四川省内江市第六中学2021-2022学年高三上学期第四次月考数学(理科)试题4098.pdf

1 内江六中 2021-2022 学年度上期 高 2022 届第四次月考理科数学 一、单选题（每小题5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若=0,1,2,32,ABy yx xA=，则AB=（）A.0,2,4,6 B.0,2 C.0,1,2,3,4,6 D.0,1 2 3 0 2 4 6,2.已知 i为虚数单位，则复数23ii+的虚部是（）A.35 B.35i C.15 D.15i 3.二项式432xx的展开式中的常数项为()A.8 B.-8 C.32 D.-32 4.设函数,则()A.3 B.6 C.9 D.12 5.已知单位向量a满足2 ab=，1a b=，则a与b的夹角为（）A.6 B.3 C.2 D.23 6.若tan34+=，则sin2=（）A.2 B.1 C.35 D.45 7.中国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A.3 斤 B.6 斤 C.9 斤 D.12 斤 8.在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，若sinsin()sinaAbBcbC=+，则角A的值为（）A.6 B.4 C.3 D.23 211log(2),1,()2,1,xx xf xx+=2(2)(log 12)ff+=2 9.高三某班某天安排 6 节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻（上午最后一节与下午第一节视为相邻），则编排方案共有（）A42 种 B96 种 C120 种 D.144 种 10.已知定义在 R 上的偶函数()f x满足()()11fxfx+=，当 0,1x时，()1f xx=+，函数()1xg xe=（13x），则函数()f x与函数()g x的图象的所有交点的横坐标之和为（）A.2 B.4 C.5 D.6 11.已知函数6(3)37()7xa xxf xax=，若数列na满足*()()naf n nN=且na是递增数列，则实数a的取值范围是()A.9(,3)4 B.9,3)4 C.)3,2(D.2,3)12.已知不等式1eln23xxxxm+对()0,x+恒成立，则m取值范围为（）A.12m B.12m C.2m D.2m 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.若函数()f x满足()3298fxx+=+，则()f x的解析式是_ 14.若 x，y 满足约束条件，则的最大值为_ 15.若函数21()ln2f xxcxx=+存在垂直于y轴的切线，又()()33log00 xxg xxabx=+，且有(1)1g g=，则abc+的最小值为 _ 16.函数()()sin0,0,2f xAxA=+，已知该函数相邻两条对称轴之间的距离为3，最大值与最小值之差为 4，且对于任意的xR都有()4f xf.当0,3x时，()f xk=恰有两个不等的实根，则k的取值范围为_.三、解答题（1721 题为必考题，每题 12 分，2223 题为选考题，10 分，共 70 分）（一）必考题：共 60 分 17.已知函数()()(),xfxxa eb a b=+R（1）讨论函数()fx的单调性；（2）对给定的a，函数()fx有零点，求b的取值范围；1020,220,xyxyxy+，zxy=+3 18.ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足2 sincosbAB()2sincbB=（1）求角 A 的大小；（2）求coscosBC+的取值范围 19.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为在 55 名男性驾驶员中，平均车速超100km/h的有 40 人，不超过100km/h的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有 20 人，不超过100km/h的有25 人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过 100km/h人数 平均车速不超过 100km/h人数 合计 男性驾驶 员人数 女性驾驶 员人数 合计 （2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列和数学期望.参考数据与公式：20()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n adbcKabcdacbd=+，其中nabcd=+.20.在等比数列an中，公比0q，其前 n 项和为 Sn，且 S2=6，_（1）求数列an的通项公式；（2）设log2nnab=，且数列cn满足 c1=1，cn+1cn=bn+1bn，求数列cn的通项公式 从S4=30，S6S4=96，a3是 S3与 2 的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答 4 21.已知函数()ln1fxxax=+，其中aR（1）记()()2g xf xx=+，求()g x的单调区间；（2）是否存在kZ，使得()221f xaxkx+对任意1x 恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（二）选考题：请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为33xtyt=(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos=（1）求曲线1C的普通方程以及曲线2C的直角坐标方程；（2）求曲线2C上的点到曲线1C距离的最大值 23.已知函数()212f xxx=+（1）解不等式()7fx；（2）已知实数0 x满足：对xR 都有()()0f xf x，若a，b，c+R且()00abcf x+=，求149abc+最小值 5 内江六中 2021-2022学年度第四次月考 理科数学参考答案及评分标准 1-5 CADCB 6-10 DCCCB 11-12 CA 13.()32f xx=+14.15.3 16.22k 17.（1）函数()fx的定义域为R，()()()1xxxxa eeefaxx+=+2 分 令()0fx 得1xa，所以函数()fx在()1,xa+上单调递增4 分 令()0fx 得1xa，所以函数()fx在(),1xa 上单调递减 6 分 故函数()fx在减区间为(),1a，增区间为()1,a+7 分（2）对给定的a，当x +时，()f x +由（1）可知函数()fx在1xa=时取得最小值 故函数()fx要有零点，则需有()()min10f xf a=,即10aeb+，故1abe10 分 所以对给定的a，函数()fx有零点，b的取值范围为(1,ae 12 分 18.