备考2020中考数学高频考点分类突破15矩形、菱形和正方形训练(含解析)43041.pdf

矩形、菱形和正方形 一选择题 1（2019朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CEBD，垂足为点E，CE5，且EO2DE，则AD的长为（）A56 B65 C10 D63【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADC90，BDAC，OD=12BD，OC=12AC，OCOD，EO2DE，设DEx，OE2x，ODOC3x，AC6x，CEBD，DECOEC90，在 RtOCE中，OE2+CE2OC2，（2x）2+52（3x）2，x0，DE=5，AC65，CD=2+2=(5)2+52=30，AD=22=(65)2(30)2=56，故选：A 2（2019锦州）在矩形ABCD中，AB3，BC4，M是对角线BD上的动点，过点M作MEBC于点E，连接AM，当ADM是等腰三角形时，ME的长为（）A32 B65 C32或35 D32或65【解答】解：当ADDM时 四边形ABCD是矩形，C90，CDAB3，ADBC4，BD=2+2=5，BMBDDM541，MEBC，DCBC，MECD，=，15=3，ME=35 当MAMD时，易证ME是BDC的中位线，ME=12CD=32，故选：C 3（2019陕西）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE2AE，DF2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）A1 B32 C2 D4【解答】解：BE2AE，DF2FC，=12，=12 G、H分别是AC的三等分点=12，=12=EGBC=13，且BC6 EG2，同理可得HFAD，HF2 四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为 1 S四边形EHFG212，故选：C 4（2019深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为 4，BEAF，BAD120，则下列结论正确的有几个（）BECAFC；ECF为等边三角形；AGEAFC；若AF1，则=13 A1 B2 C3 D4【解答】解：RECAFC（SAS），正确；BECAFC，CECF，BCEACF，BCE+ECABCA60，ACF+ECA60，CEF是等边三角形，故正确；AGECAF+AFG60+AFG；AFCCFG+AFG60+AFG，AGEAFC，故正确正确；过点E作EMBC交AC于点M，易证AEM是等边三角形，则EMAE3，AFEM，则=13 故正确，故都正确 故选：D 5（2019泸州）一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A8 B12 C16 D32【解答】解：如图所示：四边形ABCD是菱形，AOCO=12AC，DOBO=12BD，ACBD，面积为 28，12ACBD2ODAO28 菱形的边长为 6，OD2+OA236，由两式可得：（OD+AO）2OD2+OA2+2ODAO36+2864 OD+AO8，2（OD+AO）16，即该菱形的两条对角线的长度之和为 16 故选：C 6（2019呼和浩特）已知菱形的边长为 3，较短的一条对角线的长为 2，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A22 B25 C42 D210【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，OAOC=12AC1，OBOD，ACBD，OB=22=3212=22，BD2OB42；故选：C 7（2019贵港）如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（）AS1+S2CP2 BAF2FD CCD4PD DcosHCD=35【解答】解：正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，S1CD2，S2PD2，在 RtPCD中，PC2CD2+PD2，S1+S2CP2，故A结论正确；连接CF，点H与B关于CE对称，CHCB，BCEECH，在BCE和HCE中，=BCEHCE（SAS），BEEH，EHCB90，BECHEC，CHCD，在 RtFCH和 RtFCD中=RtFCHRtFCD（HL），FCHFCD，FHFD，ECH+FCH=12BCD45，即ECF45，作FGEC于G，CFG是等腰直角三角形，FGCG，BECHEC，BFGE90，FEGCEB，=12，FG2EG，设EGx，则FG2x，CG2x，CF22x，EC3x，EB2+BC2EC2，54BC29x2，BC2=365x2，BC=655x，在 RtFDC中，FD=22=(22)23652=255x，3FDAD，AF2FD，故B结论正确；ABCN，=12，PDND，AE=12CD，CD4PD，故C结论正确；EGx，FG2x，EF=5x，FHFD=255x，BC=655x，AE=355x，作HQAD于Q，HSCD于S，HQAB，=，即355=2555，HQ=6525x，CSCDHQ=655x6525x=24525x cosHCD=24525655=45，故结论D错误，故选：D 8（2019黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转 90后，点B的对应点B的坐标是（）A（1，2）B（1，4）C（3，2）D（1，0）【解答】解：如图所示，由旋转得：CBCB2，BCB90，四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，OB1，B（2+1，2），即B（3，2），故选：C 9（2019郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形ADOF的边长是（）A2 B2 C3 D4【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在 RtABC中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10 x240，解得：x2，或x12（舍去），x2，即正方形ADOF的边长是 2；故选：B 10（2019孝感）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G若BC4，DEAF1，则GF的长为（）A135 B125 C195 D165【解答】解：正方形ABCD中，BC4，BCCDAD4，BCECDF90，AFDE1，DFCE3，BECF5，在BCE和CDF中，=，BCECDF（SAS），CBEDCF，CBE+CEBECG+CEB90CGE，cosCBEcosECG=，45=3，CG=125，GFCFCG5125=135，故选：A 二填空题 11（2019营口）如图，在矩形ABCD中，AD5，AB3，点E从点A出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿CB向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为 【解答】解：如图，过点E作EGBC于G，四边形ABGE是矩形，ABEG3，AEBG2t，BFEF5t，FG|2t（5t）|3t5|，EF2FG2+EG2，（5t）2（3t5）2+9，t=574 故答案为：574 