吉林省扶余市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)42228.pdf

-1-吉林省扶余市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教版选修 2-2，选修 2-3，选修 4-4。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(1 3)(1)zii 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】分析：先化简复数 z,再看复数 z 在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得13324ziii ，所以复数 z 在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数(,)zabi a bR对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数zabi(),a bR对应的点所在的象限.复数(,)zabi a bR和点（a,b）是一一对应的关系.2.定积分1214dxxx（）A.0 B.1 C.23 D.2【答案】C【解析】-2-【分析】利用微积分基本定理求出即可。【详解】113221124d233xxxxx.选 C.【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数。3.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为 0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16【答案】B【解析】【分析】两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.【详解】甲未通过的概率为 0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3 0.40.12选 B.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.4.三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为 A.48 B.72 C.120 D.144【答案】D【解析】【分析】女歌手不相邻，则先排男生，再对女生插空即可.【详解】由插空法得3334A A144选 D.【点睛】本题考查排列组合用插空法解决问题，属于基础题.5.在 10 个篮球中有 6 个正品，4 个次品.从中抽取 4 个，则正品数比次品数少的概率为 A.542 B.435 C.942 D.821【答案】A【解析】-3-【分析】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品两种情况，根据情况写出所有的组合数计算即可.【详解】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品这两种情况为134644C CC，总数为410C，所以概率为134644410C CC5C42选 A.【点睛】本题考查概率问题，解题的关键是正确的求出所有可能的结果，属于基础题.6.将曲线sin 34yx按照伸缩变换312xxyy后得到的曲线方程为 A.2sin4yx B.1sin24yx C.1sin 9 24yx D.2sin 9 4yx【答案】B【解析】【分析】根据题意，由312xxyy可得：1,32xxyy，代入sin 34yx化简即可求出答案.【详解】由伸缩变换，得1,32xxyy代入sin 34yx，得2sin4yx，即1sin24yx选 B.【点睛】本题考查坐标的伸缩变换公式，考查学生的转化能力，属于基础题.7.某射击选手每次射击击中目标的概率是 0.8，这名选手在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为 -4-A.882100.80.2C B.820.80.2 C.282100.20.8C D.820.20.8【答案】A【解析】【分析】由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.【详解】设X为击中目标的次数，则10,0.8XB，从而这名射手在 10 次射击中，恰有 8次击中目标的概率为10 8888821010C0.810.8C0.80.2选 A.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.8.已知1232727272727SCCCC，则S除以 9 所得的余数是 A.2 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】根据组合数的性质，将1232727272727SCCCC化简为99 11，再展开即可得出结果.【详解】9123272799081827272727999CCCC21819 119 C9 C9C2S ，所以除以 9 的余数为 7选 D.【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.9.设函数 ln 21f xxx的极小值为a，则下列判断正确的是 A.1a B.0ln2a C.ln2a D.ln21a -5-【答案】D【解析】【分析】对函数 f x求导，利用 0fx求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值a的范围.【详解】令 223102121xfxxx，得32x，检验：当1 3,2 2x 时，0fx ，当3,2x 时，0fx，所以 f x的极小值点为32x，所以 f x的极小值为 33ln21122aff，又323eln2ln4ln24a33e2.716，ln2ln10a，ln21a选 D.【点睛】本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题.10.设随机变量 N（，2），函数 f（x）=x2+4x+没有零点的概率是 0.5，则 等于（）A.1 B.4 C.2 D.不能确定【答案】B【解析】试题分析：由题中条件：“函数 f（x）=x2+4x+没有零点”可得 4，结合正态分布的图象的对称性可得 值 解：函数 f（x）=x2+4x+没有零点，即二次方程 x2+4x+=0 无实根得 4，函数 f（x）=x2+4x+没有零点的概率是 0.5，P（4）=0.5，由正态曲线的对称性知=4，故选：B 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 -6-11.