天津市和平区高二上学期期末数学试卷(含答案)17460.pdf

天津市和平区高二上学期期末数学试卷（理科）高二数学试题 试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 100分，考试时间90 分钟。注意事项：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上。要用铅笔涂写选择的答案。考试结束后，请把答题卡交回。2 答第卷前，考生务必将答题纸密封线内的项目填写清楚。要用钢笔或圆珠笔直接在答题纸上作答。考试结束后，请把答题纸交回。一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）“m n0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（）A充而分不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2（3 分）已知 F1（3，0），F2（3，0），动点 P 满足|PF1|PF2|=4，则点 P的轨迹是（）A双曲线 B双曲线的一支 C一条射线 D不存在 3（3 分）在空间直角坐标中，点 P（1，2，3）到平面 xOz 的距离是（）A1 B2 C3 D 4（3 分）已知空间两点 A（3，3，1），B（1，1，5），则线段 AB 的长度为（）A6 B C D 5（3 分）抛物线 y2=x 的准线方程是（）Ay=By=Cx=Dx=6（3 分）焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A B C D 7（3 分）直线 l1、l2的方向向量分别为，则（）Al1l2 Bl1l2 Cl1与 l2相交不平行 Dl1与 l2重合 8（3 分）已知在空间四边形 ABCD 中，则=（）A B C D 9（3 分）已知 F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，若PF2Q=90，则双曲线的离心率为（）A2 B C D 10（3 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2 B3 C6 D8 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11（5 分）顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线标准方程是 12（5 分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 13（5 分）已知椭圆的三个顶点 B1（0，b），B2（0，b），A（a，0），焦点 F（c，0），且 B1FAB2，则椭圆的离心率为 14（5 分）（理）已知 A（1，0，0），B（0，1，1），+与的夹角为 120，则=三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（10 分）求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在 y 轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），16（10 分）已知 A、B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为（1，0），线段 AB 恰被 M（2，1）所平分 （）求抛物线 E 的方程；（）求直线 AB 的方程 17（10 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，BC=4，AB=PA=2，M 为线段 PC 的中点，N 在线段 BC 上，且 BN=1（）证明：BMAN；（）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 18（10 分）已知椭圆+=1（ab0）过点 A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数 k，使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点，以 PQ 为直径的圆过点 D（1，0）？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 19（10 分）如图是一个直三棱柱（以 A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC已知A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1（1）设点 O 是 AB 的中点，证明：OC平面 A1B1C1；（2）求二面角 BACA1的正弦值 天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）“m n0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（）A充而分不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：当“m n0”时”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”成立，即“m n0”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”为真命题，当“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”时“m n0”也成立，即“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”“m n0”也为真命题，故“m n0”是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件，故选：C 2（3 分）已知 F1（3，0），F2（3，0），动点 P 满足|PF1|PF2|=4，则点 P的轨迹是（）A双曲线 B双曲线的一支 C一条射线 D不存在【解答】解：F1（3，0），F2（3，0），动点 P 满足|PF1|PF2|=4，因为|F1F2|=64，则点 P 的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支 故选：B 3（3 分）在空间直角坐标中，点 P（1，2，3）到平面 xOz 的距离是（）A1 B2 C3 D【解答】解：点 P（1，2，3），点 P（1，2，3）到平面 xOz 的距离是 2，故选 B 4（3 分）已知空间两点 A（3，3，1），B（1，1，5），则线段 AB 的长度为（）A6 B C D【解答】解：空间两点 A（3，3，1），B（1，1，5），则线段 AB 的长度为|AB|=6 故选：A 5（3 分）抛物线 y2=x 的准线方程是（）Ay=By=Cx=Dx=【解答】解：抛物线 y2=x 的开口向左，且 2p=，=抛物线 y2=x 的准线方程是 x=故选 D 6（3 分）焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A B C D【解答】解：焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为，可得 a+b=10，2c=4，c=2，即 a2b2=20，解得 a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：故选：C 7（3 分）直线 l1、l2的方向向量分别为，则（）Al1l2 Bl1l2 Cl1与 l2相交不平行 Dl1与 