三角函数最值或值域的求法13887.pdf
三角函数最值或值域的求法 三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用1cos1sin,xx这一有界性求最值。例 1：求函数xxysin21sin的值域。解：由xxysin21sin变形为(1)sin21yxy，知1y ，则有21sin1yxy，由21|sin|11yxy22221|1(21)(1)1yyyy203y，则此函数的值域是2,03y 类型二：xbxaycossin 型。此类型通常可以可化为22sincos()yax bxab x求其最值（或值域）。例 2：求函数)3sin()6sin(xxy（Rx）的最值。解法 1：)12sin(24)6sin(2)6cos()6sin(xxxxy，函数的最大值为2，最小值为2。分析 2：运用公式 sin()=sincos cossin 解法 2：xxycos213sin213 函数的最大值为2，最小值为2。分析 3：观察发现角)3(x与角)6(x的差恰好为2，故将)6(x看成基本量，将函数化归为同一角)6(x的函数式。解法 3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2xy)12sin(2x 函数的最大值为2，最小值为2。类型三：)0(sinsin2acxbxay型。此类型可化为)0(2acbtaty在区间 1,1上的最值问题。例 3：求函数1sin3cos2xxy（Rx）的最值 分析：转化为一个角的同一种函数 sinx，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。解：49)23(sin1sin3sin122xxxy 函数的最大值为49，最小值为4325 例 4：求函数1sin3cos2xaxy（Ra，Rx）的最大值。解：1sin3cos2xaxy转化为2sin3 sin2yxax 配方得：243)23(sin22aaxy 当123a，即332a时，在 sinx=1，即)(22zkkx时，13maxay 当123a时，即332a时，在 sinx=1，即)(22zkkx时，13maxay 当1231a，即332332a时，在ax23sin，即 akx23arcsin2或)(23arcsin2zkakx时，2432maxay 综上：2max2 331()332 32 32()4332 331()3aayaaaa 类型四：)0(cossinsin2acxxbxay型。此类型可利用倍角公式、半角公式进行降次、整理，再利用辅助角公式求出最值。例 5：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时 x 的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。解：由降幂公式和倍角公式，得 xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx 33)62cos(4x 2474 x，436232x，21)62cos(22x()f x的最小值为2233，此时247x，()f x无最大值。类 型 五：dxcbxaxfcossin)(型。此 类 型 最 值 问 题 可 考 虑 如 下 几 种 解 法：转 化 为cxbxa cossin再利用辅助角公式求其最值；利用万能公式求解；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例 6：求函数sincos2xyx的值域。解法 1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx,sinx)与定点 Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过 Q 的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33,33。解法 2：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，22sin()1yxy由2|2|sin()|11yxy22(2)1yy，解得：3333y，故值域是33,33 解法 3：利用万能公式求解：由万能公式212sinttx，221cos1txt，代入sincos2xyx得到2213tyt 则有2320ytty知：当0t，则0y，满足条件；当0t，由24 120y，3333y，故所求函数的值域是33,33。解法 4：利用重要不等式求解：由万能公式212sinttx，221cos1txt，代入sincos2xyx得到2213tyt 当0t 时，则0y，满足条件；当0t 时，22113(3)ytttt，如果 t 0，则22231132 33(3)ytttt ，此时即有303y；如果 t 0，则223131()(3)2()(3)ytttt，此时有303y。综上：此函数的值域是33,33。xQPyO 类型六：含有xxxxcossincossin与的最值问题。解此类型最值问题通常令xxtcossin，xxtcossin212，22t，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例 7：求函数sincossincosyxxxx的最大值并指出当 x 为何值时，取得最大值。解法 1：)4sin(22sin21cossincossinxxxxxxy，当 sin2x=1，且1)4sin(2x，即)(224222zkkxkx，解得)(42zkkx，max122y 解法 2：设 t=sinx+cosx，则)4sin(2xt 2,2t)1(21cossin2txx 1)1(21)1(2122ttty 当 1,2t时，函数 y 是减函数 221,1y 当2,1t时，函数 y 是增函数 221,1y 221,1221,1y即221,1y 当2t时，221y，即2cossinxx，解得，)(42zkkx时，221maxy。类型七：形如xxy2cossin或)0,0(sinsinbaxxbxaynm型函数最值问题。构造条件并利用均值不等式求解。例 8：求下列函数的量值并说明当 x 为何值时，取得最值。（1）22tan4cotyxx；（2）xxysincos2，)2,0(x；分析：观察发现可以用重要不等式求其最值。解（1）2tan0 x，2cot0 x，22tan4cot2 tan2cot4yxxxx当且仅当tan2cotxx，即2tgx时，等号成立，2arctgkx，)(zk，即当)(2zkarctgkx时，y 有最小值，最小值为 4，没有最大值。（2）)2,0(x 0sin2x，0cos2x xxy242cossin，2422221sincos(sinsin2cos)2yxxxxx 274)32(21)3cos2sinsin(2133222xxx 当且仅当xx22cos2sin时等号成立，0cos2x时，显然xx22cos2sin，)2,0(x xx22cos2sin可得22xtg，即2tgx，解2()xkarctgkz，当2()xkarctgkz时，7242y，)2,0(x，932,0(y 当2arctgx，y 有最大值932，y 无最小值。类型九：条件最值问题。例 9：已知sin2sin2sin322，求22sinsiny的取值范围。分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于 sin，sin的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解：sin2sin2sin322，sinsin23sin22 1sin02 32sin01sinsin230sinsin2322解得 21)1(sin21sinsin21sinsin2222y 32sin0。sin=0 时，0miny；32sin时，94maxy 94sinsin022。例 10：求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当 x 分别为何值时取到最大值和最小值。解：定义域为 0 x1，可设xx2cos且20 22sincos11 x，20)4sin(2cossinsincos22y 20，4344，1)4sin(22即21 y 当44或434，即=0 或2（此时 x=1 或 x=0），y=1；当2，即4时，（此时21x），2y，当 x=0 或 x=1 时，y 有最小值 1；当21x时，y 有最大值2。评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。
