【最新】湖南省湘潭市中考数学模拟试卷(及答案解析)57600.pdf

湖南省湘潭市中考数学模拟试卷（含答案）（考试时间：120 分钟 分数：100 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）1给出四个数，其中为无理数的是（）A1 B0 C0.5 D 2下列图形中，不是中心对称图形的是（）A B C D 3某校八年级（3）班体训队员的身高（单位：cm）如下：169，165，166，164，169，167，166，169，166，165，获得这组数据方法是（）A直接观察 B查阅文献资料 C互联网查询 D测量 4一次函数y2x+1 的图象不经过第（）象限 A一 B二 C三 D四 5若关于x的方程kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1 Bk1 Ck1 且k0 Dk1 且k0 6如图，O的直径AB4，点C在O上，ABC30，则AC的长是（）A1 B C D2 7 已知ABC的两个内角A30，B70，则ABC是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 8RtABC中，C90，若BC2，AC3，下列各式中正确的是（）A B C D 9如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，点E是BC的中点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则 sinECF（）A B C D 10七年级（1）班与（2）班各选出 20 名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为 17.5，（2）班成绩的方差为 15，由此可知（）A（1）班比（2）班的成绩稳定 B（2）班比（1）班的成绩稳定 C两个班的成绩一样稳定 D无法确定哪班的成绩更稳定 11一个六边形的六个内角都是 120（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A13 B14 C15 D16 12如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转 60，得到正方形DEFG，此时点G在AC上，连接CE，则CE+CG（）A B C D 二、填空题（本大题共 8 小题；共 24 分）135 的相反数是 ；5 的绝对值是 ；5 的立方是 ；0.5 的倒数是 14写一个有两个相等的实数根的一元二次方程：15一种饮料重约 300 克，罐上注有“蛋白质含量0.5%”，其中蛋白质的含量为 克 16在ABC中，A60，B2C，则B 17 在半径为6cm的圆中，圆心角为120的扇形的面积是 cm2 18如图，第一个图形有 1 个正方形；第二个图形有 5 个正方形；第三个图形有 14 个正方形；则按此规律，第五个图形有 个正方形 19已知ABCD的顶点B（1，1），C（5，1），直线BD，CD的解析式分别是ykx，ymx14，则BC ，点A的坐标是 20如图，曲线l是由函数y 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转 45得到的，过点A（4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则OMN的面积为 三、解答题（本大题共 8 小题；共 60 分）21计算：+22解方程：1 23如图，某地方政府决定在相距 50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DAAB于A，CBAB于B，DA30km，CB20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？24水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高DE30 米，坝顶宽CD10 米，求大坝的截面的周长和面积 25一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？26东坡商贸公司购进某种水果的成本为 20 元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来 48 天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：时间t（天）1 3 6 10 20 40 日销售量y（kg）118 114 108 100 80 40 （1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第 30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前 24 天中，公司决定每销售 1kg水果就捐赠n元利润（n9）给“精准扶贫”对象现发现：在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围 27如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP3PC，Q是CD的中点，（1）求证：ADQQCP；（2）若AB10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长 28探究与发现：如图 1 所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC与A、B、C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图 2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若A50，则ABX+ACX ；如图 3，DC平分ADB，EC平分AEB，若DAE50，DBE130，求DCE的度数；如图 4，ABD，ACD的 10 等分线相交于点G1、G2、G9，若BDC140，BG1C77，求A的度数 答 案 一、选择题 1给出四个数，其中为无理数的是（）A1 B0 C0.5 D【分析】根据无理数的三种形式，开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数，结合选项即可作出判断【解答】解：结合所给的数可得，无理数有：故选：D【点评】此题考查了无理数的定义，关键要掌握无理数的三种形式，要求我们熟练记忆 2下列图形中，不是中心对称图形的是（）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3某校八年级（3）班体训队员的身高（单位：cm）如下：169，165，166，164，169，167，166，169，166，165，获得这组数据方法是（）A直接观察 B查阅文献资料 C互联网查询 D测量【分析】要得出某校八年级（3）班体训队员的身高，需要测量【解答】解：因为要对篮球队员的身高的数据进行收集和整理，获得这组数据方法应该是测量 故选：D【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，解答此题要明确，调查要进行数据的收集、整理 4一次函数 y2x+1 的图象不经过第（）象限 A一 B二 C三 D四【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案【解答】解：20，10，一次函数 y2x+1 