l2重合【解答】解：直线 l1、l2的方向向量分别为，183212=0，l1l2 故选 A 8（3 分）已知在空间四边形 ABCD 中，则=（）A B C D【解答】解：在空间四边形 ABCD 中，=（）=（）=故选：B 9（3 分）已知 F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，若PF2Q=90，则双曲线的离心率为（）A2 B C D【解答】解：PQ 是经过 F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，PF2Q=90，|PF1|=|F1F2|=2c，e22e1=0，e1，e=1+故选：D 10（3 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2 B3 C6 D8【解答】解：由题意，F（1，0），设点 P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=2，因为2x02，所以当 x0=2 时，取得最大值，故选 C 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11（5 分）顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线标准方程是 x2=24y 【解答】解：顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6，可得抛物线方程 p=12，所求抛物线方程为：x2=24y 故答案为：x2=24y 12（5 分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在 x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得 a2=4，b2=9 所求双曲线方程为：故答案为：13（5 分）已知椭圆的三个顶点 B1（0，b），B2（0，b），A（a，0），焦点 F（c，0），且 B1FAB2，则椭圆的离心率为 【解答】解：椭圆的三个顶点 B1（0，b），B2（0，b），A（a，0），焦点 F（c，0），且 B1FAB2，可得：=0，即 b2=ac，即 a2c2ac=0，可得 e2+e1=0，e（0，1），解得 e=故答案为：14（5 分）（理）已知 A（1，0，0），B（0，1，1），+与的夹角为 120，则=【解答】解：+=（1，0，0）+（0，1，1）=（1，）+与的夹角为 120，cos120=，化为，0，=故答案为：三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（10 分）求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在 y 轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），【解答】（1）解：由得，解得，a=9，a2=b2+c2，b2=a2c2=8136=45，焦点在 y 轴上，椭圆的标准方程为；（2）解：由 e=，设 a=2k，c=（k0），则 b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在 x 轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则 a=2，此时 2k=2，k=1，得 b=1，则椭圆的标准方程为 若点（2，0）为短轴的顶点，则 b=2，此时 k=2，得 a=4，则椭圆的标准方程为 16（10 分）已知 A、B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为（1，0），线段 AB 恰被 M（2，1）所平分 （）求抛物线 E 的方程；（）求直线 AB 的方程【解答】解：（）令抛物线 E 的方程：y2=2px（p0）抛物线 E 的焦点为（1，0），p=2 抛物线 E 的方程：y2=4x （）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2y1）/（y1+y2）=4（x2x1）线段 AB 恰被 M（2，1）所平分 y1+y2=2=2 AB 的方程为 y1=2（x2），即 2xy3=0 17（10 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，BC=4，AB=PA=2，M 为线段 PC 的中点，N 在线段 BC 上，且 BN=1（）证明：BMAN；（）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 【解答】（本题满分 12 分）解：如图，以 A 为原点，分别以，的方向为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），（3 分）（）=（2，1，0），=（1，2，1），（4 分）=0（5 分），即 ANBM（6 分）（）设平面 PCD 的法向量为=（x，y，z），（7 分）=（2，4，2），=（0，4，2），由，可得，（9 分）解得：，取 y=1 得平面 MBD 的一个法向量为=（0，1，2），（10 分）设直线 MN 与平面 PCD 所成的角为 ，则由=（1，1，1），（11 分）可得：sin=|cos，|=|=（12 分）18（10 分）已知椭圆+=1（ab0）过点 A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数 k，使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点，以 PQ 为直径的圆过点 D（1，0）？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）椭圆+=1（ab0）过点 A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，解得 a=，b=1，椭圆方程是（2）将 y=kx+2 代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），以 PQ 为直径的圆过 D（1，0）则 PDQD，即（x11）（x21）+y1y2=0，又 y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k1）（x1+x2）+5=0，又，代上式，得 k=，此方程中，=144k236（3k2+1）0，k1，或 k1 存在 k=满足题意 19（10 分）如图是一个直三棱柱（以 A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC已知A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1（1）设点 O 是 AB 的中点，证明：OC平面 A1B1C1；（2）求二面角 BACA1的正弦值 【解答】（本题满分 10 分）（1）证明：如图，以 B1为原点，分别以的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（1 分）依题意，因为，（3 分）所以，所以，又 OC平面 A1B1C1，所以 OC平面 A1B1C1（4 分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，（5分）设为平面 ABC 的一个法向量，由得解得 不妨设 z1=1，则 x1=1，y1=2，所以（7 分）设为平面 ACA1的一个法向量，由得解得 不妨设 y2=1，则 x2=1，所以（9 分）因为，于是，所以，二面角 BACA1的正弦值为（10 分）