2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学(文)试题(解析版)5009.pdf

第 1 页 共 20 页 2020 届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合 0,1A，0,1,2B，则ABI的子集个数为（）A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】先由题意求出AB,然后再求子集个数.【详解】由题意可得:0,1AB I,有两个元素,则其子集个数有224个.故选:A.【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2已知 i 为虚数单位，复数7iz1 i，则|z|（）A72 B4 C5 D25【答案】C【解析】先化简复数为abi的形式，再求复数的模.【详解】依题意7i 1 i86i43i1 i 1 i2z，故22345z.故选 C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi的形式，再根据题意求解.3已知平面向量abrr，的夹角为3，且a1 b2rr，则2abbrrr（）A64 B36 C8 D6【答案】D【解析】根据向量运算的公式，直接计算出2?ab bv vv的值.【详解】第 2 页 共 20 页 依题意222abba bb rrrr rr22 1 2 cos263 ，故选 D.【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.4ABC 中，（ab）（sinA+sinB）（cb）sinC其中 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，则 A（）A6 B3 C23 D56【答案】B【解析】根据正弦定理化简已知条件，求得cos A的值，进而求得A的大小.【详解】由正弦定理得 ababcb c，即222cbabc，即2221cos22cbaAbc，由于A为三角形内角，故3A.所以选 B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值.5空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：AQI 050 51100 101150 151200 201300 300 以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市 2018 年 12 月全月的指AQI数变化统计图 根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差 第 3 页 共 20 页 B整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故 A，B 不正确；从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以 C 正确；从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故 D 不正确 故选 C【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.6设函数 22x 1g1020loxxf xx，则 233ff log（）A112 B132 C152 D10【答案】B【解析】根据分段函数的解析式，分别求出 233ff log、，即可得出结果.【详解】根据题意，函数 22x 1g1020loxxf xx，2342flog，22log 3 129322f log，则291333222ff log；故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.7已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 x1，x2R，则“x1+x20”是“f（x1）+f（x2）0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 4 页 共 20 页 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时 满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以 A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，且，则()A3 B C0 D【答案】D【解析】根据条件求出A，和 的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可【详解】由条件知函数的周期满足T2（）224，即4，第 5 页 共 20 页 则，由五点对应法得+0，即0，得，则f（x）Asin（x），则f（0）Asin（）A，得A3，即f（x）3sin（x），在（）内的对称轴为x，若（），且，则关于x对称，则2，则f（）3sin（）3sin3sin，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键 9若直线 xmy+m0 与圆（x1）2+y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则 m 的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（1，0）D（2，0）【答案】D【解析】圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y，令其小于 0，可得答案.