数学分析课程教学大纲.doc

数学分析课程教学大纲（Mathematical Analysis）课程编号：041048-50课程性质：专业基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积分方程、非线性分析总学时：288总学分：18教学目的与要求：该课程分为极限理论，连续函数，微分学、积分学和级数理论这五个部分，开设本课程的目的，是帮助学生了解数学分析处理问题的基本思想，并能运用这些思想处理纯粹数学和应用数学中所遇到的数学问题；是培养学生的思维能力和推理能力，能用分析的手段将复杂问题分解为简单问题，从而分别突破，是培养学生准确、简练的表达能力，能用标准的分析语言，清晰地陈述自己的思想；是培养学生熟练、精确的极限、微分、积分的运算能力，使当解决问题要求计算能力时能够胜任，是为“分析”这条线上的若干后续课程提供必要的基础和预备知识，使学生能顺利完成后续课程的学习，学完本课程后，要求学生具有下列诸方面的能力。1“-”，“-”语言的表述能力2对概念的认识，理解能力，对相关概念的串联能力3对定理的条件、结论的合理设计能力，对其强弱的认识能力，对相关定理内容的串联能力4问题之间的相互转换能力，例如：极限问题与级数问题的相互转换，积分问题与级数问题的相互转换。5极限、微分、积分的精确计算及近似计算能力。6进行简单的理论研究及应用研究的能力。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1实数集与函数813函数列与函数项级数122数列极限1014幂级数103函数极限1215Fourier级数124函数的连续性1216多元函数极限与连续145导数与微分1417多元函数微分学166微分学基本定理与不等式极限1018隐函数定理及其应用167运用导数研究函数1019重积分208极限与连续性（续）1220重积分（续）及含参量非正常积分169不定积分1021曲线积分与曲面积分2010定积分2022数学分析内容回顾1411定积分应用102312数项级数1024第一章 实数集与函数1实数：实数及其性质，绝对值与不等式2数集与确界原理：区间与邻域、有界集、确界原理。3函数概念：定义、表示法、四则运算、复合运算、反函数、初等函数4具有特性的函数：有界性、单调性、奇偶性、周期性本章重点：函数定义及相关概念，确界概念及相关运算难点：用定义验证函数的某些特性，理解确界概念，验证确界及确界运算第二章 数列极限1数列极限概念：数列极限定义，无穷小数列2收敛数列的性质3数列极限存在的条件。本章重点：数列极限的定义、性质、存在条件难点：对“”定义的理解，否定陈述，利用存在条件验证收敛性。第三章 函数极限1函数极限概念（各种不同变化过程的函数极限定义）2函数极限的性质3函数极限存在的条件4两个重要极限5无穷小量与无穷大量，阶的比较本章重点：陈述各种不同极限过程的函数极限定义及其否定陈述，求函数极限，判断极限存在性，等价无穷小量的运用。难点：求某些函数极限及判断极限存在性。第四章 函数的连续性1连续性概念：点态连续，区间上连续，间断点及其分类。2连续函数的性质：局部性质，闭区间上连续函数的性质，反函数的连续性，一致连续性。3初等函数的连续性本章重点：连续性概念，闭区间上连续函数的性质难点：连续函数性质的应用，一致连续性的判断。第五章 导数与微分1导数概念：导数定义及导函数2求导法则：四则运算法则，反函数求导法则，复合函数求导法则。基本初等函数求导公式3微分：微分概念，可微条件，微分运算法则，利用微分作近似计算4高阶导数与高阶微分5参数方程所确定的函数的导数本章重点：导数及微分定义，各种求导运算法则及求导公式，常用的高阶导数表达式难点：求复合函数导数的链式法则第六章 微分学基本定理与不等式极限1中值定理：Fama定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理2不定式极限：型，型及其它3Taylor公式，两种余项形式及应用本章重点：中值定理及其应用难点：适时应用中值定理及Taylor公式第七章 运用导数研究函数1函数的单调性与极值2函数的凸性与拐点3函数图象讨论本章重点：函数作图第八章 极限与连续性（续）1实数完备性定理：确界存在定理，单调有界原理，区间套定理，Cauchy收敛准则，聚点定理，列紧性定理，有限复盖定理及其等价性证明。