含有绝对值的不等式(1)5452.pdf
高中数学教案 第 6 章 含有绝对值的不等式（第 14 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 1 页（共 5 页）课 题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1理解含有绝对值的不等式的性质；2 培养学生观察、推理的思维能力，使学生树立创新意识；3 运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；4认识不等式证法的多样性、灵活性 教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用 教学难点：对性质的理解、常见证明技巧 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题 我们知道，当 a0 时，|x|aaxa,|x|axa 或 xa 根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质 二、讲解新课：定理：|bababa 证明：|)|(|babababbbaaa|baba 又a=a+b-b|-b|=|b|由|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|即|a|-|b|a+b|综合:|bababa 注意：1 左边可以“加强”同样成立，即|bababa 2 这个不等式俗称“三角不等式”三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 高中数学教案 第 6 章 含有绝对值的不等式（第 14 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 2 页（共 5 页）3 a,b 同号时右边取“=”，a,b 异号时左边取“=”推论 1：|21naaa|21naaa 推论 2：|bababa 证明：在定理中以-b 代 b 得：|)(|bababa 即|bababa 三、讲解范例：例 1 已知|x|3，|y|6,|z|9,求证|x+2y3z|证明：|x+2y3z|x|2y|3z|=|x|2|y|3|z|x|3，|y|6,|z|9,|x|2|y|3|z|93623|x2y3z|说明：此例题主要应用了推论 1，其中出现的字母，其目的是为学生以后学习微积分作点准备 例 2 设 a,b,c,d 都是不等于 0 的实数，求证|addccbba4 证明：,0|,0|,0|,0|adaccbba,|2|2|2|cacbbacbbacbba ,|2|2|2|acaddcaddcaddc 又 2|2|2|4accaaccaacca 由，式，得 4)|2(|2|2|accaaccaaddccbba 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式高中数学教案 第 6 章 含有绝对值的不等式（第 14 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 3 页（共 5 页）及不等式的性质，在证法上采用的是综合法 例 3 已知|a|1,|b|1,求证|1|abba1 证明：|1|abba122)1()(abba1.0)1)(1(012122222222222babababaabbaba 由|a|1,|b|1,可知（1a2）(1b2)0 成立，所以|1|abba1 说明：此题运用了|x|ax2a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性 例 4 设|a|1,|b|1 求证|a+b|+|a-b|2 证明：当 a+b 与 a-b 同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|2 当 a+b 与 a-b 异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|2|a+b|+|a-b|2 例 5 已知21)(xxf 当 ab 时 求证：|)()(|babfaf 证法一：1111|11|)()(|222222babababfaf|)(|)(|11|222222babababababababa|)|(|babababa 证法二：（构造法）如图21)(aafOA，21)(bbfOB|baAB，由三角形两边之差小于第三边得|)()(|babfaf O A B a b 1 高中数学教案 第 6 章 含有绝对值的不等式（第 14 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 4 页（共 5 页）四、课堂练习：已知：|x1|1,求证：（1）|2x3|7;(2)|x21|3 证明：（1）|2x3|=|2(x1)5|2|x1|525=7(2)|x21|=|(x1)(x1)|=|(x1)(x1)2|x1|(x1)2|x1|212=3 五、小结：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性 六、课后作业：1 证明下列不等式:(1)a,bR,求证|a+b|a|+|b|;(2)已知|h|,|k|0),求证:|hk|;(3)已知|h|c,c 0,0),求证:|xh|分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:|ab|=|a|b|;|an|=|a|n,|ba|=ba等 证明:(1)证法 1:-|a|a|a|,-|b|b|b|-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|即|a+b|a|+|b|证法 2:(平方作差)(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a|b|+b2-(a2+2ab+b2)=2|a|b|-ab)=2(|ab|-ab)0 显然成立故(|a|+|b|)2|a+b|2 又|a|+|b|0,|a+b|0，所以|a|+|b|a+b|,即|a+b|a|+|b|(2)0|h|,0|k|0)，0|hk|h|k|=(3)由 0c|x|可知:0cx11且 0|h|c,chx11c,即|xh|0 时,x+x12xx1=2 当x0,有-x+2121)(21xxxxx xR 且x0 时有x+x1-2,或x+x12 即|x+x1|2 方法点拨:不少同学这样解:因为|x+x1|x|+x1,又|x|+x12xx1=2,所以|x+x1|2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性 实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3 已知:|A-a|2,|B-b|2,求证:(1)|(A+B)-(a+b)|；(2)|(A-B)-(a-b)|分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会 证明:因为|A-a|2,|B-b|2 所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|A-a|+|B-b|2+2=即|(A+B)-(a+b)|(2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|A-a|+|B-b|2+2=即|(A-B)-(a-b)|方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握 七、板书设计（略）八、课后记：
