差分方法的稳定性14730.pdf
差分方法的稳定性 1.实验内容 对于一阶线性双曲线型方程：00,0,1,0,0uuxtTtxu xux 其中初值 01,00,0 xuxx 取空间长度 h=，对于不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及不同的网格比（时间长度与空间长度比h）进行迭代计算。通过将计算结果与精确解进行比较，来讨论和分析差分格式的稳定性。2.算法思想与步骤 迎风格式 这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：110,0nnnnjjjjuuuuaah 110,0nnnnjjjjuuuuaah 运算格式：1111(1),01,0nnnjjjnnnjjjuaua uauaua ua Lax-Friedrichs 格式 111111202nnnnnjjjjjuuuuuah 运算格式：111111122nnnjjjuauau Lax-Wendroff 格式 这种格式构造采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到 运算格式：111111122nnnnjjjjaauauaauau Bean-Warming 格式（二阶迎风格式）借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式。设在ntt时间层上网格点 A,B,C 和 D 上u的值已给定，要计算出在1ntt时间层上网格点 P 上的u的值。假定条件成立，过 P 点特征线与 BC 交于点 Q，故微分方程解的性质知 u Pu Q。对于 u Q：用 B,C 两点值进行线性插值，得到的是迎风格式;用 B,D 两点值进行线性插值，得到的是 Lax-Friedrichs 格式；用 B,C 和 D 三点值进行抛物型插值，得到的是 Lax-Wendroff 格式。如果我们采用 A,BC 三点来进行抛物型插值，可以得到 111112122nnnnjjjjaauauaauau 这就是 Beam-Warming 格式。蛙跳格式 1111022nnnnjjjjuuuuah 运算格式：1111nnnnjjjjuuauu 由于它是个三层格式，需要先用一个二层格式计算出t那一层的值1ju。为了保持精度的阶数相同，一般我们用Lax-Wendroff格式或 Beam-Warming格式。目标点范围跟踪格式（迎风格式的改进）111nnnjjajauauau 其中 a是a取整数部分，aaa。下面的分析将会得到这是一个无条件稳定结构。3.数据分析与作图 迎风格式 0.5 1 1.1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-500-400-300-200-10001002003004002 稳定性分析：记nijkhjnuv e，则11i jkhnijkhnijkhnijkhnvev eav ev e，得111nnikhvvae 即,1111 cossinikhGkaeakha ikh 。则在1a时，有,1Gk，格式稳定。Lax-Friedrichs 格式 0.5 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468x 101000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.911 1.1 2 稳定性分析：,cossinGkkhihakh 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-15-10-5051000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-3-2-101234x 106则在1a时稳定。Lax-Wendroff 格式 0.5 1 1.1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-5-4-3-2-1012345x 1052 稳定性分析：222,12sinsin2khGkaiakh 则在1a时稳定。Beam-Warming 格式 0.5 1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468x 101900.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1 2 2.1 3 稳定性分析：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-300-200-100010020030000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5x 1012242,12sin14sinsin222khakhGkaakh 则在2a时稳定。蛙跳格式 0.5 1 1.1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81x 1072 稳定性分析：命1111nnnnjjjjnnjjuvauuvu 令,TUu v 111000000110 0nnnnjjjjaaUUUU 则2sin1,10a ikhGk 则1a时稳定。目标点范围跟踪格式 0.5 稳定性分析：,11i akhikhGkeae，其中1i akhe，00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468x 101200.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91 111ikhae的成立条件为1a。然而 1a恒成立，故无条件稳定。
