8.2两条直线的位置关系-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义4543.pdf

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 8.2 两条直线的位置关系 1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 两条直线平行：()对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2.()当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2.(2)两条直线的交点 直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20的解 2几种距离(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 P1P2 x2x12y2y12.(2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2(3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离 d|C1C2|A2B2.概念方法微思考 1若两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线 l1与 l2的斜率都存在时，12llk k1；当两条直线中一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，l1与 l2也垂直 2应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中 x，y 的系数分别对应相等 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.()(3)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()题组二 教材改编 2已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()A.2 B2 2 C.21 D.21 答案 C 解析 由题意得|a23|111.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 解得 a1 2或 a1 2.a0，a1 2.3已知 P(2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_.答案 1 解析 由题意知m42m1，所以 m42m，所以 m1.4若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_ 答案 9 解析 由 y2x，xy3，得 x1，y2.所以点(1,2)满足方程 mx2y50，即 m12250，所以 m9.题组三 易错自纠 5直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m 等于()A2 B3 C2 或3 D2 或3 答案 C 解析 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有2mm1342，故 m2 或3.故选 C.6直线 2x2y10，xy20 之间的距离是_ 答案 3 24 解析 先将 2x2y10 化为 xy120，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 则两平行线间的距离为 d21223 24.7两点 A(a2，b2)，B(ba，b)关于直线 4x3y11 对称，则 a_，b_.答案 4 2 解析 由题意可知，A，B 所在直线与直线 4x3y11 垂直，且线段 AB 的中点在直线 4x3y11 上，则有 b2ba2ba34，4a2ba23b2b211，解得 a4，b2.两条直线的平行与垂直 例 1(2019包头模拟)已知两条直线 l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则 a 等于()A1 B2 C0 或2 D1 或 2 答案 D 解析 方法一 直线 l1：(a1)x2y10 的斜率存在 又l1l2，a121a，a1 或 a2，又两条直线在 y 轴上的截距不相等 a1 或 a2 时满足两条直线平行 方法二 由 A1B2A2B10 得，(a1)a120，解得 a1 或 a2.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 由 A1C2A2C10，得(a1)3110.所以 a1 或 a2.本例中，若 l1l2，则 a_.答案 13 解析 方法一 a121a1，解得 a13.方法二 由 A1A2B1B20 得(a1)12a0.解得 a13.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练 1(1)已知直线 l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若 l1l2，则实数 a 的值为()A32 B0 C32或 0 D2 答案 C 解析 若 a0，则由 l1l2a11a2a，故 2a21，即 a32；若 a0，l1l2，故选 C.(2)已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210 垂直，则 a_.答案 23 解析 由 A1A2B1B20 得 a2(a1)0，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 解得 a23.两直线的交点与距离问题 1已知直线 ykx2k1 与直线 y12x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_ 答案 16，12 解析 由方程组 ykx2k1，y12x2，解得 x24k2k1，y6k12k1.(若 2k10，即 k12，则两直线平行)交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.2若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则 PQ 的最小值为()A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C 解析 因为3648125，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8y240，由题意可知 PQ 的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|62822910，所以 PQ 的最小值为2910.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等 对称问题 命题点 1 点关于点中心对称 例 2 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_ 答案 x4y40 解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.