第四章习题解题过程和参考答案10596.pdf
4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10()1G ss。当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r tt，试求系统的稳态输出。解：系统的闭环传递函数为：10()()11()()1()111C sG sssR sG s 这是一个一阶系统。系统增益为：1011K，时间常数为：111T 其幅频特性为：22()1KAT 其相频特性为：()arctanT 当输入为()sin(30)r tt，即信号幅值为：1A，信号频率为：1，初始相角为：030。代入幅频特性和相频特性，有：222110 1110(1)12211 1 11KAT 11(1)arctanarctan5.1911T 所以，系统的稳态输出为：10()(1)sin30(1)sin(24.81)122c tAAtt 4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)ttc teet。试求系统的幅频特性和相频特性。解：对输出表达式两边拉氏变换：11.80.8361()49(4)(9)(1)(1)49C sssssss sss 由于()()()C ss R s，且有1()R ss（单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为：1()(1)(1)49sss 可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：1211,49TT 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：1222222212111()()()11(1)(1)1681AAATT 1212()()()arctanarctanarctanarctan49TT 4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。（1）1()1 0.01G ss（2）1()(10.1)G sss（3）)1008()1(1000)(2sssssG（4）250(0.61)()(41)sG sss 解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。所谓“概略”，即计算与判断奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。除做到上述要求外，若再多取若干点（如 6-8 点），并将各点光滑连线。这就一定程度上弥补了要求 A 的精度不足的弱点。但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。在本题解答中，作如下处理：小题（1）：简单的一阶惯性系统，教材中已经研究得比较详细了。解题中只是简单套用。小题（2）：示范绘制奈氏图的完整过程。小题（3）、小题（4）：示范概略绘制奈氏图方法。4-3（1）1()1 0.01G ss 这是一个一阶惯性（环节）系统，例 4-3 中已详细示范过（当 T=时），奈氏曲线是一个半圆。而表 4-2 给出了任意时间常数 T 下的实虚频率特性数据。可以套用至本题。系统参数：0 型，一阶，时间常数0.01T 起终点 奈氏曲线的起点：（1,0），正实轴 奈氏曲线的终点：（0,0），原点 奈氏曲线的相角变化范围：（0,90），第 IV 象限 求频率特性。据式（4-29）已知：实频特性：221()1PT 虚频特性：22()1TQT 可以得出如下实频特性和虚频特性数值：0 10 25 50 80 100 125 200 400 800 1000 ()P ()Q 绘图：=00()Q()P=50=80=100=125=200=10.5-0.54-3（2）1()(10.1)G sss 示范绘制奈氏图的完整过程。这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。系统参数：1 型系统，n=2,m=0 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，1 型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-90，-180），第 III 象限 求频率特性：21(0.1)()(10.1)(10.01)jG jjj 实频特性：20.1()10.01P 虚频特性：21()(10.01)Q 当0时，实频曲线有渐近线为。可以得出如下实频特性和虚频特性数值：0 1 2 5 8 9 10 20 ()P ()Q 绘图：4-3（3）)1008()1(1000)(2sssssG 示范概略绘制奈氏图方法。系统参数：1 型系统，n=3,m=1 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，1 型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-90，-180）；绘图：0()Q()P=-0.1-0.3-0.1-0.2=20=10=8=5=0()Q()P 4-3（4）250(0.61)()(41)sG sss 示范概略绘制奈氏图方法。