高考数学一轮备考学案：2.9《函数的应用》(含解析)17983.pdf

1 高中数学高考复习精品复习学案典型题 2.9 函数的应用 基础梳理 1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型 一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.(2)三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax 注意事项 1.特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 2.(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；2(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论 题型一 一次函数、二次函数函数模型的应用【例 1】在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元，成本为 C(x)元，且 R(x)3 000 x20 x2，C(x)500 x4 000(xN*)现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台 (1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差 解(1)由题意，得 x1,100，且 xN*.P(x)R(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20 x22 500 x 4 000)2 48040 x.(2)P(x)20 x1252274 125，当 x62 或 x63 时，P(x)取得最大值 74 120 元；因为 MP(x)2 48040 x 是减函数，所以当 x1 时，MP(x)取得最大值 2 440 元 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元.【变式1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)2t200(1t50，tN)前 30 天价格为g(t)12t30(1t30，tN)，后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；(2)求日销售额 S 的最大值 解(1)根据题意，得 S 2t20012t30，1t30，tN，452t200，31t50，tN t240t6 000，1t30，tN，90t9 000，31t50，tN.3(2)当 1t30，tN 时，S(t20)26 400，当 t20 时，S 的最大值为 6 400；当 31t50，tN 时，S90t9 000 为减函数，当 t31 时，S 的最大值为 6 210.6 2106 400，当 t20 时，日销售额 S 有最大值 6 400.题型二 指数函数模型的应用 【例 2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y 与 t 之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？解(1)设 y kt，0t1，12ta，t1.当 t1 时，由 y4 得 k4，由121a4 得a3.则 y 4t，0t1，12t3，t1.(2)由 y0.25 得 0t1，4t0.25，或 t1，12t30.25.解得116t5，因此服药一次后治疗有效的时间是 51167916小时 4【变式 2】某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)；(4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)解(1)1 年后该城市人口总数为 y1001001.2%100(11.2%)2 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)x.(2)10 年后，人口总数为 100(11.2%)10112.7(万人)(3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人，即 100(11.2%)x120，xlog1.012120100log1.0121.2016(年)(4)由 100(1x%)20120，得(1x%)201.2，两边取对数得 20lg(1x%)lg 1.20.079，所以 lg(1x%)0.079200.003 95，所以 1x%1.009，得 x0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.题型三 函数 yxax模型的应用【例 3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建 5 造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解(1)由已知条件 C(0)8 则 k40，因此 f(x)6x20C(x)6x8003x5(0 x10)(2)f(x)6x108003x510 2 6x108003x51070(万元)，当且仅当 6x108003x5即 x5 时等号成立 所以当隔热层为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元【变式 3】某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解 设温室的左侧边长为 x m，则后侧边长为800 xm.蔬菜种植面积 y(x4)800 x2 8082x1 600 x(4x400)x1 600 x2 x1 600 x80，y808280648(m)2.当且仅当 x1 600 x，即 x40，此时800 x20 m，y最大648(m2)当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为 20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为 648 m2.6 重难点突破【例 4】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)解析(1)由题意：当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb，再由已知，得 200ab0，20ab60，解得 a13，b2003.故函数 v(x)的表达式为 v(x)60，0 x20，13200 x，20 x200.(4 分)(2)依题意并由(1)可得 f(x)60 x，0 x20，13x200 x，20 x200.(6 分)当 0 x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201 200；(7 分)当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x200 x2210 0003，当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立 所以，当 x100 时，f(x)在区间(20,200上取得最大值10 0003.(10 分)综上，当 x100 时，f(x)在区间0,200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/小时(12 分)巩固提高 7 1从 1999 年 11 月 1 日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人 2011 年 6 月 1 日存入若干万元人民币，年利率为 2%，到 2012 年 6 月 1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元，则该存款人的本金介于()A34 万元 B45 万元 C56 万元 D23 万元 解析 设存入的本金为 x，则 x2%20%138.64，x1 386 4004034 660.答案 A 2 某产品的总成本 y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是 y300020 x0.1x2(0 x240，xN*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100 台 B120 台 C150 台 D180 台 解析 设利润为 f(x)(万元)，则 f(x)25x(3 00020 x0.1x2)0.1x25x3 0000，x150.答案 C 3有一批材料可以围成 200 米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()A1 000 米2 B2 000 米2 C2 500 米2 D3 000 米2 解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为 x 米、y 米，如图，则 4x3y200，又矩形场地的面积 S3xy3x2004x3x(2004x)4(x25)22 500，当 x25 时，Smax2 500.8 答案 C 4里氏震级 M 的计算公式为：Mlg Alg A0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_ 级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 _ 倍 解析 由 lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为6 级因为标准地震的振幅为 0.001，设 9 级地震最大振幅为A9，则 lg A9lg 0.0019 解得 A9106，同理 5 级地震最大振幅 A5102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍 答案 6 10 000 5为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 加密密文 发送密文 解密明文 已知加密为 yax2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_ 解析 依题意 yax2 中，当 x3 时，y6，故 6a32，解得 a2.所以加密为 y2x2，因此，当 y14 时，由 142x2，解得 x4.答案 4