河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(文)试题Word版含解析5514.pdf

2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1设集合M1，2，3，Na+2，a2+2，且MN3，则实数a的值为（）A1 或1 B1 C1 D2 2AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是（）A2 B C D 3已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a625，那么a3+a5的值等于（）A5 B10 C15 D20 4与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A8 B4 C2 D1 5ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量，满足2，2+，则下列结论正确的是（）A|1 B C 1 D（4+）6存在函数f（x）满足，对任意xR 都有（）Af（sin2x）sinx Bf（sin2x）x2+x Cf（x2+1）|x+1|Df（x2+2x）|x+1|7已知双y21（a0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2|PF2|24，则PF1F2的周长为（）A2 B2+2 C2+4 D2+4 8已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f（x），且f（x），在ABC中，f（A）f（B）1，则ABC的形状为（）A等腰锐角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰钝角三角形 9如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A B C D 10已知f（x）sin（2019x+）+cos（2019x）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）f（x）f（x2）成立，则A|x1x2|的最小值为（）A B C D 11 已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B 过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）当m+n0 时，椭圆离心率的取值范围为（）A B C D 12设D+a+2其中e2.71828，则D的最小值为（）A B C+1 D+1 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金（不作近似计算）14已知直线l经过抛物线C：y的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为 15如图（1），在等腰直角ABC中，斜边AB4，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为，则ADB 16 已知ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且ABC的外接圆的面积为 3，则f（x）cos2x+4（a+c）sinx+1 的最大值的取值范围为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等差数列an满足：a37，a5+a726an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn 18如图，在平面四边形ABCD中，已知ABBCCD2，AD2（1）求cosAcosC的值；（2）记ABD与BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值 19已知抛物线C的方程y22px（p0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大 1（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OMON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若ABMN，线段MN上是否存在定点E，使得4 恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由 20椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时（）求椭圆E的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由 21设抛物线的方程为y22px，其中常数p0，F是抛物线的焦点（1）若直线x3 被抛物线所截得的弦长为 6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求的最大值；（3）设p2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线交于点A，B，l2与抛物线交于点C，D，若点G满足 4+，求点G的轨迹方程 22已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a（，e，使得，对x1，+）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由 2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1设集合M1，2，3，Na+2，a2+2，且MN3，则实数a的值为（）A1 或1 B1 C1 D2【解答】解：M1，2，3，Na+2，a2+2，且MN3，a+23，或a2+23，解得a1 或1，a1 时不满足集合元素的互异性，a1 舍去，a1 故选：B 2AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是（）A2 B C D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|x1+x2+px1+x2+14，故选：C 3已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a625，那么a3+a5的值等于（）A5 B10 C15 D20【解答】解：由等比数列的性质得：a2a4a32，a4a6a52 a2a4+2a3a5+a4a625 可化为（a3+a5）225 又an0 a3+a55 故选：A 4与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A8 B4 C2 D1【解答】解：与双曲线有共同的渐近线，设双曲线方程为，将点 代入双曲线方程，解得，从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是2，故选：C 5ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量，满足2，2+，则下列结论正确的是（）A|1 B C 1 