命题点 2 点关于直线对称 例 3 已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_ 答案 6xy60 解析 设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以 b4a311，3a2b4230，解得 a1，b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 命题点 3 直线关于直线的对称问题 例 4 直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是_ 答案 x2y30 解析 设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 xy20 的对称点为 P(x0，y0)，由 xx02yy0220，xx0yy0，得 x0y2，y0 x2，点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即 x2y30.思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称 点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P(x，y)满足 x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称 点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点为 A(m，n)，则有 nbmaAB1，Aam2Bbn2C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 跟踪训练 2(1)坐标原点(0,0)关于直线 x2y20 对称的点的坐标是()A.45，85 B.45，85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 C.45，85 D.45，85 答案 A 解析 设对称点的坐标为(x0，y0)，则 x022y0220，y02x0，解得 x045，y085，即所求点的坐标是45，85.(2)(2020宝鸡模拟)光线沿着直线 y3xb 射到直线 xy0 上，经反射后沿着直线 yax2 射出，则有()Aa13，b6 Ba3，b16 Ca3，b16 Da13，b6 答案 D 解析 由题意，直线 y3xb 与直线 yax2 关于直线 yx 对称，所以直线 yax2 上的点(0,2)关于直线 yx 的对称点(2,0)在直线 y3xb 上，所以(3)(2)b0，所以 b6，所以直线 y3x6 上的点(0，6)关于直线 yx 的对称点(6,0)在直线 yax2 上，所以 6a20，所以 a13.(3)直线 l：xy20 关于直线 3xy30 对称的直线方程是_ 答案 7xy220 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 0 解析 由 xy20，3xy30，得 x52，y92，两直线的交点为 M52，92，该点也在所求直线上，在 l 上任取一点 P(0，2)，设它关于直线 3xy30 的对称点为 Q(x0，y0)，则有 y02x0031，3x02y02230，解得 x03，y01，Q(3，1)且在所求直线上 kMQ1923527，所求直线方程为 y17(x3)，即 7xy220.在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系 一、平行直线系 例 1 求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程 解题方法 因为所求直线与 3x4y10 平行，因此，可设该直线方程为 3x4yc0(c1)解 由题意，可设所求直线方程为 3x4yc0(c1)，又因为直线 l 过点(1,2)，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 所以 3142c0，解得 c11.因此，所求直线方程为 3x4y110.二、垂直直线系 例 2 求经过点 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程 解题方法 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解 解 因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yc0，又直线过点 A(2,1)，所以有 221c0，解得 c0，即所求直线方程为 x2y0.三、过直线交点的直线系 例3 经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于3x4y70的直线方程为_ 解题方法 可分别求出直线 l1与 l2的交点及所求直线的斜率 k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；还可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解 答案 4x3y90 解析 方法一 由方程组 2x3y10，x3y40，解得 x53，y79，即两直线的交点坐标为53，79，所求直线与直线 3x4y70 垂直，所求直线的斜率为 k43.由点斜式得所求直线方程为 y7943x53，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 即 4x3y90.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为 4x3ym0，由方程组 2x3y10，x3y40，可解得两直线交点坐标为53，79，代入 4x3ym0，得 m9，故所求直线方程为 4x3y90.方法三 由题意可设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又所求直线与直线 3x4y70 垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直线方程为 4x3y90.1直线 2xym0 和 x2yn0 的位置关系是()A平行 B垂直 C相交但不垂直 D不能确定 答案 C 解析 直线 2xym0 的斜率 k12，直线 x2yn0 的斜率 k212，则 k1k2，且 k1k21.