2闭区间上连续函数性质的证明3上极限与下极限本章重点：完备性定理的陈述与理解难点：完备性定理等价性证明及定理的应用第九章 不定积分1不定积分概念与基本积分公式2换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数的积分本章重点：积分技术难点：选择适当的代换第十章 定积分1定积分概念2可积条件：可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类3定积分的性质：运算性质，不等式性质，积分中值定理4微积分学基本定理：定积分的计算，Taylor公式的积分型余项5非正常积分，无穷限积分，无界函数积分第十一章 定积分应用1 平面图形面积2 由截面面积求体积3 曲线的弧长与曲率4 旋转曲面的面积5 定积分在物理上的应用本章重点：用定积分求面积、体积第十二章 数项级数1 级数收敛性概念2 正项级数：收敛充要条件，比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法，Ruba判别法3 一般项级数：绝对收敛与条件收敛，交错级数，Abel判别式与Dinichlet判别法本章重点：数项级数收敛的条件（判别法）难点：选择适当的判别法，特别是当判别法失效时如何应对。第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性：一致收敛概念及判别2 一致收敛的函数项和函数项级数的性质：连续、可积、可微。本章重点：一致收敛概念及一致收敛判别难点：验证一致收敛性第十四章 幂级数1 幂级数：收敛区间，性质、运算、幂级数求和2 函数的幂级数展开本章重点：确定幂级数的收敛域，幂级数求和，幂级数展开难点：幂级数求和及展开第十五章 Fourier级数1 Fourier级数：三角级数，正交系，以2为周期的函数的Fourier级数2 以2l为周期的函数的Fourier级数展开式3 收敛定理及其证明本章重点：求函数的Fourier级数展开式并讨论其收敛性难点：收敛定理的证明第十六章 多元函数极限与连续1 平面点集与多元函数：R2上的拓扑概念，R2的完备性，二元函数，n元函数。2 二元函数的极限：二重极限，累次极限3 二元函数的连续性：连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。本章重点：二元函数的极限、连续概念难点：R2上的拓扑概念：求二重极限，有界闭域上连续函数性质的证明。第十七章 多元函数微分学1 可微：可微性与全微分，偏导数，可微条件，几何意义及应用2 复合函数微分法3 方向导数与梯度4 Taylor公式与极值问题：高阶偏导数，中值定理与Taylor公式，极值问题本章重点：可微概念、可微条件、复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式。难点：可微性判断，复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式的证明，求最大值与最小值。第十八章 隐函数定理及其应用1 隐函数：隐函数概念、隐函数存在定理、隐函数求导2 隐函数组：隐函数组概念、隐函数组存在定理、反函数组与坐标变换3 几何应用：曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线4 条件极值本章重点：隐函数概念及隐函数存在定理，隐函数求导难点：隐函数存在定理的证明第十九章 重积分1 二重积分概念：二重积分的定义及可积条件2 二重积分的计算：化为累次积分，换元法3 含参量正常积分的导数4 三重积分：概念及计算5 重积分的应用：曲面面积、重心、转动惯量、引力本章重点：重积分的概念及计算难点：确定积分限第二十章 重积分（续）及含参量非正常积分1 二重积分的可积性2 二重积分的变量变换定理3 含参量非正常积分：一致收敛性及其判别，一致收敛的含参量非正常积分的性质，Euler积分本章重点：含参量非正常积分的一致收敛性及其相关结果难点：一致收敛性判别及其应用第二十一章 曲线积分与曲面积分1 第一型曲线积分与第一型曲面积分：概念及计算2 第二型曲线积分：概念及计算3 两类曲线积分的联系4 Green公式5 曲线积分与路线无关性6 第二型曲面积分7 Gauss公式与Stokes公式8 场的初步知识本章重点：曲线、曲面积分的计算、三个重要公式难点：两类曲线积分的转化，两类曲面积分的转化，第二型曲面积分的计算，Stokes公式的应用第二十二章 数学分析内容回顾1 极限：讨论收敛性、连续性2 微分：一元与多元、微分学的本质及应用3 积分：积分思想、积分计算、积分与微分、积分与极限、积分与不等式、积分定义的函数。4级数：求和与展开教材、教学参考书（一） 教材数学分析（第三版上、下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001。