12（2019徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点若MN4，则AC的长为 【解答】解：M、N分别为BC、OC的中点，BO2MN8 四边形ABCD是矩形，ACBD2BO16 故答案为 16 13（2019十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE3，则菱形的周长为 【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BODO，点E是BC的中点，OE是BCD的中位线，CD2OE236，菱形ABCD的周长4624；故答案为：24 14（2019东营）如图，在平面直角坐标系中，ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 【解答】解：如图，ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC2，CH1，AH=3，ABODCH30，DHAO=33，OD=33333=33，点D的坐标是（33，0）故答案为：（33，0）15（2019鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为 1，正方形A1B1C1A2的边长为 2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为 8依此规律继续作正方形AnBnnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3四边形An1Bn1Cn1Dn的面积为Sn，则S2019 【解答】解：四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，A1D1A2C1，1121=0102，112=11+2，A1D1=23，同理可得：A2D2=43，S1112123=401340，S24134，S3421342，Sn4n1134n1=234n1，S2019=2342018，故答案为：2342018 三、解答题 16（2019宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EFEC，且AECD（1）求证：AFDE；（2）若DE=25AD，求 tanAFE 【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AD90，EFCE，FEC90，AFE+AEFAEF+DEC90，AFEDEC，在AEF与DCE中，=，AEFDCE（AAS），AFDE；（2）解：DE=25AD，AE=32DE，AFDE，tanAFE=32=32 17（2019哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AEBD于点E，CFBD于点F（1）如图 1，求证：AECF；（2）如图 2，当ADB30时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的18 【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，ADBC，ABECDF，AEBD于点E，CFBD于点F，AEBCFD90，在ABE和CDF中，=，ABECDF（AAS），AECF；（2）解：ABE的面积CDF的面积BCE的面积ADF的面积矩形ABCD面积的18理由如下：ADBC，CBDADB30，ABC90，ABE60，AEBD，BAE30，BE=12AB，AE=12AD，ABE的面积=12BEAE=1212AB12AD=18ABAD=18矩形ABCD的面积，ABECDF，CDF的面积18矩形ABCD的面积；作EGBC于G，如图所示：CBD30，EG=12BE=1212AB=14AB，BCE的面积=12BCEG=12BC14AB=18BCAB=18矩形ABCD的面积，同理：ADF的面积=18矩形ABCD的面积 18（2019青海）如图，在ABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形 【解答】证明：（1）AFBC，AFEDBE ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，AEDE，BDCD 在AFE和DBE中，=，AFEDBE（AAS）（2）由（1）知，AFBD，且BDCD，AFCD，且AFBC，四边形ADCF是平行四边形 BAC90，D是BC的中点，AD=12BCCD，四边形ADCF是菱形 19（2019兰州）如图，AC8，分别以A、C为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D 依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长 【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得ABADCBCD5，所以四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD为菱形，OAOC4，OBOD，ACBD，在 RtAOB中，OB=5242=3，BD2OB6 20（2019潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AHDG，交BG于点H连接HF，AF，其中AF交EC于点M（1）求证：AHF为等腰直角三角形（2）若AB3，EC5，求EM的长 【解答】证明：（1）四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形 DABC，ADCD，FGCG，BCGF90 ADBC，AHDG 四边形AHGD是平行四边形 AHDG，ADHGCD CDHG，ECGCGF90，FGCG DCGHGF（SAS）DGHF，HFGHGD AHHF，HGD+DGF90 HFG+DGF90 DGHF，且AHDG AHHF，且AHHF AHF为等腰直角三角形（2）AB3，EC5，ADCD3，DE2，EF5 ADEF=53，且DE2 EM=54 21（2019凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF 【解答】证明：四边形ABCD是正方形 BOEAOF90，OBOA 又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFO BOEAOF（AAS）OEOF 22（2019天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BECF，过点E作EGBF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF求证：（1）AEBF；（2）四边形BEGF是平行四边形 【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC，ABCBCD90，ABEBCF90，在ABE和BCF中，=，ABEBCF（SAS），AEBF，BAECBF，EGBF，CBFCEG，BAE+BEA90，CEG+BEA90，AEEG，AEBF；（2）延长AB至点P，使BPBE，连接EP，如图所示：则APCE，EBP90，P45，CG为正方形ABCD外角的平分线，ECG45，PECG，由（1）得BAECEG，在APE和ECG中，=，APEECG（ASA），AEEG，AEBF，EGBF，EGBF，四边形BEGF是平行四边形