故选 C.2设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()A充分不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 3 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若两直线平行，则 a(a1)2，即 a2a20，a1 或2，故 a1 是两直线平行的充分不必要条件 3已知直线 l 过点(0,7)，且与直线 y4x2 平行，则直线 l 的方程为()Ay4x7 By4x7 Cy4x7 Dy4x7 答案 D 解析 过点(0,7)且与直线 y4x2 平行的直线方程为 y74x，即直线 l 的方程为 y4x7，故选D.4若 mR，则“log6m1”是“直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10 平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由 log6m1 得 m16，若 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10 平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得 m0 或 m16，则“log6m1”是“直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10 平行”的充分不必要条件故选 A.5若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为()A12 B2 C0 D10 答案 A 解析 由 2m200，得 m10.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 4 由垂足(1，p)在直线 mx4y20 上，得 p2，垂足坐标为(1，2)又垂足在直线 2x5yn0 上，得 n12.6若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2之间的距离为()A.4 23 B4 2 C.8 23 D2 2 答案 C 解析 l1l2，a2 且 a0，1a2a362a，解得 a1，l1与 l2的方程分别为 l1：xy60，l2：xy230，l1与 l2的距离 d62328 23.7(多选)定义点 P(x0，y0)到直线 l：axbyc0(a2b20)的有向距离为 dax0by0ca2b2.已知点 P1，P2到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2.以下命题不正确的是()A若 d1d21，则直线 P1P2与直线 l 平行 B若 d11，d21，则直线 P1P2与直线 l 垂直 C若 d1d20，则直线 P1P2与直线 l 垂直 D若 d1d20，则直线 P1P2与直线 l 相交 答案 BCD 解析 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于 A，若 d1d21，则 ax1by1cax2by2c a2b2，直线 P1P2与直线 l 平行，正确；对于 B，点 P1，P2在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等，P1P2不一定与 l 垂直，错误；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 5 对于 C，若 d1d20，即 ax1by1cax2by2c0，则点 P1，P2都在直线 l 上，所以此时直线 P1P2与直线 l 重合，错误；对于 D，若 d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以点 P1，P2分别位于直线 l 的两侧或在直线 l 上，所以直线 P1P2与直线 l 相交或重合，错误 8(2020太原质检)点 M(1,0)关于直线 x2y10 的对称点 M的坐标是_ 答案 15，85 解析 过点 M(1,0)与直线 x2y10 垂直的直线方程为 2xy2，可解得两垂直直线的交点坐标为N35，45，则点 M(1,0)关于点 N35，45的对称点坐标为 M15，85.9直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程是_ 答案 3x4y50 解析 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则点 P 关于 x 轴的对称点 P(x，y)在已知直线 3x4y50 上，所以 3x4(y)50，即 3x4y50.10已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值为_ 答案 13或79 解析 由点到直线的距离公式 得|3a41|a21|6a31|a21，解得 a13或79.11设一直线 l 经过点(1,1)，此直线被两平行直线 l1：x2y10 和 l2：x2y30 所截得线段的中点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 6 在直线 xy10 上，求直线 l 的方程 解 方法一 设直线 xy10 与 l1，l2的交点为 C(xC，yC)，D(xD，yD)，则 x2y10，xy10 xC1，yC0，C(1,0)x2y30，xy10 xD53，yD23，D53，23.则 C，D 的中点 M 为43，13.又 l 过点(1,1)，由两点式得 l 的方程为 y13113x43143，即 2x7y50 为所求方程 方法二 与 l1，l2平行且与它们的距离相等的直线方程为 x2y1320，即 x2y20.由 x2y20，xy10，得 M43，13.(以下同方法一)方法三 过中点且与两直线平行的直线方程为 x2y20，设所求方程为(xy1)(x2y2)0，(1,1)在此直线上，111(122)0，3，代入所设得 2x7y50.方法四 设所求直线与两平行线 l1，l2的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x12y110，x22y230(x1x2)2(y1y2)40.又 A，B 的中点在直线 xy10 上，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 7 x1x22y1y2210.解得 x1x2243，y1y2213.(以下同方法一)12已知方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2,2)(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2.(1)解 显然 2 与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线 方程可变形为 2xy6(xy4)0，2xy60，xy40，解得 x2，y2，故直线经过的定点为 M(2，2)(2)证明 过 P 作直线的垂线段 PQ，由垂线段小于斜线段知 PQPM，当且仅当 Q 与 M 重合时，PQPM，此时对应的直线方程是 y2x2，即 xy40.但直线系方程唯独不能表示直线 xy40，M 与 Q 不可能重合，而 PM4 2，PQA1BA1P0P0BP0AP0B，PAPBP0AP0BA1B.当 P 点运动到 P0时，PAPB 取得最小值 A1B.设点 A 关于直线 l 的对称点为 A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知，y11x1411，x142y11210，解得 x10，y13，A1(0,3)(PAPB)minA1B 8212 65.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 0