普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟考试联考冲刺卷(整理含答案)17836.pdf

绝密 启用前 普通高等学校招生全国统一考试理科数学冲刺卷 本试题卷共 16 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合|11Axx，|02Bxx，则AB（）A|11xx B|12xx C|02xx D|01xx 2设复数1 2iz （i是虚数单位），则在复平面内，复数2z对应的点的坐标为（）A3,4 B5,4 C3,2 D3,4 3 6221xx的展开式中4x的系数为（）A-160 B320 C480 D640 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A52 B42 C44 D54 5过双曲线221916xy的右支上一点P，分别向圆1C：2254xy和圆2C：2225xyr（0r）作切线，切点分别为M，N，若22PMPN的最小值为58，则r（）A1 B2 C3 D2 6 设函数 3sincos0f xxx，其图象的一条对称轴在区间,6 3 内，且 f x的最小正周期大于，则的取值范围为（）A1,12 B0,2 C1,2 D1,2 7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数 3222113f xxbxacac x无极值点，则角B的最大值是（）A6 B4 C3 D2 8公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 314，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305）A12 B20 C24 D48 9设02x，则“2cosxx”是“cos xx”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10欧阳修的卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）A14 B49 C19 D58 11已知cos23,cos67AB，2cos68,2cos22BC，则ABC的面积为（）A2 B2 C1 D22 12已知定义在R上的可导函数 f x的导函数为 fx，对任意实数x均有 10 x f xxfx成立，且1eyf x是奇函数，则不等式 e0 xxf x 的解集是（）A,e Be,C,1 D1,第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13已知实数x，y满足约束条件01 0 xyxyx，则2zxy的最大值 _ 14如果1P，2P，10P是抛物线C：24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，10 x，是抛物线 C 的焦点，若121010 xxx，则1210PFPFP F_ 15 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，22cab，当C最大时，22ABCSab_ 16已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且2ABBC，2 2AC，若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O的表面积为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列 na是等差数列，21att，24a，23att（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 na为递增数列，数列 nb满足2lognnba，求数列1nnab的前n项和nS 18中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家 4 口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放 8 个饺子，其中肉馅饺子 4 个，蛋馅饺子和素馅饺子各 2 个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第 1 次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为X，若每个人各上一盘饺子，记 4 个人中第 1 次夹起的是肉馅饺子的人数为Y，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子（1）求随机变量X的分布列；（2）若X,Y的数学期望分别记为 E X、E Y，求 E XE Y 19如图，是一个半圆柱与多面体11ABB AC构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且ACBC，P为弧11AB上（不与1A，1B重合）的动点 （1）证明：1PA 平面1PBB；（2）若四边形11ABBA为正方形，且ACBC，114PB A，求二面角11PABC的余弦值 20已知圆22:4O xy，点0,3F，以线段FP为直径的圆内切于圆O，记点P的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若11,A x y，22,B xy为曲线C上的两点，记11,2yxm，22,2yxn，且mn，试问AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 21已知函数 eln1x mf xx xmx；（1）若1m，求证：f x在0,上单调递增；（2）若 =g xfx，试讨论 g x零点的个数 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1C：2cos sinxy（为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：cossin4p（1）写出曲线1C和2C的普通方程；（2）若曲线1C上有一动点M，曲线2C上有一动点N，求使MN最小时M点的坐标 23已知a是常数，对任意实数x，不等式1212xxaxx 恒成立 （1）求a的取值集合；（2）设0mn，求证：221222manmmnn 绝密 启用前 普通高等学校招生全国统一考试答案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1D 2A 3B 4C 5B 6C 7C 8C 9A 10B 11D 12D 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。