高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)2051.pdf

-1-18 直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1已知点 A 为双曲线122 yx的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是（A）33 （B）233 （C）33 （D）36 2平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435xy的距离中的最小值是（A）17034 （B）8534 （C）201 （D）301 3若实数 x,y 满足(x+5)2+(y 12)2=142，则 x2+y2的最小值为 (A)2 (B)1 (C)3 (D)2 4直线134yx椭圆191622yx相交于 A，B 两点，该圆上点 P，使得PAB 面积等于 3，这样的点 P 共有(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 5设 a，bR，ab0，那么直线 axyb0 和曲线 bx2ay2ab 的图形是 A B C D 6过抛物线 y28(x2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于 A 316 B 38 C3316 D38 7方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 8在椭圆)0(12222babyax中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B。若该椭圆的离心率是215，则ABF=。9设 F1，F2是椭圆14922yx的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|2:1，则三角形PF1F2的面积等于_ y y y y x x x x -2-10在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4），点 P 在 X 轴上移动，当MPN取最大值时，点 P 的横坐标为_。11若正方形 ABCD 的一条边在直线172 xy上，另外两个顶点在抛物线2xy 上.则该正方形面积的最小值为 .12已知0C：122 yx和1C：)0(12222babyax。试问：当且仅当 a,b 满足什么条件时，对1C任意一点 P，均存在以 P 为顶点、与0C外切、与1C内接的平行四边形？并证明你的结论。13 设曲线 C1:1222 yax(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。（1）实数 m 的取值范围（用 a 表示）；（2）O 为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0a21时，试求OAP 的面积的最大值（用a 表示）。14已知点)2,0(A和抛物线42 xy上两点CB,使得BCAB，求点C的纵坐标的取值范围 15一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A，且 OAa.拆叠纸片，使圆周上某一点A/刚好与 A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当 A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合 -3-16（04，14）在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3ABC，点 P 到直线 BC的距离是该点到直线 AB，AC 距离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过ABC的内心（设为 D），且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围。17过抛物线2xy 上的一点 A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足1ECAE;点 F 在线段 BC 上，满足2FCBF，且121，线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程.-4-课后练习答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90 9.332 10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a、2b、2c，则由其方程知 a3，b2，c5，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三边之长分别为 2，4，25，而 2242(25)2，可见PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为 2 和 4，故PFlF2的面积4 11.解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3x 上，设圆心为 S（a，3a），则圆 S 的方程为：222()(3)2(1)xayaa 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a 值必须满足222(1)(3),aa解得 a=1 或 a=7。即对应的切点分别为(1,0)(7,0)PP 和，而过点 M，N，p的圆的半径大于过点 M，N，P 的圆的半径，所以MPNMP N，故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐标为 1。12.解：设正方形的边 AB 在直线172 xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11yxC、),(22yxD，则 CD 所在直线l的方程,2bxy将直线l的方程与抛物线方程联立，得.1122,12bxbxx 令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(2212212212bxxyyxxa 在172 xy上任取一点（6，,5），它到直线bxy 2的距离为5|17|,baa.、联立解得,80.63,3221abb或.80.12802min2aa 13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为22222sincos1ba-（1）显知此平行四边形 ABCD 必为菱形，设 A),(1，则 B)90,(2 代入（1）式相加：2222211111ba 由于该菱形必与单位圆相切，故原点到 AB 的距离为 1，梦想不会辜负每一个努力的人.-5-2221111，从而1112221，11122ba 14.