2021年河南省六市高三第一次联考数学(理科)试题及答案3月3592.pdf

2 0 2 1年河南省六市高三第一次联合调研检测数学理科参考答案一、选择题1 5 C A B D B 6 1 0 C C A D A 1 1 1 2 D B二、填空题1 3.-2 1 4 52 9 1 4.-7 1 5.an=13(n=1)44n2-1(n2)1 6.2三、解答题1 7.解:()由正弦定理,原式可化为2 s i nC-s i nB=s i nA(s i nCt a nA-c o sC),即2 s i nC-s i n(A+C)=s i nA(s i nCt a nA-c o sC),2分 2 s i nC-s i nAc o sC-c o sAs i nC=s i nCs i n2Ac o sA-s i nAc o sC,s i nC0,s i n2Ac o sA+c o s A=2,4分即1-c o s2A+c o s2A=2 c o sA,c o sA=22,又0A,A=4.6分()由余弦定理可得:a2=b2+c2-2b cc o sA=1 8+4-1 2=1 0,a=1 0,8分点D在边B C上,且C D=2D B,B D=a3=1 03,又c o sB=a2+c2-b22a c=-1 01 0,1 0分A D2=A B2+B D2-2A BB Dc o sB=5 89,A D=5 83.1 2分1 8.()证明:由顶点F在A C上投影为点G,可知,F GA C.取A C的中点为O,连结O B,G B.在R t F G C中,F G=3,C F=2 12,C G=32.1分在R t G B O中,O B=3,O G=12,B G=1 32.2分B G2+G F2=F B2,F GB G.3分)页6共(页1第 案答学数科理三高F GA C,F GG B,A CB G=GF G面A B C.又F G面F G B,面F G B面A B C.5分()解:O是A C的中点,O BA C,由()知O BF GO B面A F C,且F G面A B C.以O B所在直线为x轴,O C所在直线为y轴,过点O作平面A B C的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:A(0,-1,0),B(3,0,0),F(0,-12,3),E(32,-1,3),B A=(-3,-1,0),B E=(-32,-1,3),B F=(-3,-12,3)8分设平面A B E,A B F的法向量分别为m,n,则mB A=0mB E=0,解得:m=(1,-3,-12),9分nB A=0nB F=0,解得:n=(1,-3,12),1 0分c o s=mn|m|n|=1 51 7,二面角E-A B-F的余弦值为1 51 7.1 2分1 9.解:()由题意知机器运行时间不少于3个月,共有三种可能:1分第一,取到2个一等品,对应概率为C24C26=25,第二,取到1个一等品,1个二等品,且二等品的使用寿命为3个月,对应概率为C14c12C2612=41 5,第三,取到2个二等品,且二者使用寿命均为3个月,对应概率为:C22C261212=16 0,机器可运行时间不少于3个月的概率P=25+41 5+16 0=4 16 0.5分()若采用甲方案,则机器正常运行的时间为X(单位:月),则X的可能取值为5,6,)页6共(页2第 案答学数科理三高P(X=6)=1212=14,P(X=5)=1-P(X=6)=34,则X的分布列为:X56P3414 E(X)=534+614=2 14,它与成本价之比为E(X)5+5=2 14 0,7分若采用方案乙,两个二等品的使用寿命之和Y(单位:月),Y的可能取值为4,5,6,P(Y=4)=1212=14,P(Y=5)=21212=12,P(Y=6)=1212=14,则Y的分布列为:Y456P1412149分记M为一等品的使用寿命(单位:月),此时机器的正常运行时间为Z,则Z的可能取值为4,5,6,P(Z=4)=P(Y=4)=14,P(Z=5)=P(M=5,Y5)+P(M=6,Y=5)=1234+1212=58,P(Z=6)=P(M=y=6)=1214=18,Z的分布列为:Z456P145818 E(Z)=414+558+618=3 98,它与成本价之比为E(Z)5+2+2=1 32 4,1 1分2 14 00,所以k2+1k22,当且仅当k2=1时取等号,所以9k2+1k2+2(0,94,所以4+9k2+1k2+2(2,52,所以S(8,1 0.综上所述:该矩形面积的取值范围为8,1 0.1 2分2 1.解:()f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ex-1-2x+1,易知f(x)=ex-1-2x+1在(0,+)上单调递增,且f(1)=0,3分令f(x)0,解得0 x0,解得x1,则f(x)的单调递增区间为(1,+);4分)页6共(页4第 案答学数科理三高()证明:设g(x)=(x-2)3-3(x-2)(x 0),g(x)=3(x-1)(x-3),令g(x)0,解得1x 0,解得0 x 3,当x=1时,g(x)取得极大值,且极大值为2,由(1)知,f(x)m i n=f(1)=2,故当03时,设h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-2 l nx-(x-2)3+4x-6,则h(x)=ex-1-2x-3(x-2)2+4,设p(x)=h(x),p(x)=ex-1+2x2-6(x-2),设q(x)=p(x),则q(x)=ex-1-4x3-6,8分易知q(x)在(3,+)上单调递增,q(x)q(3)=e2-42 7-60,则q(x)在(3,+)上单调递增,从而p(x)p(3)=e2+29-60,则h(x)在(3,+)上单调递增,所以h(x)h(3)=e2+130,则h(x)在(3,+)上单调递增,于是h(x)h(3)=e2+5-2 l n 30,故当x3时,f(x)(x-2)3-3(x-2);综上,f(x)(x-2)3-3(x-2).1 2分2 2.解:()圆C的极坐标方程为=4 c o s(-3),则2=2c o s+2 3s i n,由极坐标与直角坐标的转化公式得圆C的直角坐标方程是:x2+y2=2x+23y,即x2+y2-2x-2 3y=0.5分()将直线l的参数方程x=1+tc o sy=1+ts i n(t为参数),代入x2+y2-2x-2 3y=0得:t2-2(3-1)s i nt-2 3=0,设点A,B所对应的参数分别为t1和t2,则t1+t2=2(3-1)s i n,t1t2=-2 3,则|P A-P B|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(3-1)2s i n2+8 3,当s i n=1时,|P A-P B|的最大值为4.1 0分2 3.证明:()将a+b+c=2平方得:a2+b2+c2+2a b+2a b+2a c=4,1分由基本不等式知:a2+b22a b,b2+c22b c,a2+c22a c,)页6共(页5第 案答学数科理三高三式相加得:a2+b2+c2a b+b c+a c,3分则4=a2+b2+c2+2a b+2b c+2a c3a b+3b c+3a c,a b+b c+a c43,当且仅当a=b=c=23时等号成立5分()由2-ab=b+cb2b cb,同理2-bc=a+cc2a cc,2-ca=b+aa2b aa,7分则2-ab2-bc2-ca2b cb2a cc2b aa=8,即2-ab2-bc2-ca8,当且仅当a=b=c=23时等号成立.1 0分)页6共(页6第 案答学数科理三高