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 A.5 种 B.10 种 C.20 种 D.120 种【答案】B【解析】【分析】根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替根据相克原理，1 不与 2,5 相邻，2 不与 1,3 相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.【详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替1 不与 2,5 相邻，2 不与 1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是 2 种，所以共有2 510 种选 B.【点睛】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.12.已知定义在R上的连续奇函数 f x的导函数为 fx，当0 x 时，0fxfxx，则使得 221 3310 xfxx fx成立的x的取值范围是（）A.1,B.11,1,5 C.1,15 D.,1【答案】C【解析】【分析】根据0 x 时 0fxfxx可得：0 xfxf x；令 g xxf x可得函数在0,上单调递增；利用奇偶性的定义可证得 g x为偶函数，则 g x在,0上单调递减；将已知不等式变为231gxgx，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求-7-得结果.【详解】当0 x 时，0fxfxx 0 xfxf x 令 g xxf x，则 g x在0,上单调递增 f x为奇函数 gxxfxxfxg x g x为偶函数 则 g x在,0上单调递减 221 3310 xfxx fx等价于231gxgx 可得：231xx，解得：115x 本题正确选项：C【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.函数()1xef xx的图象在点 1,1f处的切线方程是_.【答案】e4e0 xy【解析】【分析】首先求出()f x在 1 处的导数，再求出()f x在 1 处的函数值 1f，然后用点斜式求出方程即可.【详解】2e1xxfxx，e14f 且 e12f，切线方程是ee124yx，即e4e0 xy【点睛】本题考查利用导数求函数在点处切线方程，属于基础题.-8-14.若61axx的展开式中常数项为160，则展开式中4x的系数为_.【答案】192【解析】【分析】首先求出61axx的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a的值，再利用通项公式求4x的系数.【详解】61axx展开式的通项公式为 666 21661CCrrrrrrrTaxaxx，当3r 时，常数项为3336C20160aa，所以2a 当1r 时，15426CTa x，61axx展开式中4x的系数为516C2192 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题.15.在极坐标系中，已知圆C经过点2 3,6P，圆心为直线sin24与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为_.【答案】4cos【解析】【分析】根据题意，令0，可以求出圆C的圆心坐标，又因为圆C经过点2 3,6P，则圆的半径为 C，P 两点间的距离，利用极坐标公式即可求出圆的半径，则可写出圆的极坐标方程.【详解】在sin24中，令0，得2，所以圆C的圆心坐标为2,0因为圆C经过点2 3,6P，所以圆C的半径222 322 2 2 3cos26r ，于-9-是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为4cos【点睛】本题考查用极坐标公式求两点间的距离以及求点的坐标，考查圆的极坐标方程，考查了学生的计算能力，属于基础题.16.若关于x的方程0 xxec有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是_.【答案】10,e【解析】【分析】关于x的方程0 xxec有两个不相等的实数根，可转化为求-xcxe有两个不同的解的问题，令 exf xx，分析 f x的单调性和图像，从而求出 c 的取值范围.【详解】引入函数 exf xx，则 e1xfxx，易知 f x在,1 上单调递减，在1,上单调递增，所以 min11efxf 又分析知，当0 x 时，0f x；当0 x 时，0f x；当0 x 时，0f x，所以10ec ，所以10ec【点睛】本题考查利用导数求函数的零点问题，解题的关键是利用导数讨论函数的单调性，此题属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了 100 位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与 不参与 总计 男大学生 30 女大学生 50 总计 45 100 （1）根据已知数据，把表格数据填写完整；-10-（2）能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由.附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中nabcd .20()P Kk 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为参与校健身房运动与性别有关【解析】【分析】（1）根据表格内的数据计算即可.（2）将表格中的数据代入公式，计算即可求出 k 的取值，根据参考值得出结论.【详解】解：（1）参与 不参与 总计 男大学生 30 20 50 女大学生 15 35 50 总计 45 55 100 （2）因为2K的观测值210030 35 15 201007.87945 55 50 5011k，所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为参与校健身房运动与性别有关【点睛】本题考查列联表和独立性检验的应用，属于基础题.-11-18.（1）若61(0)axax展开式中的常数项为 60，求展开式中除常数项外其余各项系数之和；（2）已知二项式naxix（i是虚数单位，*,aR nN）的展开的展开式中有四项的系数为实数，求n的值.【答案】（1）59（2）6n 或 7【解析】【分析】（1）求展开式的通项，根据常数项为 60 解得a的值，然后在原解析式中代入x=1 求得各项系数之和，进而求出结果.（2）求出展开式的通项，因为展开式中有四项的系数为实数，所以r的取值为 0,2,4,6，则可得出n的所有的可能的取值.【详解】解：（1）展开式的通项为 366216C1rrrrrTax，常数项为 442256C115Taa，由21560a，0a，得2a 令1x，得各项系数之和为611a 所以除常数项外其余各项系数之和为1 6059 （2）inaxx展开式的通项为 13221CiCirnrn rrrrrn rrnnTaxxax，因为展开式中有四项的系数为实数，且0rn，r*N，所以0,2,4,6,6rn或 7【点睛】本题考查二项式展开式的通项，考查求二项式特定项的系数，以及虚数单位的周期性，属于基础题.19.