系统参数：2 型系统，n=3,m=1 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，2 型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-180，-180）；绘图：4-4 试画出下列传递函数的波德图。（1）)18)(12(2)()(sssHsG（2）2200()()(1)(101)G s H ssss（3）2250()()(1)(101)G s H sssss ()P()Q（4）210(0.2)()()(0.1)sG s H sss（5）228(0.1)()()(1)(425)sG s H ss ssss 解：绘制波德图要按照教材 P134-135 中的 10 步，既规范也不易出错。4-4（1）)18)(12(2)()(sssHsG（1）开环传递函数已如式(4-41)标准化；（2）计算开环增益 K，计算)(lg20dBK；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 K2,20lg20lg 26()KdB 0 型系统，低频段斜率为 0；（3）求各转折频率，并从小到大按顺序标为,321，同时还要在转折频率旁注明对应的斜率；110.1258，惯性环节，斜率-20；210.52，惯性环节，斜率-20；（4）绘制波德图坐标。横坐标从到 10 二个十倍频程。见图；（5）绘制低频段幅频渐近线，为水平线；（6）在10.125，斜率变为-20；在20.5，斜率变为-40；标注斜率见图；（7）幅频渐近线的修正。在10.125处修正-3dB，在0.06,0.25处修正-1dB；在0.5处修正-3dB，在0.5,1处修正-1dB；注意在0.5处有两个-1dB 修正量，共修正-dB；（8）绘制两个惯性环节的相频曲线；（9）环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线；（10）检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性。4-4（2）2200()()(1)(101)G s H ssss（1）开环传递函数已如式(4-41)标准化；（2）计算开环增益 K，计算)(lg20dBK；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 K200,20lg20lg 20046()KdB 2 型系统，低频段斜率为-40；（3）求各转折频率：110.110，惯性环节，斜率-20；21，惯性环节，斜率-20；（4）以下文字略，见绘图；()LdB0dB0901802703609020dB40dB20dB()0.11100.540/dBdec20(/)r s(/)r s20/dBdec ()LdB0dB0901802703609020dB40dB()0.111040/dBdec60dB低频延长线过此点：60/dBdec80/dBdec(/)r s(/)r s4-4（3）2250()()(1)(101)G s H sssss （1）开环传递函数标准化：2250()()(2 0.5 11)(101)G s H sssss （2）计算开环增益 K，计算)(lg20dBK；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 K50,20lg20lg5034()KdB 2 型系统，低频段斜率为-40；（3）求各转折频率：110.110，惯性环节，斜率-20；21，二阶振荡环节，阻尼比0.5，斜率-40；（4）其它：二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图 4-17 修正。见绘图；()LdB0dB0901802703609020dB40dB()0.111040/dBdec60dB低频延长线过此点：60/dBdec100/dBdec450(/)r s(/)r s4-4（4）210(0.2)()()(0.1)sG s H sss（1）开环传递函数标准化：2220(1)10(0.2)0.2()()(0.1)(1)0.1ssG s H sssss（2）计算开环增益 K，计算)(lg20dBK；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 K20,20lg20lg 2026()KdB 2 型系统，低频段斜率为-40；（3）求各转折频率：10.1，惯性环节，斜率-20；20.2，一阶微分环节，斜率+20；（4）其它见绘图；()LdB0dB0901802703609020dB40dB()0.111040/dBdec60dB低频延长线过此点：60/dBdec40/dBdec4500.2(/)r s(/)r s4-4（5）228(0.1)()()(1)(425)sG s H ss ssss （1）开环传递函数标准化：22220.032 5(1)0.1()()(2 0.5 11)(2 0.4 55)sG s H ss ssss （2）计算开环增益 K，计算)(lg20dBK；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 K,20lg20lg0.03230()KdB 1 型系统，低频段斜率为-20；（3）求各转折频率：10.1，一阶微分环节，斜率+20；21，二阶振荡环节，阻尼比0.5，斜率-40；35，二阶振荡环节，阻尼比0.4，斜率-40；（4）其它见绘图；()LdB0dB0901802703609020dB()0.111020/dBdec40dB低频延长线过此点：40/dBdec80/dBdec4505(/)r s(/)r s20dB 4-5 根据下列给定的最小相位系统对数幅频特性曲线图写出相应的传递函数。