湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考数学试卷(一)3554.pdf

2023 届高三 1/5 雅礼中学 2023 届高三月考试卷(一)数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,0A=，220Bx xx=，则以下结论正确的是()A.AB=B.0AB=C.ABA=D.AB2.已知等比数列 na满足11a=，()35441aaa=，则7a的值为()A.2B.92C.4D.63.已知复数()()1izaaa=+R，则1a=是1z=的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量()cos,sin=a，()2,1=b，若ab，则21cossin22+的值为()A.13B.35C.45D.235.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别是棱1AA，1CC的中点，过BE的平面与直线1AF平行，则平面截该正方体所得截面的面积为()A.5B.2 5C.4D.56.某工厂有A，B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是A，B两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为()A.34B.47C.12D.37 2023 届高三 2/5 7.已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点，且123FPF=，若1F关于12FPF平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为()A.22 B.33 C.12 D.13 8.ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，2cb=，若ABC的面积为1，则BC的最小值是()A.2 B.3 C.3 D.33 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9.某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2 3 4 5 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为1.2yxa=+，则下列说法正确的是()A.0.6a=B.变量y与x之间的线性相关系数0r C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D.该人工智能公司这5年的利润的方差小于2 10.已知抛物线24yx=的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是()A.若O为线段PQ中点，则2PF=B.若4PF=，则2 5OP=C.存在直线l，使得PFQF D.PFQ面积的最小值为2 2023 届高三 3/5 11.对于函数()sincos2f xxx=+，下列结论正确的是()A.()f x的值域为90,8 B.()f x在0,2单调递增 C.()f x的图象关于直线4x=对称 D.()f x的最小正周期为 12.已知正四棱台1111ABCDABC D(上下底面都是正方形的四棱台)，下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为2，则()A.它的表面积为53 7+B.它的外接球的表面积为8 23 C.侧棱与下底面所成的角为60 D.它的体积比棱长为2的正方体的体积大 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.设随机变量X服从正态分布()22,N.若()00.9P X=，则()24PX=_.14.已知()2022202201202212xaa xax=+，则12320222320222222aaaa+=_.15.对圆()()22111xy+=上任意一点(),P x y，若点P到直线1:3490lxy=和2:34lxy+0a=的距离之和与x，y无关，则a的取值区间为_.16.若eeexy=，,x yR，则2xy的最小值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P.(1)求sin3+的值；(2)若角满足()5sin13+=，求cos的值.2023 届高三 4/5 18.(12 分)设正项数列 na的前n和为nS，已知22nnnSaa=+.(1)求 na的通项公式；(2)记22cos3nnnaba=，nT是数列 nb的前n项和，求3nT.19.(12 分)如图，在四棱锥PABCD中、底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M为线段PC的中点，PDAD=，N为线段BC上的动点.(1)证明：平面MND 平面PBC；(2)当点N在线段BC的什么位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30？指出点N的位置，并说明理由.20.(12 分)进入高三后，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分、红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：只能一个人摸球；摸出的球不放回；摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.(1)若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；(2)如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望()E；(3)第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，请提出你的看法，并说明理由.2023 届高三 5/5 21.(12 分)设01x.(1)证明：2sin116xxx；(2)若3sin6xaxx，求a的取值范围.22.(12 分)已知双曲线22:1C xy=和点(0,1)B.（1）斜率为k且过原点的直线与双曲线 C 交于 E，F 两点，求EBF 最小时k的值.（2）过点 B 的动直线与双曲线 C 交于 P，Q 两点，若曲线 C 上存在定点 A，使APAQkk+为定值，求点 A 的坐标及实数的值.2023 届高三 1/7 数学参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B B D B C 二、多项选择题 9 10 11 12 AC AD AD ACD 三、填空题 13.0.4 14.1 15.)6,+16.1 2ln2+三、解答题 17.