的k值，由222330ykxxy得221 31290kxkx.22(12)36 1 30kk 设11,C x y，22,D x y，则122122121 391 3kxxkxxk 而2121212122224yykxkxk x xk xx 要使以CD为直径的圆过点1,0E，当且仅当CEDE时，则1212111yyxx，即1212110y yxx 2121212150kx xkxx 将式代入整理解得76k.经验证，76k，使成立.综上可知，存在76k，使得以CD为直径的圆过点E【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题椭圆中的存在性问题，一般是假第 16 页 共 19 页 设存在，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理得121 2,xx xx，代入题中的另外的条件求出参数k（若不能求出，说明假设错误，不存在），这是解析几何中的“设而不求”思想 21已知函数()ln1()f xxaxaR.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若函数 f x的图像与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数1x，2x，都有 21211211f xf xxxxx.【答案】（1）当0a 时，f x在0+，上单调递增；当0a 时，f x在10,a单调递增，在1,a上单调递减.,(2)见解析【解析】（1）求导函数()fx，按0a 和0a 分类讨论，确定()fx的正负，从而确定单调性；（2）由（1）知0a 时()f x有极值，才可能满足题意，极大值为 0，求得1a，ln1f xxx.不妨设120 xx，则 21211211f xf xxxxx，等价于22121112lnxxxxxxxx，即证：22121112lnxxxxxxxx 令 1ln1g xxxxx，由于210 xx，因此只要证得()0g x（(0,1)x）即可【详解】（1）函数 f x的定义域为0+，11axfxaxx.当0a 时，0fx，f x在0+，上单调递增；当0a 时，由 0fx，得1xa.若10,xa，0fx，f x单调递增；若1+xa，0fx，f x单调递减 第 17 页 共 19 页 综合上述：当0a 时，f x在0+，上单调递增；当0a 时，f x在10,a单调递增，在1,a上单调递减.（2）由（1）知，当0a 时，f x在0+，上单调递增，不满足条件；当0a 时，f x的极大值为1lnfaa，由已知得ln=0a，故1a，此时 ln1f xxx.不妨设120 xx，则 21211211f xf xxxxx 等价于22121112lnxxxxxxxx，即证：22121112lnxxxxxxxx 令 1ln1g xxxxx，22222131112410 xxxgxxxxx 故 g x在1,单调递减，所以 2110g xgxx.所以对于任意互不相等的正实数12,x x，都有 21211211f xf xxxxx成立【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式在证明与12,x x有关的不等式时（这里12,x x是任意两个正数，也可能是函数的两个零点，或者其他什么与函数有关的数），常常需要转化与化归，如不妨设120 xx，设21txx，0t，设12xtx，则 01t，这样不确定的12,x x，就变成有确定范围的变量t，问题就转化为用导数研究函数()g t的性质，从而证明出结论 22在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为33623xtyt（其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为第 18 页 共 19 页 2cos3sin.（1）求1C和2C的直角坐标方程；（2）设点0,2P，直线1C交曲线2C于,M N两点，求22PMPN的值.【答案】（1）1C:220 xy,2C:23xy（2）90【解析】（1）消去t得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入23xy，化简得到23 6180tt，利用韦达定理计算得到答案.【详解】（1）直线1C的参数方程为33623txyt（其中t为参数），消去t可得220 xy；由2cos3sin，得22cos3 sin，则曲线2C的直角坐标方程为23xy.（2）将直线1C的参数方程33623xtyt 代入23xy，得23 6180tt，设,M N对应的参数分别为12,t t，则121 23 618ttt t，222121 2290PMPNtttt.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23已知函数 23f xxx.（1）求不等式 2f x 的解集；（2）若 21f xx的解集包含3,5，求实数a的取值范围.【答案】（1）37|22xx（2）1,7a 第 19 页 共 19 页【解析】（1）函数化简为分段函数 25,31,2352,2xxf xxx x分别解不等式得到答案.（2）题目等价于当3,5x时不等式恒成立，得到不等式2521xax，求 2521xg xx的最小值得到答案.【详解】（1）25,3231,2352,2xxf xxxxx x，由 2f x，解得3722x，故不等式 2f x 的解集是37|22xx；（2）21f xa x的解集包含3,5，即当3,5x时不等式恒成立，当3,5x时，25f xx，21f xa x，即2521xax，因为210 x，所以2521xax，令 25612121xg xxx，3,5x，易知 g x在3,5上单调递增，所以 g x的最小值为1(3)7g，因此17a，即a的取值范围为1,7a.【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当3,5x时不等式恒成立是解题的关键.