解：4-5(a)（1）求结构 从图中看出，低频段斜率为 0，是 0 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化20/dB dec，是一阶惯性环节；第 2 个转折频率处斜率变化也是20/dB dec，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为 12()(1)(1)KG sT sT s（2）求参数 从图中看出，低频段与零分贝线水平重合，因此 1K 对第 1 个一阶惯性环节，转折频率11，则：1111T 对第 2 个一阶惯性环节，转折频率24，则：22110.254T 综合得：()(1)(0.251)KG sss 解：4-5(b)（1）求结构 从图中看出，低频段斜率为20/dB dec，是 1 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化20/dB dec，是一阶惯性环节；第 2 个转折频率处斜率变化也是20/dB dec，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为 12()(1)(1)KG ss TsT s（2）求参数 从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：0100，因为是 1 型系统，由式(4-67)100K 对第 1 个一阶惯性环节，转折频率10.01，则：11111000.01T 对第 2 个一阶惯性环节，转折频率2100，则：22110.01100T 综合得：12100()(1)(1)(1001)(0.011)KG ss TsT ssss 解：4-5(c)（1）求结构 从图中看出，低频段斜率为 0，是 0 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化20/dB dec，是一阶惯性环节；第 2 个转折频率处斜率变化也是20/dB dec，也是一阶惯性环节；第 3 个转折频率处斜率变化也是20/dB dec，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为 123()(1)(1)(1)KG sTsT sT s（2）求参数 从图中看出，低频段为水平线，幅值为48kLdB。由式(4-64)：4820201010251kLK 对第 1 个一阶惯性环节，转折频率11，则：1111T 对第 2 个一阶惯性环节，转折频率210，则：22110.110T 对第 3 个一阶惯性环节，转折频率3100，则：33110.01100T 综合得：251()(1)(0.11)(0.011)G ssss 解：4-5(d)（1）求结构 从图中看出，低频段斜率为20/dB dec，是 1 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化decdB/40，是二阶振荡环节；因此传递函数结构为 222()2nnnKG ssss（2）求参数 从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：0100，因为是 1 型系统，由式(4-67)100K 对二阶振荡环节，从图中看出，谐振峰值为4.58dB，峰值频率45.3r。可以由式（4-37）求出阻尼比：2121rM 当20lg4.58rMdB时，阻尼比为0.31。（也可简单地查表 4-5，得0.3）。由式（4-36）：250.31 2rn 综合得：222222100 50.3()2(2 0.3 50.350.3)nnnKG sssss ss 4-6 试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传递函数。（1）10arctan5.0arctan2arctan90，3)1(A；（2）1.0arctanarctan5arctan180，10)5(A；（3）10arctan31arctan1arctan2.0arctan18022，1)10(A；（4）10arctan3arctanarctan90，2)5(A。解：（1）10arctan5.0arctan2arctan90，3)1(A；直接可以得到：12(1)(0.51)()(1)(1)(21)(101)KsKsG ss TsT ssss 且有幅频特性：2220.251()(41)(1001)KA 即 2221()(41)(1001)(1)5 10160.31.250.251AAK 所以 60.3(0.51)()(21)(101)sG ssss （2）1.0arctanarctan5arctan180，10)5(A；直接可以得到：212(1)(51)()(1)(1)(1)(0.11)KsKsG ss TsT ss ss 且有幅频特性：2222251()(1)(0.011)KA 即 22225()(1)(0.011)(5)2526 1.2557626251AAK 所以 212(1)57(51)()(1)(1)(1)(0.11)KssG ss TsT ss ss （3）10arctan31arctan1arctan2.0arctan18022，1)10(A；直接可以得到：222222212112(1)(1)()2(1)(1)nnnnsKssG ssssTs 比较二阶振荡环节的相频特性式（4-32）：222()arctan1nn 由2arctan1，得111,0.5n 二阶微分环节的参数求法与上面二阶振荡环节基本相同，差别仅是式（4-32）是正值。