2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点25数列综合问题的探究(原卷版)5439.pdf

考点 25 数列综合问题的探究【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017 镇江期末）数列an为等比数列，且a11，a34，a57 成等差数列，则公差d_.2、(2017 苏锡常镇调研（一）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2a54，则a8的值为_ 3、(2019 苏锡常镇调研（一）中国古代著作张丘建算经有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里那么这匹马在最后一天行走的里程数为_ 4、(2019 无锡期末）设公差不为零的等差数列an 满足 a37，且 a11，a21，a41 成等比数列，则 a10 等于_ 5、(2018 苏锡常镇调研（二）设公差为 d(d 为奇数，且 d1)的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm19，Sm0，其中 m3，且 mN*，则an_.6、(2016 泰州期末）已知公差为 2 的等差数列an及公比为 2 的等比数列bn满足a1b10，a2b20，若S62S35，则S9S6的最小值为_ 【变式 1】(2018 南京学情调研）已知等比数列an的公比q1，其前n项和为Sn.若S42S21，则S6的最小值为_【变式 2】(2017 扬州期末）在正项等比数列an中，若a4a32a22a16，则a5a6的最小值为_ 题型二 数列中最值与范围问题 知识点拨：以数列为背景的不等式恒成立问题，函数中的处理方式依然适用，都是转化为数列的最值问题。研究数列的单调性是必然的手段，通过研究数列的单调性后来得到变量的取值范围 例 1、(2019 南京、盐城一模）已知数列an，其中 nN*.(1)若an满足an1anqn1(q0，nN*)当q2，且a11 时，求a4的值；若存在互不相等的正整数r，s，t，满足 2srt，且ar，as，at成等差数列，求q的值；(2)设数列an的前n项和为bn，数列bn的前n项和为cn，cnbn23，nN*，若a11，a22，且|a2n1anan2|k恒成立，求k的最小值【变式 1】(2017 苏州暑假测试）在数列an中，已知a12，an13an2n1.(1)求证：数列ann为等比数列；(2)记bnan(1)n，且数列bn的前n项和为Tn，若T3为数列Tn中的最小项，求的取值范围【变式 2】(2017 南通一调）已知等差数列an的公差d不为 0，且ak1，ak2，akn，(k1k2kn)成等比数列，公比为q.(1)若k11，k23，k38，求a1d的值；(2)当a1d为何值时，数列kn为等比数列？(3)若数列kn为等比数列，且对于任意nN*，不等式anakn2kn恒成立，求a1的取值范围 【变式 3】(2017 常州期末）已知数列an满足a110，an10an1an10(nN*)(1)若an是等差数列，Sna1a2an，且Sn10Sn1Sn10(nN*)，求公差d的取值集合；(2)若b1，b2，bk成等比数列，公比q是大于 1 的整数，b110，b220，且b1b2bk2017，求正整数k的最小值；(3)若a1，a2，ak成等差数列，且a1a2ak100，求正整数k的最小值以及k取最小值时公差d的值 题型三 数列中的探索性问题 知识点拨：对于存在性问题的探究，通常假设存在，然后按要求去求，若有解，则存在；若无解，则不存在，对于不定方程的整数解，一定要用好给定范围和数的奇偶性去分析问题，这里是从范围突破，也有的题是从奇偶性突破的 例 3、(2019 无锡期末）设等比数列an的公比为 q(q0，q1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3a4，数列bn的前 n 项和 Tn 满足 2Tnn(bn1)，n N*，b2 1.(1)求数列 an，bn的通项公式；(2)是否存在常数 t，使得Sn 12t为等比数列？说明理由；(3)设cn1bn4，对于任意给定的正整数k(k2),是否存在正整数l，m(klm),使得ck，c1，cm 成等差数列？若存在，求出 l，m(用 k 表示)，若不存在，说明理由【变式 1】(2019 扬州期末）记无穷数列an的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 bnMnmn2，数列an的前 n 项和为 An，数列bn的前 n 项和为 Bn.(1)若数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求 Bn.(2)若数列bn是等差数列，试问数列an是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明(3)若 bn2n100n，求 An.【变式 2】(2019 苏北三市期末）已知数列an满足对任意的 nN*，都有an(qnan1)2qnanan1an1(1qnan1)，且an1an0，其中a12，q0.记Tna1qa2q2a3qn1an.(1)若q1，求T2019的值(2)设数列bn满足bn(1q)Tnqnan.求数列bn的通项公式；若数列cn满足c11，且当n2 时，cn2bn11，是否存在正整数k，t，使c1，ckc1，ctck成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，说明理由【变式 3】(2017 扬州期末）已知数列an与bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且对任意 nN*，an1an2(bn1bn)恒成立(1)若Ann2，b12，求Bn；(2)若对任意nN*，都有anBn及b2a1a2b3a2a3b4a3a4bn1anan113成立，求正实数b1的取值范围；(3)若a12，bn2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1st)，使A1B1，AsBs，AtBt成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由 【变式 4】(2016 南京学情调研）已知等差数列an的前n项和为Sn，且 2a5a313，S416.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tnni1(1)iai，若对一切正整数n，不等式Tnan1(1)n1an2n1 恒成立，求实数 的取值范围；(3)是否存在正整数 m，n(nm2)，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在，求出所有的 m，n；若不存在，请说明理由 题型四 数列中的定义型问题 知识点拨：数列新定义，解决该类问题的关键是理解新定义数列的性质，其次借助所学的数列的研究方法、变形手段以及数据的性质分析等解决相关问题考查学生利用数列知识解决数列综合问题的能力，对代数变形与推理论证能力要求较高 例 1、(2019 南京学情调研）如果数列an共有 k(kN*，k4)项，且满足条件：a1a2ak0；|a1|a2|ak|1，则称数列an为P(k)数列(1)若等比数列an为P(4)数列，求a1的值；(2)已知m为给定的正整数，且m2.若公差为正数的等差数列an是P(2m3)数列，求数列an的公差；若anqn13，1nm，nN*，mn12，m1n2m，nN*，其中q为常数，q1.判断数列an是否为P(2m)数列，说明理由【变式】(2019 苏锡常镇调研（一）定义：若有穷数列 a1，a2，an同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数列 首项 a11；a1a24，且数列 b1，b2，bn是 P 数列，求证：数列 b1，b2，bn是等比数列