高一数学人教A版必修四教案：1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)Word版含答案5224.pdf

1.5 函数 y=Asin(x+)的图象 一、教学分析 本节通过图象变换,揭示参数、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数 y=Asin(x+)的图象与正弦曲线的关系,以及 A、的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数 y=sinx来获取函数 y=Asin(x+)的图象呢?通过引导学生对函数 ysinx 到 yAsin(x+)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数、A 的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数 ysinx 到 yAsin(x+)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.二、教学目标：1、知识与技能 借助计算机画出函数 yAsin(x+)的图象，观察参数，A 对函数图象变化的影响；引导学生认识 yAsin(x+)的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数 yAsin(x+)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.2、过程与方法 通过引导学生对函数 ysinx 到 yAsin(x+)的图象变换规律的探索,让学生体会研究问题时由简单到复杂,从具体到一般的思路,一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.3、情感态度与价值观 经历对函数ysin x到 yAsin(x+)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数、对函数 y=Asin(x+)图象的影响的问题进行分解，找出函数 ysin x 到 yAsin(x+)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数 yAsin(x+)的简图.难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解 四、教学设想：函数 y=Asin(x+)的图象（一）（一）、导入新课 思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(x+)的函数(其中 A、是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电流强度 y 与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数 y=Asin(x+)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(x+)存在着怎样的关系?从图象上看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(x+)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索、A 对 y=Asin(x+)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题 观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数、A 对 y=Asin(x+)的图象的影响？分别在 y=sinx 和 y=sin(x+3)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,对图象有怎样的影响？对任取不同的值,作出 y=sin(x+)的图象,看看与 ysinx 的图象是否有类似的关系？你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到 y=sin(x+)的图象.你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数对 y=sin(x+)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为=3,从而使 y=sin(x+)在变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+3).类似地,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+3)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令=2,=3.此时,可以对 A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与 y=sin(2x+3)的图象之间的关系.可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察 y=sin(x+3)图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系,获得对y=sin(x+)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差3的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数、A 对 y=Asin(x+)的图象的影响,然后再整合.图 1 问题,由学生作出取不同值时,函数 y=sin(x+)的图象,并探究它与 y=sinx 的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于对 y=sin(x+)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取=3,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图 1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个 y 值,y=sin(x+3)的图象上的点的横坐标总是等于 y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去3.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中 A、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察 A、B 的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明 y=sin(x+3)的图象,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有的点向左平移3个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图象向左平移3使之与y=sin(x+3)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取=4,用同样的方法可以得到 y=sinx 的图象向右平移4后与 y=sin(x4)的图象重合.如果再变换的值,类似的情况将不断出现,这时对 y=sin(x+)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于对 y=sin(x+)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题,引导学生通过自己的研究认识对 y=sin(x+)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+)(其中0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当0 时)或向右(当1 时)或伸长(当 00,0)的图象,可以看作是把 y=sin(x+)上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A0,0)的图象变化的影响情况.一般地,函数 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数 ysinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|个单位长度,得到函数 y=sin(x+)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,得到函数 y=sin(x+)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(x+)的图象.引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果:把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(x+)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数、A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(x+)的整体考察.略略.图象左右平移,影响的是图象与 x 轴交点的位置关系.纵坐标不变,横坐标伸缩,影响了图象的形状.横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图象的形状.（四）、规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图象个单位长度平移或向右向左|)0()0(得 y=sin(x+)的图象)(1)1()10(纵坐标不变到原来或缩短横坐标伸长得 y=sin(x+)的图象)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长AAA得 y=Asin(x+)的图象.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图象)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长AAA得 y=Asinx 的图象)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长得 y=Asin(x)的图象 个单位平移或缩短向左|)1()0(得 y=Asin(x+)的图象.（五）、应用示例 例 1 画出函数 y=2sin(31x-6)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的6,31,A2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到 y=2sin(31x-6)的图象的过程:只需把 ysinx 的曲线上所有点向右平行移动6个单位长度,得到 y=sin(x-6)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3倍(纵坐标不变),得到 y=sin(31x-6)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)而得到函数 y=2sin(31x-6)的图象,如图 4 所示.图 4(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数 y=2sin(31x-6),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数 y=2sin(31x-6)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数 y=2sin(31x-6)简图的方法为 y=sinx个单位右移6y=sin(x-6)倍横坐标伸长到原来的纵坐标不变3y=sin(31x-6)倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2 y=2sin(31x-6).方法二:画出函数 y=2sin(31x-6)简图的又一方法为 y=sinx倍横坐标伸长到原来的纵坐标不变3y=sin31x 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2y=2sin31x个单位右移2y=2sin(31x-6)=2sin31(x-2).方法三:(利用“五点法”作图作一个周期内的图象)令 X=31x-6,则 x=3(X+6).列表:X 0 2 23 2 X 2 2 27 5 213 Y 0 2 0-2 0 描点画图,如图 5 所示.图 5 点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设 X=x+,再用方程思想由 X 取0,2,23,2来确定对应的 x 值.（六）、课堂小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出 y=Asin(x+3)的图象,并分别观察参数、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、作业