所以：由2arctan1 3，得2213,23n 一阶微分环节：0.2 一阶惯性环节：10T 所以：222(0.21)(31)()(1)(101)KsssG sssss 且有幅频特性：2222422222100.041(1 3)(10)6.72 10(1)1001KAK 即 4114886.72 10K 所以：2221488(0.21)(31)()(1)(101)sssG sssss （4）10arctan3arctanarctan90，2)5(A。直接可以得到：12(1)(1)3()(1)(1)(1)(101)sKKsG ss TsT ss ss 且有幅频特性：22219()(1)(1001)KA 即 2225()(1)(1001)2 5 2625011312251199AK 所以：1312(1)3()(1)(101)sG ss ss 4-7 画出下列各给定传递函数的奈氏图。试问这些曲线是否穿越实轴。若穿越，则求与实轴交点的频率及相应的幅值()G j。（1）)21)(1(1)(sssG；（2）)21)(1(1)(ssssG；（3）)1(1)(2sssG；（4）)005.01()02.01()(2ssssG。解：4-7（1）)21)(1(1)(sssG 系统参数：0 型系统，n=2,m=0 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，0 型系统起点为正实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（0，-180）；从相角变化范围来看，曲线均在正实轴以下，并未发生穿越；绘图见右；0()Q()P4-7（2）)21)(1(1)(ssssG 系统参数：1 型系统，n=3,m=0 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，1 型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=30，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-270；奈氏曲线的相角变化范围：（-90，-270）；从相角变化范围来看，曲线将从第 III象限穿越至第 II 象限，发生一次实轴穿越：绘图见右；求与实轴的交点：频率特性：1()(1)(12)G jjjj 幅频特性：221()(1)(14)A 相频特性：()90arctanarctan 2 发生负实轴穿越时，相频为-180，即令()180 ，可求得穿越时的频率：0.707/secrad；此时的幅值：0.7072()0.6673A 4-7（3）)1(1)(2sssG 0()Q()P0()Q()P系统参数：2 型系统，n=3,m=0 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，2 型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=30，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-270；奈氏曲线的相角变化范围：（-180，-270）；从相角变化范围来看，曲线均在第 III 象限，未发生穿越；绘图见右；4-7（4）)005.01()02.01()(2ssssG 系统参数：2 型系统，n=3,m=1 起终点 奈氏曲线的起点：查表 4-7，2 型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-180，-180）；传递函数中，一阶微分环节贡献一个零点，一阶惯性环节贡献一个极点。零极点发生一定的对消效应，但并不完全对消。惯性环节的时间常数比一阶微分环节的时间常数小，即极点位置比零点位置更靠近虚轴，因此将发生更大的作用。也就是说，零极点的相频特性合成后，仍为负值。综合两个微分环节后，相频特性-180，曲线均在第 III 象限，未发生穿越；绘图见右；4-8 试用奈氏稳定判据判别图示开环奈氏曲线对应系统的稳定性。0()Q()P 4-9 已知系统的开环传递函数为()(1)(0.11)KG ss ss，试分别绘出当开环放大倍数K5和K20时的波德图，并判定系统的稳定性，量取相位裕量和幅值裕量，并用计算公式验证。解：先按开环增益 K5 绘图,20lg514 dB 1 型系统，低频段斜率为-20；求各转折频率：11，惯性环节，斜率-20；210，惯性环节，斜率-20；绘图如下：(a)奈氏曲线包围了(-1,j0)点，所以(b)添加辅助线后可以看出，奈氏曲线未包围(-1,(d)添加辅助线后可以看出，奈氏曲线未包围(-1,j0)点，(c)添加辅助线后可以看出，奈氏曲线包围了(-1,j0)点，所以闭(d)添加辅助线后可以看出，奈氏曲线未包围(-1,j0)点，（1）当 K5 时，从图中量取各指标（见粉红色）：得：2,3cg，()180c ,故系统稳定；且有稳定裕量：20,8gKdB；（2）当 K20 时，20lg 2026 dB。相比于 K5 时，幅频曲线提升12dB，而相频曲线保持不变。从图中量取各指标（见蓝色）：得：4c，3g保持不变。()180c ,故系统不稳定；且有稳定裕量：10,4gKdB ；因此，提高开环增益将有损于稳定性。