132 1420 153320 169 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17【答案】(1)2nan；(2)165 4209nnnS【解析】(1)由题意得22228ttttt ，所以2t ，2 分 2t 时，12a，公差2d，所以2nan；4 分 2t 时，16a，公差2d ，所以82nan 6 分(2)若数列 na为递增数列，则2nan，所以2log2nbn，4nnb，121 4nnnabn，8 分 所以2311 43 45 423 421 4nnnSnn ，9 分 234141 43 45 423 421 4nnnSnn ，所以231342 42 42 421 4nnnSn 21141 44221 43nnn 12065 43nn，10 分 所以165 4209nnnS12 分 18【答案】（1）见解析；（2）4【解析】（1）随机变量X的可取值为 0，1，2，3，41 分 044448C C10C70p X；2 分134448C C1681C7035P X；3 分 224448C C36182C7035P X；4 分314448C C1683C7035P X；5分 404448C C14C70p X 6 分 故随机变量 X 的分布列为:X 0 1 2 3 4 P 170 835 1835 835 170 7 分（2）随机变量 X 服从超几何分布：4428E x，9 分 随机变量14,2YB，1422E Y11 分 224E XE Y12 分 19【答案】（1）证明见解析；（2）55【解析】（1）在半圆柱中，1BB 平面11PAB，所以1BBPA2 分 因为11AB是上底面对应圆的直径，所以11PAPB4 分 因为111PBBBB，1PB 平面1PBB，11BBPBB，所以1PA 平面1PBB5 分（2）以C为坐标原点，以CA，CB为x，y轴，过C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，设1CB，则1,0,0B，0,1,0A，10,1,2A，11,0,2B，1,1,2P6分 所以10,1,2CA，11,0,2CB 平面11PAB的一个法向量10,0,1n8 分 设平面11CAB的一个法向量2,x y zn，则20 20yzxz，令1z，则22 1yxz ，所以可取22,2,1 n，10 分 所以1215cos515n n11 分 由图可知二面角11PABC为钝角，所以所求二面角的余弦值为5512 分 20【答案】（1）2214yx；（2）答案见解析【解析】（1）取0,3F，连结PF，设动圆的圆心为M，两圆相内切，122OMFP，又12OMPF，42 3PFPFFF，3 分 点P的轨迹是以F，F为焦点的椭圆，其中24a，22 3c，2a，3c，2221bac，C的轨迹方程为2214yx5 分（2）当ABx轴时，有12xx，12yy，由mn，得112yx，又221114yx，122x，12y，1111222 21222AOBSxy7 分 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，由22 14ykxmyx，得2224240kxkmxm，则12224kmxxk，212244mx xk，9 分 由0m n，得121 240y yx x，121 240kxmkxmx x，整理得22121240kx xkm xxm，10 分 2224mk，1212AOBSmxx21212142mxxx x2224214kmmk，综上所述，AOB的面积为定值112 分 21【答案】（1）见解析；（2）当1m时，g x没有零点；1m 时，g x有一个零点；1m 时，g x有两个零点【解析】（1）1m 时，1elnxf xx x，1eln1xfxx，1 分 要证 f x在0+，上单调递增，只要证：0fx对0 x 恒成立，令 1exi xx，则 1e1xi x，当1x 时，0i x，2 分 当1x时，0i x，故 i x在1，上单调递减，在1+，上单调递增，所以 10i xi，3 分 即1exx（当且仅当1x 时等号成立），令 1 ln0j xxx x，则 1xjxx，当01x时，0jx，当1x 时，0jx，故 j x在0,1上单调递减，在1+，上单调递增，所以 10j xj，即ln1xx（当且仅当1x 时取等号），1eln1xfxxln10 xx（当且仅当1x 时等号成立），f x在0+，上单调递增5 分（2）由 elnx mg xxm有 1e0 x mgxxx，显然 g x是增函数，令 00g x，得001exmx，00eexmx，00lnmxx，则00,xx时，0gx，0,xx时，0gx，g x在00,x上是减函数，在0,x 上是增函数，g x有极小值，0000001eln2lnxmg xxmxxx，7 分 当1m 时，01x，=10g xg极小值，g x有一个零点 1；8 分 当1m时，001x，000012lng xxxx，因为011x，02ln0 x，001x，所以 0g x0，g x没有零点；9 分 当1m 时，01x，01 0 10g x ，又eeeee0mmmmmgmm，又对于函数e1xyx，e1 0 xy 时0 x，当0 x 时，10 10y ，即e1xx，23eln3mgmmm21 ln3mmm 1 lnln3mm，令 1 lnln3t mmm，则 111mtmmm，1m，0tm，12 ln30t mt，30gm，又0e1mx，000333lnmxxx，g x有两个零点，综上，当1m时，g x没有零点；1m 时，g x有一个零点；1m 时，g x有两个零点12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22【答案】（1）221:14xCy，2:40Cxy；（2）4 55,55【解析】（1）221:14xCy，2 分 2:40Cxy5 分（2）设2cos,sinM，结合图形可知：MN最小值即为点M到直线2C的距离的最小值 M到直线2C的距离5sin42cossin422d，7 分 当sin1时，d最小，即MN最小 此时，2cossin5，结合22sincos1可解得：2 5cos5，5sin5，即所求M的坐标为4 55,5510 分 23【答案】（1）3；（2）见解析【解析】（1）12123xxxx，2 分 12123xxxx，4 分 3a，a的取值集合为35 分（2）22112 mnmnmnmnmn 32133mnmnmn 21223mnmn，即221222manmmnn10 分