的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限 故选：D【点评】此题考查一次函数的性质，一次函数 ykx+b 的图象有四种情况：当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大而增大；当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而增大；当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小；当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小 5若关于 x 的方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0【分析】根据的意义得到 k0 且44k（1）0，然后求出两不等式的公共部分即可【解答】解：x 的方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，k0 且44k（1）0，解得 k1，k 的取值范围为 k1 且 k0 故选：D【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义 6如图，O 的直径 AB4，点 C 在O 上，ABC30，则 AC 的长是（）A1 B C D2【分析】先根据圆周角定理证得ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC 的长【解答】解：AB 是O 的直径，ACB90；RtABC 中，ABC30，AB4；ACAB2 故选：D【点评】本题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质 7已知ABC 的两个内角A30，B70，则ABC 是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【分析】根据题意，可以求得C 的度数，然后将ABC 各个内角的度数即可判断ABC的形状【解答】解：ABC 的两个内角A30，B70，C180AB80，A30，B70，C80，ABC 是锐角三角形，故选：A【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用三角形内角和的知识解答 8RtABC 中，C90，若 BC2，AC3，下列各式中正确的是（）A B C D【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可【解答】解：C90，BC2，AC3，AB，AsinA，故此选项错误；BcosA，故此选项错误；CtanA，故此选项正确；DcotA，故此选项错误 故选：C【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键 9如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将ABE 沿AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则 sinECF（）A B C D【分析】过 E 作 EHCF 于 H，由折叠的性质得 BEEF，BEAFEA，由点 E 是BC 的中点，得到 CEBE，得到EFC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到FEHCEH，推出ABEEHC，求得 EH，结果可求 sinECF【解答】解：过 E 作 EHCF 于 H，由折叠的性质得：BEEF，BEAFEA，点 E 是 BC 的中点，CEBE，EFCE，FEHCEH，AEB+CEH90，在矩形 ABCD 中，B90，BAE+BEA90，BAECEH，BEHC，ABEEHC，AE10，EH，sinECFsinECH，（方法二，可以证明AEBECF，求出 AE10，sinECFsinAEB）故选：D 【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理 10七年级（1）班与（2）班各选出 20 名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为 17.5，（2）班成绩的方差为 15，由此可知（）A（1）班比（2）班的成绩稳定 B（2）班比（1）班的成绩稳定 C两个班的成绩一样稳定 D无法确定哪班的成绩更稳定【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定【解答】解：（1）班成绩的方差为 17.5，（2）班成绩的方差为 15，（1）班成绩的方差（2）班成绩的方差，（2）班比（1）班的成绩稳定 故选：B【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 11一个六边形的六个内角都是 120（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A13 B14 C15 D16【分析】六边形 ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是 120，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解【解答】解：如图所示，分别作直线 AB、CD、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I 因为六边形 ABCDEF 的六个角都是 120，所以六边形 ABCDEF 的每一个外角的度数都是 60 所以AFI、BGC、DHE、GHI 都是等边三角形 所以 AIAF3，BGBC1 所以 GIGHAI+AB+BG3+3+17，DEHEHIEFFI7232，CDHGCGHD7124 所以六边形的周长为 3+1+4+2+2+315；故选：C 【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长是非常完美的解题方法，注意学习并掌握 12如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，点 G 在 CD 上，DE2，将正方形 DEFG绕点 D 顺时针旋转 60，得到正方形 DEFG，此时点 G在 AC 上，连接 CE，则 CE+CG（）A B C D【分析】解法一：作 GRBC 于 R，则四边形 RCIG是正方形首先证明点 F在线段 BC 上，再证明 CHHE即可解决问题 解法二：首先证明 CG+CEAC，作 GMAD 于 M 解直角三角形求出 DM，AM，AD 即可；【解答】解法一：作 GRBC 于 R，则四边形 RCIG是正方形 DGFIGR90，DGIRGF，在GID 和GRF 中，GIDGRF，GIDGRF90，点 F在线段 BC 上，在 RtEFH 中，EF2，EFH30，EHEF1，FH，易证RGFHFE，RFEH，RGRCFH，CHRFEH，CE，RGHF，CGRG，CE+CG+故选 A 解法二：作 GMAD 于 M 易证DAGDCE，AGCE，CG+CEAC，在 RtDMG中，DG2，MDG30，MG1，DM，MAG45，AMG90，MAGMGA45，AMMG1，AD1+，ACAD，AC+故选：A 【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题共 8 小题；共 