【解析】(1)角的终边经过点34,55P，2234155OP=+=，4sin5=，3cos5=，13143343 3sinsincos322252510+=+=+=.(2)()5sin13+=，()()22512cos1 sin11313+=+=.()=+，()()coscoscossinsin=+，当()12cos13+=时，56cos65=；2023 届高三 2/7 当()12cos13+=时，16cos65=.综上所述，56cos65=或1665.18.【解析】(1)当1n=时，21112Saa=+，所以211aa=，又10a，故11a=；当2n时，21112nnnSaa=+，而22nnnSaa=+，两式相减得22112nnnnnaaaaa=+，整理得()()1110nnnnaaaa+=，因为10nnaa+，所以11nnaa=，故 na是以1为公差的等差数列，从而()111naann=+=.(2)22cos3nnbn=，设()()()222323134232cos 231cos 23cos233kkkkcbbbkkkkkk=+=+()()222115323199222kkkk=+=，其中*kN，所以23125599942222nnnnnnTccc+=+=.19.【解析】(1)证明：因为PD 底面ABCD，BC 面ABCD，所以PDBC，又CDBC，PDCDD=、PD、CD 平面PCD，所以BC 平面PCD，又DM 平面PCD，所以BCDM，因为PDADCD=，且M为PC的中点，所以DMPC，又PCBCC=，PC，BC 平面PBC，所以DM 平面PBC，因为DM 平面MND，2023 届高三 3/7 所以平面MND 平面PBC.(2)设1PDAD=，以D为原点，分别以DA，DC，DP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1,0,0A，()1,1,0B，()0,0,1P，1 10,2 2M，所以()1,0,1AP=，()0,1,0AB=，1 10,2 2DM=.设(),1,0N，则(),1,0DN=，设平面PAB的一个法向量为()111,x y z=m，则0,0,APAB=mm即1110,0.xzy+=令11x=，则10y=，11z=，所以()1,0,1=m，同理可得，平面MND的一个法向量为()1,=n，因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30，所以213cos,cos30|2212+=+m nm nmn，化简得24410+=，解得12=，故N为线段BC的中点.20.【解析】(1)记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A，因为球的总分为1 32 3 3416+=，事件A指的是甲的得分大于等于8，则甲再从袋子中摸出2个球，摸出了1个白球1个红球，或1个黄球1个红球，或2个黄球，故()111123131327C CC CC93C217P A+=.(2)如果乙先摸出了红色球，则他可以再从袋子中摸出3个球，若他摸出了3个白球，则3 1 36=+=分，若他摸出了2个白球1个黄球，则3 1 227=+=分，2023 届高三 4/7 若他摸出了2个白球1个绿球，则3 1 249=+=分，若他摸出了1个白球2个黄球，则3 12 28=+=分，若他摸出了1个白球1个黄球1个绿球，则3 12410=+=分，若他摸出了2个黄球1个绿球，则32 2411=+=分，若他摸出了3个黄球，则32 39=+=分，故的所有可能的取值为6，7，8，9，10，11，所以()303337C C16C35P=，()213337C C97C35P=，()123337C C98C35P=，()21331337C CC49C35P+=，()11133137C C C910C35P=，()213137C C311C35P=，故的分布列为：6 7 8 9 10 11 P 135 935 935 435 935 335 所以的数学期望()19949360678910113535353535357E=+=.(3)由(1)可知，若第一次摸出绿球，则摸球人获胜的概率为137P=，由(2)可知，若第一次摸出红球，则摸球人获胜的概率为294935357P+=，若第一次摸出黄球，则摸球人获胜的概率为22116223337CCC C22C35P+=，若第一次摸出白球，则摸球人获胜的概率为()2263437C1C17C35P+=，则摸球人获胜的概率为1315322317157187878358352802P=+=，故比赛不公平.21.【解析】(1)由题意可设()()sin01f xxxx=，有()cos10fxx=，则()0f x，得sin1xx，2023 届高三 5/7 设()()3sin016xg xxxx=+，()2cos12xgxx=+，()sin0gxxx=，则有()0gx，()g x递增，得()0g x，得2sin16xxx，故2sin116xxx得证；(2)由(1)可知1a 时，33sin66xxaxxx成立，则当1a 时，设()3sin6xh xxax=+，则()2cos2xh xxa=+，()sin0hxxx=，()h x单调递增，则()max 1cos12hxa=+，若1cos12a+，()0h x，()h x单调递减，则有()0h x，不合题意；若11cos12a+，()010ha=，()11cos102ha=+，故()h x有唯一零点，可记为0 x，则00 xx，()0h x，此时()h x单调递减，有()0h x，则不合题意.综上，a的取值范围是(,1.22.【解析】(1)由对称性可设(),E x y，(),Fxy，则()()22,1,11BE BFx yxyxy=+，因为E点在双曲线C上，所以221xy=，所以221yx=，所以()22 10BE BFx=，2023 届高三 6/7 当1x=时，0BE BF=，EBF为直角，当1x 时，0BE BF，EBF为针角，所以EBF最小时，1x=，0k=.(2)设(),A m n，讨点B的动直线为1ytx=+，设()11,P x y，()22,Q xy 联立221,1,xyytx=+得()221220txtx=，所以()22212212210,48 10,2,12,1ttttxxtx xt =+=由210t，且0，解得22t 且21t，APAQkk+=，即1212ynynxmxm+=，即121211txntxnxmxm+=，化简得()()()2121221220tx xmtnmxxmmnm+=，()()222222122011ttmtnmmmnmtt+=，化简得()()2222212220mmn tmntmmnm+=，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以2220,10,2220,mmnmnmmnm=+=将代入得m=，从而322,1.mmnmn=+如果0m=时，那么1n=，此时()0,1A不在双曲线C上，舍去，2023 届高三 7/7 因此0m，从而22mn=，代入21mn=+，解得1n=，2m=，此时()2,1A 在双曲线上，综上，()2,1A，2=，或者()2,1A，2=.