（二） 参考书1 常庚哲，史济怀，数学分析教程，第一、二、三册，江苏教育出版社，19982 张筑生，数学分析新讲，第一、二、三册，北京大学出版社，1990。3 庄亚栋，王慕三，数学分析上、中、下册，高等教育出版社，1990。4 W.Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 1976.高等代数课程教学大纲（Advanced Algebra）课程编号：041005-6课程性质：专业基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：中学数学后续课程：近世代数、近世代数续论总学时：160总学分：10教学目的与要求：通过本课程的学习，要求学生掌握多项式理论、线性方程组理论、矩阵理论、线性空间与线性变换的理论、欧氏空间及其相关的线性变换理论，本课程应注重学生关于空间及其联系的有关问题的抽象思维能力。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1多项式226线性空间142行列式187线性变换223线性方程组208-矩阵104矩阵209欧氏空间145二次型1210双线性函数8第一章 多项式第一节 多项式的定义与运算第二节 带余除法、整除性第三节 两个多项式的最大公因式第四节 因式分解及唯一性定理第五节 重因式第六节 多项式函数第七节 复系数与实系数多项式的因式分解第八节 有理系数多项式第九节 多元多项式与对称多项式第二章 行列式第一节 排列第二节 n阶行列式的定义、性质与计算第三节 依行（列）展开定理第四节 克兰姆法则第五节 拉普拉斯定理，行列式相乘规则第三章 线性方程组第一节 消元法第二节 n维向量空间第三节 线性相关性第四节 矩阵的秩第五节 有解判定定理第六节 线性方程组解的结构第四章 矩阵第一节 矩阵的概念与运算第二节 矩阵乘积的行列式与秩第三节 矩阵的逆第四节 矩阵的分块第五节 初等矩阵第六节 广义逆矩阵第五章 二次型第一节 二次型的矩阵表示第二节 标准形第三节 复二次型与实二次型的规范形第四节 实二次型的正定性第六章 线性空间第一节 集合与映射第二节 线性空间的定义与性质第三节 基、维数与坐标第四节 基变换与坐标变换第五节 子空间第六节 子空间的交与和、直和第七节 线性空间的同构第七章 线性变换第一节 线性变换的定义第二节 线性变换的运算第三节 线性变换的矩阵第四节 特征值与特征向量第五节 可对角化问题第六节 值域与核第七节 不变子空间，可准对角化问题第八节 最小多项式第八章 -矩阵第一节 -矩阵及其等价标准形第二节 行列式因子，不变因子，初等因子第三节 矩阵相似的条件第四节 若当标准形第九章 欧氏空间第一节 欧氏空间的定义与性质第二节 标准正交基第三节 同构第四节 正交变换与正交矩阵第五节 对称变换与对称矩阵第六节 子空间，向量到子空间的距离第十章 双线性函数第一节 线性函数第二节 对偶空间第三节 双线性函数第四节 对称双线性函数教材：高等代数（第三版），北京大学数学系编，高等教育出版社，2003年。主要参考书目：1 张禾瑞、郝炳新，高等代数，人民教育出版社。2 周伯 ，高等代数，人民教育出版社。解析几何课程教学大纲（Analytic Geometry）课程编号：041007课程性质：专业基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学后续课程：高等几何，微分几何总学时：64总学分：4教学目的与要求：本课程是数学与应用数学专业的必修基础课，它是初等数学向高等数学、常量数学向变量数学过渡的桥梁，也是沟通空间形式与数量关系的桥梁，对于进一步学习高等几何、微分几何、代数、分析等各个数学分支和力学、物理等科技领域及人文科学领域都处于基础性地位，有着极广泛的应用。贯穿本课程始终的两个基本问题是由轨迹（曲线、曲面）求方程和由方程画图形。通过对这两大基本问题的深入探讨，使学生理解、掌握解析几何的基本思想、基本知识和基本方法与技巧，能熟练运用坐标方法和向量代数知识分析解决有关问题，培养学生的运动变化的观点和“形数统一”的思想以及综合运用所学知识分析解决问题的能力。本课程以空间解析几何为主，同时兼顾部分学生未学过平面解析几何以及学生毕业后从事平面解析几何的教学需要。