24 分）135 的相反数是 5；5 的绝对值是 5；5 的立方是 125；0.5 的倒数是 2 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的意义以及有理数的乘方法则即可求解【解答】解：5 的相反数是 5；5 的绝对值是 5；5 的立方是125；0.5 的倒数是2 故答案为 5；5；125；2【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数、绝对值、倒数的意义，是基础知识，需熟练掌握 14写一个有两个相等的实数根的一元二次方程：x2+2x+10 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于 0答案不唯一【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，b24ac0，符合条件的一元二次方程为 x2+2x+10（答案不唯一），故答案为：x2+2x+10【点评】本题是一个开放性的题目，考查了一元二次方程的判别式，是一个基础性的题目 15一种饮料重约 300 克，罐上注有“蛋白质含量0.5%”，其中蛋白质的含量为 不少于 1.5 克【分析】根据题意求出蛋白质含量的最小值即可【解答】解：某种饮料重约 300g，罐上注有“蛋白质含量0.5%”，蛋白质含量的最小值3000.5%1.5 克，白质的含量不少于 1.5 克 故答案是：不少于 1.5【点评】本题考查的是不等式的定义，根据题意求出蛋白质含量的最小值是解答此题的关键 16在ABC 中，A60，B2C，则B 80 【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得【解答】解：A60，B+C120，B2C，B80 故答案为：80【点评】主要考查了三角形的内角和是 180求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180这一隐含的条件 17在半径为 6cm 的圆中，圆心角为 120的扇形的面积是 12 cm2【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案【解答】解：由题意得，n120，R6cm，故圆心角为 120的扇形的面积12（cm2）故答案为 12【点评】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般 18如图，第一个图形有 1 个正方形；第二个图形有 5 个正方形；第三个图形有 14 个正方形；则按此规律，第五个图形有 55 个正方形 【分析】由已知图形得出第 n 个图形中小正方形的个数为 12+22+（n1）2+n2，据此可得【解答】解：由题意知，第五个图形中正方形有 12+22+32+42+5255（个），故答案为：55【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是掌握第 n 个图形中小正方形的个数为 12+22+（n1）2+n2 19已知ABCD 的顶点 B（1，1），C（5，1），直线 BD，CD 的解析式分别是 ykx，ymx14，则 BC 4，点 A 的坐标是（3，7）【分析】由顶点 B（1，1），C（5，1），即可求得 BC 的长，又由直线 BD，CD 的解析式分别是 ykx，ymx14，利用待定系数法即可求得 k 与 m 的值，继而求得 D 的坐标，再由四边形 ABCD 是平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案【解答】解：顶点 B（1，1），C（5，1），BC514；直线 BD，CD 的解析式分别是 ykx，ymx14，1k，15m14，解得：k1，m3，直线 BD，CD 的解析式分别是 yx，y3x14，解得：，D 的坐标为：（7，7），四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD，A 的坐标为：（3，7）故答案为：4，（3，7）【点评】此题考查了平行四边形的性质以及一次函数的交点问题注意掌握平移的性质的应用是解此题的关键 20 如图，曲线l是由函数y在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45得到的，过点 A（4，4），B（2，2）的直线与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN的面积为 8 【分析】由题意 A（4，4），B（2，2），可知 OAOB，建立如图新的坐标系（OB 为 x轴，OA 为 y轴，利用方程组求出 M、N 的坐标，根据 SOMNSOBMSOBN计算即可【解答】解：A（4，4），B（2，2），OAOB，建立如图新的坐标系，OB 为 x轴，OA 为 y轴 在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），直线 AB 解析式为 y2x+8，由，解得或，M（1，6），N（3，2），SOMNSOBMSOBN46428，故答案为 8【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（本大题共 8 小题；共 60 分）21计算：+【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可【解答】解：原式2+3 2+3 5【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 22解方程：1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2xx2+1，移项合并得：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 23如图，某地方政府决定在相距 50km 的 A、B 两站之间的公路旁 E 点，修建一个土特产加工基地，且使 C、D 两村到 E 点的距离相等，已知 DAAB 于 A，CBAB 于 B，DA30km，CB20km，那么基地 E 应建在离 A 站多少千米的地方？【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形 DAE 和直角三角形 CBE 中利用斜边相等两次利用勾股定理得到 AD2+AE2BE2+BC2，设 AE 为x，则 BE10 x，将 DA8，CB2 代入关系式即可求得【解答】解：设基地 E 应建在离 A 站 x 千米的地方 则 BE（50 x）千米 在 RtADE 中，根据勾股定理得：AD2+AE2DE2 302+x2DE2 在 RtCBE 中，根据勾股定理得：CB2+BE2CE2 202+（50 x）2CE2 又C、D 两村到 E 点的距离相等 DECEDE2CE2 302+x2202+（50 x）2 解得 x20 基地 E 应建在离 A 站多少 20 千米的地方【点评】考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可 24水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高 DE30 米，坝顶宽 CD10 米，求大坝的截面的周长和面积 【分析】先根据两个坡比求出 AE 和 BF 的长，然后利用勾股定理求出 AD 和 BC，再由大坝的截面的周长DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案【解答】解：迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，DE30m，AE18 米，在 RTADE 中，AD6米 背水坡坡比为 1：2，BF60 米，在 RTBCF 中，BC30米，周长DC+AD+AE+EF+BF+BC6+10+30+88（6+30+98）米，面积（10+18+10+60）3021470（平方米）故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是 1470 平方米【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，解答本题关键是理解坡比所表示的意义 25一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？