D（4+）【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，满足2，2+，又，的方向应该为的方向 所以，所以2，12cos1201，4412cos1204，4，所以0，即（4）0，即0，所以；故选：D 6存在函数f（x）满足，对任意xR 都有（）Af（sin2x）sinx Bf（sin2x）x2+x Cf（x2+1）|x+1|Df（x2+2x）|x+1|【解答】解：A取x0，则 sin2x0，f（0）0；取x，则 sin2x0，f（0）1；f（0）0，和 1，不符合函数的定义；不存在函数f（x），对任意xR 都有f（sin2x）sinx；B取x0，则f（0）0；取x，则f（0）2+；f（0）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；C取x1，则f（2）2，取x1，则f（2）0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D令x+1t，则f（x2+2x）|x+1|，化为f（t21）|t|；令t21x，则t；即存在函数f（x），对任意xR，都有f（x2+2x）|x+1|；该选项正确 故选：D 7已知双y21（a0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2|PF2|24，则PF1F2的周长为（）A2 B2+2 C2+4 D2+4【解答】解：由题意可得b1，c，即有e，可得a，c2，P为双曲线右支上一点，可得|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|24，可得|PF1|+|PF2|2，则PF1F2的周长为 2+2c4+2，故选：C 8已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f（x），且f（x），在ABC中，f（A）f（B）1，则ABC的形状为（）A等腰锐角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f（x）f（）cosxsinx，则f（）f（）cossinf（）f（），则f（），则f（）1，则f（x）cosxsinx2cos（x+），f（x）sinx+cosx2cos（x），f（A）f（B）1，f（B）2cos（B+）1，即 cos（B+），则B+，得B，f（A）2cos（A）1，即 cos（A），则A，则A，则C，则BC，即ABC是等腰钝角三角形，故选：D 9如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A B C D【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图PABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A 10已知f（x）sin（2019x+）+cos（2019x）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）f（x）f（x2）成立，则A|x1x2|的最小值为（）A B C D【解答】解：依题意f（x）sin2019xcos+cos2019xsin+cos2019xcos+sin2019xsin sin2019x+cos2019x 2sin（2019x+），A2，T，|x1x2|min，A|x1x2|的最小值为，故选：C 11 已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B 过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）当m+n0 时，椭圆离心率的取值范围为（）A B C D【解答】解：如图所示，线段FC的垂直平分线为：x，线段BC的中点（，）kBCb，线段BC的垂直平分线的斜率k 线段BC的垂直平分线方程为：y（x），把xm代入上述方程可得：yn m+n0，0 化为：b，又 0b1，解得b1 ec（0，）故选：A 12设D+a+2其中e2.71828，则D的最小值为（）A B C+1 D+1【解答】解：由题意可得a0，D+a+2，由表示两点C（x，ex）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y24x（x0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上 1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上 1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线yex的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，em），由em1，可得m+e2m1，设g（m）m+e2m，则g（m）递增，且g（0）1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|，则D的最小值为+1 故选：C 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d，所以每一等人比下一等人多得斤金 14已知直线l经过抛物线C：y的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x4）2+（y4）25 【解答】解：抛物线的标准方程为x24y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k（xA+xB）2，则l的方程为y2x+1，即 2xy+10，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y2，解得x4，此时y4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d，所以所求圆的标准方程为（x4）2+（y4）25，故答案为：（x4）2+（y4）25 15如图（1），在等腰直角ABC中，斜边AB4，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为，则ADB 【解答】解：球是三棱锥CABD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图 根据题意，CD平面ABD，取CD的中点E，AB的中点G，连接CG，DG，因为ADBD，CD平面ABD，所以A和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过 O作直线CD的平行线，交平面ABD于点F，则OF平面ABD，且OFDE1，因为AF在平面ABD内，所以OFAF，即三角形AOF为直角三角形，且斜边OAR，AF2，所以，BF2，所以四边形ADBF为菱形，又知ODR，三角形ODE为直角三角形，OE2，三角形ADF为等边三角形，ADF，故ADB，故填：16 已知ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且ABC的外接圆的面积为 3，则f（x）cos2x+4（a+c）sinx+1 的最大值的取值范围为（12，24 