计算验证：幅频特性计算公式：22()20lg20lg20lg 120lg 1 0.01LK 相频特性计算公式：()90arctanarctan 0.1 (1)当15K 时,112.1/,13.60crad s，113.16/,6.80ggrad s KdB；闭环系统稳定；(2)当220K 时，224.2/,9.40crad s ，223.16/,5.20ggrad s KdB；闭环系统不稳定。()L0.10dB0901802709020dB40dB1103g20/dBdec60/dBdec40/dBdec1002cK=5 gK4cK=20()(/)r s(/)r s410 已知系统的开环传递函数为280(2)()(20)sG sss，试绘制系统的开环波德图，并判定系统的稳定性。从波德图中量取,cggK 各指标，并用计算公式验证。解：开环传递函数为：228(1)80(2)2()(20)(1)20ssG sssss 开环增益 K8,20lg20lg818()KdB，是 2 型系统，低频段斜率为-40；求各转折频率：12，一阶微分环节，斜率+20；220，惯性环节，斜率-20；绘图如下：系统分析：从图中量取各指标，得：4.5c，且相频曲线总在-180之上，所以g。闭环系统无条件稳定；量取稳定裕量：50,gK；计算验证：幅频特性计算公式：222()20lg20lg20lg0.25120lg0.00251LK ()L0.10dB0901809020dB40dB(/)r s11020/dBdec40/dBdec1002()40/dBdec(/)r s20c相频特性计算公式：()180arctan 0.5arctan 0.05 计算验证：当()0cL时，求得4.31/crad s，()127c ，故53；任何均无法使()180 ，故,ggK 。411 某单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如题411图所示，若要求系统具有30的相位稳定裕量，试计算开环增益可增大的倍数。题 411 图 解：可从图中求得闭环传递函数为 1()(1)(1)(1)1.255ssss 由开环传递函数与闭环传递函数的关系求开环传递函数：()()6.250.5()1()1()(2.825)(4.425)(1)(1)2.8254.425ssG ssssss sss 相频特性：()90arctanarctan2.8254.425 若要求系统30，相当于要求()150c 。求得：当2.016c时，()150c 幅频特性：220.5()()1()12.8254.825A 当2.016c时，()0.1837cA 为使2.016c成为穿越频率，要求()1cA，因此系统开环增益应增大：15.440.1837K 倍 412 某最小相位系统的开环对数幅频特性如题412图所示。要求：（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相位裕量判断系统稳定性；（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。题 412 图 解：（1）可从图中求得开环传递函数为 10()(101)(0.051)(1)(1)0.120KG ssssss 式中，010K 0 （2）由图可以看出，1cg，即0，闭环系统处于稳定临界状态；（3）将波德图幅频特性向右平移十倍频程（即图中蓝色线），相当于提高系统开环增益，可以看到系统变为不稳定。由（2）知，已经处于稳定临界，再增加开环增益，即变为不稳定。若在稳定裕量允许的情况下，提高开环增益可使调节时间缩短，系统动态响应能力增强。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为：()(0.11)(1)KG ssss。（1）确定使系统谐振峰值4.1)(rM的K值；（2）确定使系统相位裕量=+60的K值；（3）确定使系统幅值裕量Kg=+20dB的K值。解：（1）系统谐振峰值是一个闭环指标。可以采用等 M-N 圆作图法求闭环频率特性指标，或借助 MATLAB 工具解算。手工计算比较麻烦，此处略。闭环传递函数为：()L0.010dB0901802709020dB40dBg20/dBdec60/dBdec40/dBdecc()(/)r s(/)r s0.12010右移十倍频程 32()()1()0.11.1G sKsG ssssK 当1.27K 时，谐振峰值1.4rM 此时有：32221.271.253()0.11.11.27(2 0.386 1.1191.119)(10.1371)sssssss 运用主导极点概念，由于实极点距虚轴距离远大于一对复极点的实部，故可将其忽略：221.253()2 0.386 1.1191.119sss （2）本题的开环传递函数与题 4-9 比较，除开环增益 K 不同外，其余完全一样。故不再绘制波德图。有关指标通过公式计算获得，以熟悉各种方法。开环系统相频特性为：()90arctan 0.1arctan 开环系统幅频特性为：22()110.01KA 可计算得：当0.51/seccrad时，()120c ，即60 将0.51/seccrad代入幅频特性计算公式，且令()1cA（因是穿越频率）：220.511 11 0.010.573K 即0.573K 时，相位裕量60。（3）同理，当3.16/secgrad时，()180g ，即为相位穿越频率。为使20gKdB，相当于应使()0.1gA。（注：20lg0.120dB）223.160.1 11 0.011.1K 即1.1K 时，幅值裕量20gKdB。