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2sin4cos.（1）求曲线C的直角坐标方程；-12-（2）若直线()4R与直线22xtytm（t为参数，0m）交于点A，与曲线C交于点B（异于极点），且8OA OB，求m.【答案】(1)24yx.(2)2m.【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。（2）将直线参数方程转化为极坐标方程，将4代入曲线 C 和直线方程，求得两个值，根据8?OA OB即可求出 m 的值。详解：（1）2sin4cos，22sin4 cos，24yx，故曲线C的直角坐标方程为24yx.（2）由22xtytm（t为参数）得xym，故直线22xtytm（t为参数）的极坐标方程为cossinm.将4代入得22m，将4代入2sin4cos，得4 2，则24 282OAOBm，2m.点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化应用，主要是记住转化的公式，属于简单题。20.4 月 23 日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取 10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：-13-（1）从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的 10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)29；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C种，来自同一小组的取法共有22234210CCC，所以102459P.（2）X的可能取值为 0，1，2，22251010CP XC，113225315C CP XC，23253210CP XC，写出分布列，求出期望。试题解析：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为 3，4，2，1，从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C种，这两名学生来自同一小组的取法共有22234210CCC，所以102459P.（2）由（1）知，在参加问卷调查的 10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 3，2.X的可能取值为 0，1，2，22251010CP XC，113225315C CP XC，23253210CP XC.X的分布列为：-14-1336012105105E X .21.某县畜牧技术员张三和李四 9 年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y（单位：万只）与相应年份x（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z（单位：个）关于x的回归方程230zx.年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊y/万只 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.7 （1）根据表中的数据和所给统计量，求y关于x的线性回归方程（参考统计量：92160iixx，9112iiixxyy）；（2）试估计：该县第一年养殖山羊多少万只？到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：对于一组数据 1122,nnu vu vu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为121niiiniiuuvvuu，vu.【答案】（1）0.21yx；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设中的数据，求得5x，2y，利用公式0.2b，进而得到1a，即可得到-15-回归直线的方程；（2）求得第x年山羊养殖的只数2 0.4430y zxx，代入1x，即可得到第一年的山羊的养殖只数；根据题意，得20.443033.6xx，求得9x，即可得到结论【详解】（1）设y关于x的线性回归方程为ybxa，则12345678959x ，1.21.5 1.61.61.82.52.52.62.729y，则91921()()120.260()iiiiixxyybxx，所以20.251aybx，所以y关于x的线性回归方程为0.21yx。（2）估计第x年山羊养殖的只数2(0.21)(230)0.4430y zxxxx，第 1 年山羊养殖的只数为0.443033.6，故该县第一年养殖山羊约33.6万只；由题意，得20.443033.6xx，整理得(9)(1)0 xx，解得9x 或1x（舍去）所以到第 10 年该县山羊养殖的数量相比第 1 年缩小了。【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据公式，准确运算得到回归直线的方程，合理利用方程预测是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。22.已知函数 1 lnf xm axxxa.(1)当0a 时，若 0f x 在1,上恒成立，求m的取值范围；(2)当1ma时，证明：10 xf x.【答案】（1）,e （2）见解析【解析】【分析】-16-(1)0f x 在1,上恒成立即lnxmx在1,上恒成立，构造新函数求最值即可；（2）对 x 分类讨论1,x，0,1,x转证 f x的最值与零的关系即可.【详解】解：（1）由 0f x，得lnxmx在1,上恒成立.令 lnxg xx，则 2ln1lnxgxx.当1,ex时，0g x；当e,+x时，0g x，所以 g x在1,e上单调递减，在e,+上单调递增.故 g x的最小值为 e=eg.所以em，即m的取值范围为,e.（2）因为1ma，所以 1 ln1f xxxx，11ln1lnxfxxxxx .令 1lnh xxx，则 22111xhxxxx.当1,x时，0h x，h x单调递减；当0,1x时，0h x，h x单调递增.所以 max110h xh ，即当0,x时，0fx，所以 f x在0,上单调递减.又因为 10,f 所以当0,1x时，0;f x 当1,x时，0.f x 于是 10 xf x对0,x 恒成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数 h xf xg x.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.