【解答】解：由，可得：，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2b2ac，那么 2accosBac，即 cosB0B，B ABC的外接圆的面积为 3，ABC的外接圆的半径为R，a+c2R（sinA+sinc）6sin（A+）A，a+c（3，6，f（x）cos2x+4（a+c）sinx+12sin2x+4（a+c）sinx+2 令g（t）2t2+4（a+c）t+2，t1，1，g（t）在1，1单调递增，g（t）maxg（1）4（a+c）（12，24 则f（x）cos2x+4（a+c）sinx+1 的最大值的取值范围为（12，24 故答案为：（12，24 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等差数列an满足：a37，a5+a726an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Snn2+2n （），Tn 18如图，在平面四边形ABCD中，已知ABBCCD2，AD2（1）求cosAcosC的值；（2）记ABD与BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值 【解答】解：（1）在ABD中，BD2AD2+AB22ADABcosA128cosA，在BDC中，BD2BC2+CD22BCCDcosC，所以 128cosA88cosC，整理得（2）由题意知：8sin2A，所以8sin2A+4sin2C，由于，所以，故，解得 当 cosA时，19已知抛物线C的方程y22px（p0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大 1（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OMON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若ABMN，线段MN上是否存在定点E，使得4 恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得1，即p2，抛物线的方程为y24x，（2）由题意可知，kMN0，设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2y1），由OMON，y12y22+y1y20，即y1y216，直线MN的斜率k，直线MN的方程为yy1（x），即y（x4），直线AB，斜率存在，设斜率为k，则yk（x1），与C联立可得ky24y4k0，|AB|4（1+），设点E存在，并设为E（x0，y0），则|EM|EN|（y0y1）（y2y0）（1+）y1y2y02+（y1+y2）y0（1+）（16y02+），4，16y02+16，解得y00，y0（不是定点，舍去），则点E（4，0），经检验，此点满足y24x，所以在线段MN上，若斜率不存在，则|AB|4，|EM|EN|4416，此时点E（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时（）求椭圆E的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由【解答】解：（）由已知椭圆过点，可得，解得a29，b24 所以椭圆的E方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx270，所以 当k0 时，设过点C且与l垂直的直线方程，将M（m，0）代入得：，若k0，则，若k0，则 所以或，当k0 时，m0 综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是 21设抛物线的方程为y22px，其中常数p0，F是抛物线的焦点（1）若直线x3 被抛物线所截得的弦长为 6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求的最大值；（3）设p2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线交于点A，B，l2与抛物线交于点C，D，若点G满足 4+，求点G的轨迹方程【解答】解：（1）由x3 可得y，可得 26，解得p；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（，0），设过A的直线为yk（x+），ktan，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p2p）x+0，由直线和抛物线相切可得（k2p2p）2k4p20，解得k1，可取k1，可得切线的倾斜角为 45，由抛物线的定义可得，而 的最小值为 45，的最大值为；（3）由y24x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：yk（x1），联立抛物线y24x，可得k2x2（2k2+4）x+k20，即有x1+x22+，y1+y2k（x1+x2）2k，由两直线垂直的条件，可将k换为，可得 x3+x42+4k2，y3+y44k，点G满足 4+，可得 4（x，y）（x1+x2+x3+x44，y1+y2+y3+y4），即为 4xx1+x2+x3+x444k2+，4yy1+y2+y3+y44k+，可得y2（k）2k2+2x2，则G的轨迹方程为y2x2 22已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a（，e，使得，对x1，+）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）f（x）xlnxalnx+ax（xa）（lnx1），x（0，+），当a0 时，由f（x）0，解得xe，由f（x）0，解得 0 xe，f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增，0ae时，令f（x）0，解得xa，或xe，由f（x）0，解得 0 xa，或xe，由f（x）0，解得axe，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+）上单调递增，当ae时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，当ae时，由f（x）0，解得 0 xe，或xa，由f（x）0，解得exa，f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+）上单调递增（2）假设存在a（，e，使得f（x）3+sin对x1，+）恒成立，则f（1）2a3+sin，即 8asin150，设g（x）8xsin15，则g（x）8cos0，则g（x）单调递增，g（2）0，a2，当ae时，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）minf（1），a2，从而ae满足题意，当 2ae时，f（x）在（a，e）上单调递减，在1，a），（e，+）上单调递增，（*），设h（x）4exsine212，则h（x）4ecos0，则h（x）单调递增，h（2）8ee2130，h（x）的零点小于 2，从而不等式组（*）的解集为（2，+），2ae，综上，存在a（，e，使得，对x1，+）恒成立，且a的取值范围为（2，e