【分析】根据设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）8800，进而得出即可【解答】解：因为 60 棵树苗售价为 120 元607200 元8800 元，所以该校购买树苗超过 60 棵，设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）8800，解得：x1220，x280 当 x220 时，1200.5（22060）40100，x220（不合题意，舍去）；当 x80 时，1200.5（8060）110100，x80 答：该校共购买了 80 棵树苗【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元”得出方程是解题关键 26东坡商贸公司购进某种水果的成本为 20 元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来 48天 的 销 售 单 价p（元/kg）与 时 间t（天）之 间 的 函 数 关 系 式 为p，且其日销售量 y（kg）与时间 t（天）的关系如表：时间 t（天）1 3 6 10 20 40 日销售量 y（kg）118 114 108 100 80 40 （1）已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第 30 天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前 24 天中，公司决定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润（n9）给“精准扶贫”对象现发现：在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围【分析】（1）设 ykt+b，利用待定系数法即可解决问题（2）日利润日销售量每公斤利润，据此分别表示前 24 天和后 24 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论（3）列式表示前 24 天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求 n 的取值范围【解答】解：（1）设 ykt+b，把 t1，y118；t3，y114 代入得到：解得，y2t+120 将 t30 代入上式，得：y230+12060 所以在第 30 天的日销售量是 60kg （2）设第 t 天的销售利润为 w 元 当 1t24 时，由题意 w（2t+120）（t+3020）（t10）2+1250，t10 时，w 最大值为 1250 元 当 25t48 时，w（2t+120）（t+4820）t2116t+3360，对称轴 t58，a10，在对称轴左侧 w 随 t 增大而减小，t25 时，w 最大值1085，综上所述第 10 天利润最大，最大利润为 1250 元（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为 m 元 由题意 m（2t+120）（t+3020）（2t+120）nt2+（10+2n）t+1200120n，在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，23.5，（见图中提示）n6.75 又n9，n 的取值范围为 6.75n9 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键 27如图，已知 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点，BP3PC，Q 是 CD 的中点，（1）求证：ADQQCP；（2）若 AB10，连接 BD 交 AP 于点 M，交 AQ 于点 N，求 BM，QN 的长 【分析】（1）根据正方形的性质可表示出 PC，DQ，CQ，AD 的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知不难求得 BM，QN 的长【解答】证明：（1）正方形 ABCD 中，BP3PC，Q 是 CD 的中点 PCBC，CQDQCD，且 BCCDAD PC：DQCQ：AD1：2 PCQADQ90 PCQADQ （2）BMPAMD BM：DMBP：AD3：4 AB10，BD10，BM 同理 QN 【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定及性质的综合运用 28探究与发现：如图 1 所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC 与A、B、C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图 2，把一块三角尺 XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ 恰好经过点 B、C，若A50，则ABX+ACX 40；如图 3，DC 平分ADB，EC 平分AEB，若DAE50，DBE130，求DCE的度数；如图 4，ABD，ACD 的 10 等分线相交于点 G1、G2、G9，若BDC140，BG1C77，求A 的度数 【分析】（1）根据题意观察图形连接 AD 并延长至点 F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到BDCBDF+CDF；（2）由（1）的结论可得ABX+ACX+ABXC，然后把A50，BXC90代入上式即可得到ABX+ACX 的值 结合图形可得DBEDAE+ADB+AEB，代入DAE50，DBE130即可得到ADB+AEB 的值，再利用上面得出的结论可知DCE（ADB+AEB）+A，易得答案 由（2）的方法，进而可得答案【解答】解：（1）连接 AD 并延长至点 F，由外角定理可得BDFBAD+B，CDFC+CAD；且BDCBDF+CDF 及BACBAD+CAD；相加可得BDCA+B+C；（2）由（1）的结论易得：ABX+ACX+ABXC，又因为A50，BXC90，所以ABX+ACX905040；由（1）的结论易得DBEA+ADB+AEB，易得ADB+AEB80；而DCE（ADB+AEB）+A，代入DAE50，DBE130，易得DCE90；BG1C（ABD+ACD）+A，BG1C77，设A 为 x，ABD+ACD140 x（140 x）+x77，14x+x77，x70 A 为 70 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系