【详解】圆与直线联立22110 xyxmym，整理得22212120mym mymm Q图像有两个交点 方程有两个不同的实数根，即 第 6 页 共 20 页 22224142180mmmmmm 得0m.Q圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201mmy ym，解得20m，故选 D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.10 在四面体ABCD中，已知2ABACCD，2 2BC，且CD 平面ABC，则该四面体外接球的表面积是（）A16 B12 C4 3 D6【答案】B【解析】由题意还原四面体 ABCD 所在的正方体,则体对角线 BD 即为四面体 ABCD 外接球的直径,由题中等量关系求半径,进而求出外接球的表面积.【详解】如图所示:由四面体ABCD是面ABC(A为直角)为等腰直角三角形，侧棱CD垂直于面ABC的几何体，即四面体的外接球就是棱长为 AB=2的正方体(如图所示)的外接球，其半径为R=BD2=3.所以该四面体外接球的表面积是 24312.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识,考查空间想象、运算求解及推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.第 7 页 共 20 页 11 设P是抛物线2:4C yx上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ（O为坐标原点）垂直，则P到l的距离的最小值的取值范围是（）A01（，）B01（，C 01，D0 2（，【答案】A【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为 10tt，得到直线l的方程，再设与直线l平行的直线方程为0 xtym，与抛物线方程联立，由判别式为 0，得到2mt，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24yx上的准线方程是1x 设点Q的坐标为 10tt，则直线l的方程为210 xtyt 设与直线l平行的直线方程为0 xtym 代入抛物线方程可得2440ytym，由216160tmn，可得2mt 故与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为20 x tyt 则P到l的距离的最小值21011dt，故选 A【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12若函数 yexex（x0）的图象始终在射线 yax（x0）的上方，则 a 的取值范围是（）A（，e B（，2 C（0，2 D（0，e【答案】B【解析】求得函数的导函数，由此判断出函数在0 x 时为递增函数，利用切线的斜率求得a的取值范围.【详解】依题意设 xxf xee，这 0 xxfxee，故函数在0 x 时为递增函数，且 xxfxee在0 x 时为正数，故 xxfxee单调递增，故第 8 页 共 20 页 02fxf，而a是直线0yax x的斜率，直线过原点，要使函数0 xxyeex的图象始终在射线0yax x的上方则需2a.故选 B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分析问题的能力，属于中档题.二、填空题 13若3tan4，则 cos2_【答案】725【解析】利用二倍角公式和齐次方程，求得cos2的值.【详解】依题意222222cossin1tancos2cossin1tan91169116725.【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的应用，属于基础题.14根据下列算法语句，当输入,x yR时，输出s的最大值为_.输入x，y IF0AND23AND0yxyxy THEN sxy ELSE 0s END IF 输出s 【答案】2【解析】根据题中程序分析出,x y满足的不等式组0023yxyxy,然后分析比较满足时输第 9 页 共 20 页 出目标函数的最大值和不满足时输出目标函数的最大值,进而得出答案.【详解】由算法语句知,当x,y满足不等式组0023yxyxy时，则可得x,y满足的可行域如图阴影部分所示：则可得目标函数sxy经过 M 点是取得最大值，由0230 xyxy 联立解得坐标 M(1，1)，则可得目标函数sxy的最大值为1 12 sxy；当x,y不满足不等式组0023yxyxy时，由题意可得可得0s,则经过比较目标函数的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本算法中的条件语句，线性规划中目标函数的最值问题;考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于一般难度的题.15()f x是R上的偶函数，且当0 x 时，3()2f xxx，则不等式(2)3f x的解集为_【答案】(1,3)【解析】根据条件可知 13f，且0,上单调递增，根据偶函数的性质 f xfx，转化为22f xfx，这样比较2x与 1 的大小关系.【详解】当0 x 时，32f xxx是单调递增函数，且 13f，2321fxfxf 第 10 页 共 20 页 即21121xx 解得：13x 故解集是1,3.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，属于简单题型，意在考查转化与化归的能力，解抽象不等式时，如果函数是偶函数，12f xf x时，转化为 12fxfx，再根据0,的单调性，比较1x和2x的大小.16设m，n为平面外两条直线，其在平面内的射影分别是两条直线1m和1n.给出下列3个命题：1/mnm与1n平行或重合，11mnmn，11mnmn，其中所有假命题的序号是_.【答案】【解析】由线与线、线与面的位置关系以及利用反例法一一推理判断即可得出答案.