解：(1)由)(212222mxyyax 消去 y 得：0222222amaxax 设222222)(amaxaxxf，问题(1)化为方程在 x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况：10 得：212am，此时 xpa2，当且仅当aa2a，即 0a1 时适合；2f(a)f(a)0，当且仅当ama；3f(a)0 得 ma，此时 xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即 0a1 时适合 f(a)0 得 ma，此时 xpa2a2，由于a2a2a，从而 ma 综上可知，当 0a1 时，212am或ama；当 a1 时，ama (2)OAP 的面积payS21 0a21，故ama 时，0maaa2122a，由唯一性得 maaaxp2122 显然当 ma 时，xp取值最小由于 xp0，从而 yp221axp取值最大，此时22aayp，2aaaS 当212am时，xpa2，yp21a，此时2121aaS 下面比较2aaa与2121aa的大小：令22121aaaaa，得31a 故当 0a31时，2aaa2121aa，此时2121aaSmax 当2131 a时，22121aaaaa，此时2aaaSmax 15.解：设B点坐标为),4(121yy，C点坐标为),4(2yy 显然0421y，故21421211yyykAB -6-由于BCAB，所以)2(1ykBC 从而4)4()2(22111xyyxyyy，消去x，注意到1yy 得：01)(2(11yyy0)12()2(2121yyyy 由0解得：0y或4y 当0y时，点B的坐标为)1,3(；当4y时，点B的坐标为)3,5(，均满足是题意 故点C的纵坐标的取值范围是0y或4y 16.解：如图，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则有 A(a，0)设折叠时，O 上点 A/(sin,cosRR)与点 A 重合，而折痕为直线 MN，则 MN 为线段 AA/的中垂线 设P(x，y)为 MN 上任一点，则PA/PA 5 分 2222)()sin()cos(yaxRyRx 即axaRyxR2)sincos(222 10 分 22222222sincosyxRaxaRyxyx 可得：)cos,(sin22)sin(22222222yxyyxxyxRaxaR 222222yxRaxaR1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15 分 平方后可化为 22222)2()2()2()2(aRyRax1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(aRyRax1 外(含边界)的部分 20 分 17.解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为44(1),(1),033yxyxy。点(,)P x y到 AB、AC、BC 的距离依次为12311|434|,|434|,|55dxydxydy。依设，2222123,|16(34)|25d ddxyy得，即22222216(34)250,16(34)250 xyyxyy或，化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S：22222320171280 xyyyy2与双曲线T:8x （）由前知，点 P 的轨迹包含两部分 -7-圆 S：2222320 xyy 与双曲线 T：2171280yy28x 因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且点P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。ABC的内心 D 也是适合题设条件的点，由123ddd，解得1(0,)2D，且知它在圆 S 上。直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为 12ykx （i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线12y 平行于 x 轴，表明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。.10 分（ii）当0k 时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率12k ，直线 L 的方程为(21)xy。代入方程得(34)0yy，解得5 4(,)3 3E54或F(-,)33。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当12k 时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即12k ），因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组22817128012xyyykx有且只有一组实数解，消去 y 并化简得2225(8 17)504kxkx 该方程有唯一实数解的充要条件是28 170k 或2225(5)4(8 17)04kk 解方程得2 3417k ，解方程得22k 。综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集12 3420,2172。18.解 一：过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为：,2|21xxy切 线 AB 的 方 程 为梦想不会辜负每一个努力的人.-8-DBxy、.12的坐标为DDB),0,21(),1,0(是线段 AB 的中点.设),(yxP、),(200 xxC、),(11yxE、),(22yxF，则由1ECAE知，;11,11120111011xyxx,2FCBE得.11,1220222022xyxx EF所在直线方程为：,11111111111101202101120122021201xxxxxxxy 化简得.13)()1()(202020122012xxxxyx 当210 x时，直线 CD 的方程为：12202020 xxxxy 联立、解得020133xxxy，消去0 x，得 P 点轨迹方程为：.)13(312xy 当210 x时，EF 方程为：CDxy,4123)34141(23212方程为：21x，联立解得.121,21yx也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合，.32,10 xx 所求轨迹方程为).32()13(312xxy 解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,12DBxy故 D 是 AB 的中点.令,1,1,2211CFCBtCECAtCPCD则.321tt因为 CD 为ABC的中线，.22CBDCADCABSSS 而,23,232)11(212212121212121ttttttttSSSSSSCBCACFCEttCBDCFPCADCEPCABCEF-9-P是ABC的重心.设),(),(200 xxCyxP因点 C 异于 A，则,10 x故重心 P 的坐标为,3311),32(,31310202000 xxyxxxx消去,0 x得.)13(312xy 故所求轨迹方程为).32()13(312xxy