（1）由正弦定理得()2sinsincos2sinsinsinBABCBB=2 分 因为0B，所以sin0B，所以2sin cos2sinsinABCB=即2sincos2sincos2sincossinABABBAB=+，解得1cos2A=5 分 因为0A，所以3A=6 分（2）由三角形内角和定理及=3A可得2+=3B C，所以2=3CB且20,3B 2coscoscoscos3BCBB+=+22coscoscossinsin33BBB=+13cossin22BB=+sin6B=+9 分 因为20,3B，所以5,666B+，所以1sin162B+，即coscosBC+的取值范围为112，12 分 19.（1）完成列联表如下：平均车速超过 100km/h人数 平均车速不超过 100km/h人数 合计 男性驾驶 员人数 40 15 55 女性驾驶 员人数 20 25 45 326 合计 60 40 100 因为2K的观测值()()()()()()22210040 25 15 20=8.2497.87960 40 55 45n adbcKabcdacbd=+，所以有 99.5的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为4021005=.X 可取的值是 0，1，2，3，且2(3,)5XB，有：()003323270C()()55125P X=，()112323541C()()55125P X=，()221323362C()()55125P X=，()33032383C()()55125P X=，则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125()2754368601231251251251255E X=+=.20.（1）若选条件时，由 S2=6 及 S4=30，得 a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30 两式相减得 a3+a4=24，即 q2(a1+a2)=24，所以 q2=4，由0q，解得2q2 分 代入 a1+a2=6，得 a1+2a1=6，解得 a1=2 4 分 所以数列an的通项公式为2nna=6 分 若选条件时，S6S4=96因为 S6S4=a5+a6=96，a1+a2=6，所以451196a qa q+=，a1+a1q=6，两式相除，得 q4=16，结合 q0，得 q=2 3 分 所以 a1+2a1=6，解得 a1=2，所以数列an的通项公式为2nna=6 分 若选条件时，a3是 S3与 2 的等差中项由 a3是 S3与 2 的等差中项，得 2a3=S3+2，则 2a3=a1+a2+a3+2，由 a1+a2=6 得 a3=8，由通项公式，得 a1+a1q=6，218a q=3 分 消去 a1，得 3q24q4=0，结合 q0，解得 q=25 分 代入 a1+a1q=6，得 a1=2，所以数列an的通项公式为2nna=6 分（2）由（1），得22111log2loglog 2nnannban=，11111(1)1nnnnccb bn nnn+=+8 分 所以当2n 时 cn=c1+(c2c1)+(c3c2)+(c4c3)+(cncn1)111111111121223341nnn=+=11 分 7 又 c1=1 也适合上式，故数列cn的通项公式是12ncn=12 分 21.（1）()2ln1=+xaxgxx(0 x)，则()21212+=+=xaxaxxfxx1 分 设()221=+h xxax，28a=.0,即2 22 2a时()0h x，()g x在()0,+单调递增,无递减区间3 分.0,即2 2a 或2 2a 时 当2 2a 时，242 a，()01h=()0h x 在()0,+恒成立，()g x在()0,+单调递增；当2 2a 时，242a，()01h=，2184aax=，2284aax+=，()g x在()10,x和()2,x+单调递增，()12,x x单调递减，5 分 综上 2 2a 时，()g x在()0,+单调递增,无递减区间；2 2a 时，()g x在280,4aa和24,8aa+单调递增，在2284,84aaaa+单调递减.6 分（2）由已知得()221f xaxkx+，即为()()()ln121xxk xx，即ln20+xxxkxk(1x)7 分 令()ln2=+xxxkxg xk(1x)，则()lngxxk=，当0k 时，()0gx，所以()g x在()1,+上单调递增，()110=gk，即1k，矛盾，故舍去；8 分 当0k 时，由ln0 xk得kxe，由ln0 xk得1kxe，所以()g x在()1,ke上单调递减，(),ke+单调递增，所以()min2=kg xke(0k)，即当()min20=kkxeg(0k)恒成立，求k的最大值.9 分 令()2tG tet=，则()2=tG te，当20te，即ln 2t 时，()G t单调递增，当20te，即ln2t 时，()G t单调递减 所以()()maxln22ln22G xG=10 分 因为1ln22，又()012=Ge，()2240=eG，所以不存在整数k使20kke成立 8 综上所述，不存在满足条件的整数k.12 分 22.（1）由题知，消去参数 t，得到曲线1C的普通方程33 30 xy+=3 分 由22cos2cos=由222xy=+，cosx=，将极坐标方程化为直角方程2220 xxy+=所以曲线2C的直角坐标方程为22(1)1xy+=6 分（2）圆心(1,0)到直线33 30 xy+=的距离为303 333 1d+=+8 分 则曲线2C上的点到曲线1C距离的最大值为131d+=+10 分 23.（1）()2127f xxx=+当1x时，由()2(1)(2)7f xxx=+得11x，则111x 1 分 当12x 时，由()2(1)(2)7f xxx=+得73x，则12x；2 分 当2x 时，由()3f xx=，则23x；3 分 综上不等式()7f x的解集为113xx 4 分（2）已知对xR 都有()0()f xf x，则()0min()()f xf xxR=，4,1()2123,124,2xxf xxxxxxx =+=+，则()f x在(,1)上是减函数，在(1,)+上是增函数，所以min()(1)3f xf=6 分()00abcf x+=，即3(,0)abca b c+=则()()()22222214911233abcabcabc+=+21123123abcabc+=8 分(当且仅当23bca=，即12a=，1b=，32c=时等号成立)9 分 所以min14912abc+=10 分