【详解】对于:由题设直线m,n与平面不垂直,且可设直线m,n确定的平面为.若，则1m与1n重合（为,的交线）;若与不垂直，则易知m与1m，n与1n确定的平面互相平行,从而11/mn,故真命题;以下举反例说明命题不真.在如图所示的正方体1111ABCDABC D中，对于:取平面为ABCD,1m，1n分别为AC,BD,m,n分别为1AC,1BD,满足11mn，但是不满足mn,故命题为假;对于:取平面为11ADD A,1m,1n分别为11AD,1AD,m,n分别为11AC,1BD,满足第 11 页 共 20 页 mn,但是不满足11mn,故命题为假.故答案为:.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象、逻辑推理等能力,考查化归与转化思想.属于一般难度的题.三、解答题 17若数列an的前 n 项和为 Sn，且 212nn 2n 1a1a2 S1 S1S1，（1）求Sn；（2）记数列n1a的前n 项和为Tn，证明：1Tn2【答案】（1）21nnS；（2）见解析【解析】（1）利用迭代法证得1nS 是等比数列，由此求得1nS 的表达式，进而求得nS的表达式.（2）根据（1）求得的nS的表达式.利用11,1,2nnnS naSSn求得na的表达式，再求得nT的表达式，由此证得不等式成立.【详解】1由题意有21211111111nnnnSSSSSS，所以数列1nS 是等比数列.又11212112,114SaSaa ，所以21121SS，数列1nS 是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222nnnS，所以21.nnS 2由 1知，2n时，1121,21nnnnSS.两式相减得12nna，1n 时，11a 也满足12nna，所以数列 na的通项公式为12nna.当1n 时，11,T 当2n时，显然1nT 且21111111121?22.1222212nnnnT 第 12 页 共 20 页 所以12.nT【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题.18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计 附：下面的临界值表仅供参考.20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 13 页 共 20 页（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，其中nabcd .）【答案】（1）0.040a，82.5；（2）是，详见解析【解析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为 1 可以求得a;由中位数两侧频率均为 0.5 可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求2K,再进行比较判断.【详解】解：（1）由0.005 100.010100.025 10100.020101a，解得0.040a.令得分中位数为x，由0.020 100.040(90)0.5x，解得82.5x.故综合评分的中位数为82.5.（2）列联表如下表所示：优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 可得22100(20 1030 40)16.6676.63560 40 50 50K.所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.19 如图 1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且14AMAD.将AED，DCF分别沿DE，DF折叠，使A，C点重合于点P，如图 2 所示.第 14 页 共 20 页 图 1 图 2（1）求证：/PB平面MEF；（2）求三棱锥PEFM的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）23P EFMV【解析】(1)结合翻折前后的变量与不变量的关系,利用线面平行的判定定理直接证明即可;(2)利用平面图形翻折前后的变量与不变量证明PM 面 PEF,由题中等量关系分别求出 PM 和PEFSn,然后由 PEF1PM3P EFMMPEFVVSV进行求解答案.【详解】解：（1）在图 1 中,连结BD交EF于N,交AC于O,则1124BNBOBD.图 1 在图 2 中,连结BD交EF于N,连结MN.在DPB中,有14BNBD,14PMPD,第 15 页 共 20 页 图 2 所以/MNPB.又因为PB 面MEF,MN 面MEF,故/PB平面MEF.（2）根据题意,图 2 中的PDE,PDF,即图 1 中的Rt ADE,Rt CDF,所以PDPE,PDPF.又PEPFPI,所以PD 面PEF,即PM 面PEF.在PEF中,2PEPF,2 2EF,2PEFS,所以1122 1333P EFMMPEFPEFVVSMP .【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定、三棱锥体积的求法等基础知识，考查空间想象、逻辑推理等能力，考查化归与转化等数学思想,属于一般难度的题.20已知椭圆2222xyC1 ab0ab：的右焦点为F2 0，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 A，B 为椭圆 C 上的两动点，M 为线段 AB 的中点，直线 AB，OM（O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为 k1，k2，试问 k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）22142xy；（2）12k k为定值，此定值为1.2【解析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得,a b的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得1212k k 为定值.【详解】第 16 页 共 20 页 1由题意得2222222cbaabc，解得22ab.所以椭圆C的方程为：221,42xy 2设,A B的坐标分别为 1122,x yxy，点M的坐标为00,x y，即02112120120210,2,2.yyykkxxxyyyxxx 由已知，222211221,1,4242xyxy 所以，121212120,42xxxxyyyy 即0120120.2xxxyyy 则02102112yyyxxx，于是1212k k .所以12k k为定值，此定值为1.2【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.21已知函数21()e()42xf xxa.（1）当1a 时，求()f x在0 x 处的切线方程；（2）若0 x，不等式()0f x 恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）4290 xy （2）ln44,10【解析】(1)对函数21()e(1)42xf xx求导,求(0)f,(0)f,然后利用点斜式方程可求得答案;(2)对函数21()e()42xf xxa求导,构造函数()e)xh xxxfa判断其在0 x 上单调递增,分类讨论1a时:判断函数()f x单调递增函数,然后再由第 17 页 共 20 页()(0)0f xf求得a的取值范围;1a时,00,x使得 00h x,判断在00,x上函数 f x单调递减,0,x上单调递增,求得函数最小值 min0()f xf x然后利用 02001e402xf xxa和 000e0 xh xxa进行适当地转化即可求出参数a的取值范围,最后总结讨论结果得出a的取值范围.【详解】解：（1）当1a 时,21()e(1)42xf xx,()e1xfxx,则9(0)2f,(0)2f,由点斜式方程可得:9202yx化简得:4290 xy,即切线方程为4290 xy.（2）由21()e()42xf xxa,得()exfxxa,令()exh xxa,则()e10 xh x.所以()h x在0,上单调递增,且(0)1ha.当1a时,()0fx,函数()f x单调递增,由于()0f x 恒成立,则有21(0)502fa,即1010a,所以110a 满足条件;当1a 时,则存在0(0,)x,使得 00h x,当00 xx时,()0h x,则()0fx,()f x单调递减;当0 xx时,()0h x,则()0fx,()f x单调递增.所以 02min001()e402xf xf xxa，又0 x满足 000e0 xh xxa,即00exxa,所以0021ee402xx,则002e2e80 xx,即00420eexx，得00ln4x.又00exax，令()exu xx，则()1 exu x，可知，当0ln4x时，()0u x，则()u x单调递减，所以()eln44xu xx，此时ln441a 满足条件.第 18 页 共 20 页 综上所述,a的取值范围是ln44,10.【点睛】本题考查了函数与导数、不等式等基本知识.考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力,属于难题.22 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的极坐标方程为4cos.（1）求M的普通方程；（2）将圆M平移，使其圆心为1,02N，设P是圆N上的动点，点A与N关于原点O对称，线段PA的垂直平分线与PN相交于点Q，求Q的轨迹的参数方程.【答案】（1）22(2)4xy （2）cos3sin2xy（为参数）.【解析】(1)由极坐标方程和普通方程的转化直接求解即可得出答案;(2)先判断点Q的轨迹为椭圆,然后利用椭圆定义直接求得椭圆方程即可.【详解】解：（1）由4cos两边同乘以，得24 cos，则224xyx,化简得C的普通方程为22(2)4xy.（2）如图所示:连接QA.由垂直平分线的性质可知,|2|QAQNPQQNPNAN.所以点Q的轨迹是以N,A为焦点（焦距为1）,长轴长为2的椭圆.即11,2ac,所以2232bac,即椭圆的短半轴长为32.第 19 页 共 20 页 故可得Q的轨迹的参数方程为cos3sin2xy（为参数）.【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程、椭圆的参数方程与椭圆的定义等基础知识，考查推理论证能力和创新意识，考查化归与转化、数形结合等数学思想,属于一般难度的题.23设 a0，b0，且 a+bab（1）若不等式|x|+|x2|a+b 恒成立，求实数 x 的取值范围（2）是否存在实数 a，b，使得 4a+b8？并说明理由【答案】（1）1,3；（2）见解析【解析】（1）先求a b的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x的取值范围.（2）求出4ab的最小值，然后进行判断【详解】1由abab，得111,ab 111 12?2?4ababababa b，当且仅当2ab时成立.不等式2xxab即为24xx.当0 x 时，不等式为224x，此时10 x；当02x时，不等式24成立，此时02x；当2x 时，不等式为224x，此时23x；综上，实数x的取值范围是1,3.2由于0,0ab.则114445baabababab 452?9baa b.当且仅当4,baababab，即3,32ab时，4ab取得最小值9.所以不存在实数,a b，使得48ab成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.第 20 页 共 20 页