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1解几基础85平面、直线82圆锥曲线146曲面、曲线123矢量、坐标67二次曲面的一般理论84内积、外积8第一章 解几基础§1.1 点与坐标，轨迹方程，距离，线段的方程，线性运算§1.2 直线的方程，点与直线的位置关系，点到直线的距离，有向线段在轴上的射影及性质§1.3 有向角，余弦定理与射影定理，夹角公式§1.4 平面直角坐标变换，极坐标与直角坐标的互化第二章 圆锥曲线§2.1 圆锥曲线的定义§2.2 标准方程和性质§2.3 圆锥曲线的切线与光学性质§2.4 二次曲线的直径与主直径§2.5 移轴和转轴变换下二次方程的变化规律§2.6 基本不变量的运用§2.7 二次曲线族第三章 矢量、坐标§3.1 矢量的概念，矢量的加法、数乘§3.2 矢量的分解，线性组合，线性相关和线性无关§3.3 仿射坐标系与矢量的坐标表示第四章 内积、外积§4.1  矢量的内积定义，基本性质，坐标表示§4.2 矢量的外积定义，基本性质，坐标表示§4.3 二重矢性积、混合积性质和几何意义第五章 平面、直线§5.1 平面的方程：参数式、点位式、点法式、一般式§5.2 直线的方程：参数式、标准式、射影式、一般式§5.3 直线、平面相互间的位置关系，点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离，公垂线的方程，直线、平面间的夹角公式，平面束。第六章 曲面、曲线§6.1 三元方程的几何意义，求曲面、球面的方程§6.2 柱面、锥面、射影柱面的定义及其方程§6.3 曲面、曲线的参数方程，与普通方程的互化§6.4 旋转曲面的定义及其方程§6.5 五种标准二次方程的图形、截口法§6.6 直纹面的直母线第七章 二次曲面的一般理论§7.1 空间直角坐标变换§7.2 二次曲面的基本不变量和半不变量§7.3 二次曲面的径面、主径面和主方向§7.4 二次曲面方程的化简与分类教材：解析几何教程，左铨如编，九章出版社。主要参考书目：1. 吕林根、许子道等编，解析几何（第三版），高等教育出版社，1987.2. 朱鼎勋、陈绍菱等编，空间解析几何，北京师范大学出版社，1984.3. 吴光磊、丁石孙等编，解析几何，人民教育出版社，1962.4. 章士藻、左铨如编，解析几何解疑，北京师范大学出版社，1988.5. 陈绍菱、傅若男编，空间解析几何习题试析，北京师范大学出版社，1984.高等几何课程教学大纲（Advanced Geometry）课程编号：041008课程性质：专业选修课（专业主要课程）适用专业：数学与应用数学先修课程：解析几何，高等代数后续课程：微分几何总学时：48总学分：3教学目的与要求：近代几何的一个基本观点是将几何学与变换群联系起来，一门几何学对应一个变换群，几何学就是研究在它所对应的变换群作用下保持不变的性质。利用这一观点，可以将几何学作统一的研究。本课程的目的是使学生系统掌握正交变换、仿射变换、射影变换以及它们所对应的几何学欧氏几何、仿射几何、射影几何，这一方面可以为学生学习近世代数中的群理论提供几何模型，另一方面可以培养学生运动和不变的观点，为今后进一步学习现代数学理论打下扎实的基础。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1正交变换与仿射变换103射影变换142射影平面124二次曲线的射影理论12第一章 正交变换与仿射变换§1 点变换11 点变换的定义12 变换的乘积13 恒等变换与逆变换§2 正交变换21 正交变换22 正交变换与坐标变换的关系§3 仿射变换31 二平面间的透视仿射对应32 仿射对应与仿射变换33 仿射坐标系34 仿射变换的代数表达式35 图形的仿射性质36 仿射变换的特例本章重点：正交变换与仿射变换的代数表达式，图形的仿射性质本章难点：仿射变换的不变元素（不变点和不变直线）第二章 射影平面§4 中心射影与无穷远元素41 中心射影42 无穷远元素43 一维与二维射影空间的概念与模型44 图形的射影性质§5 笛沙格透视定理§6 齐次点坐标61 齐次点坐标62 直线的齐次坐标方程63 齐次点坐标的应用§7 线坐标71 齐次线坐标72 非齐次线坐标§8 对偶原则81 对偶图形82 对偶命题与对偶原则83 代数对偶§9 复元素91 二维空间的复元素92 二维共轭复元素本章重点：齐次点坐标，对偶原则本章难点：笛沙格透视定理第三章 射影变换§10 交比与调和比101 点列四点的交比与调和比102 交比的代数表示103 共线四点的调和比104 线束四直线的交比与调和比§11 完全四点形与完全四线形的调和性§12 一维基本形的射影对应121 透视对应与射影对应122 点列间射影对应的代数表示§13 一维射影变换§14 一维基本形的对合§15 二维射影变换151 非奇线性对应与射影对应152 射影变换及其不变元素§16 射影坐标161 一维射影坐标162 二维射影坐标本章重点：交比，一维与二维射影变换的定义和代数表达式本章难点：一维基本形的对合第四章 二次曲线的射影理论§17 二次曲线的射影定义171 二阶曲线与二级曲线172 二阶曲线与直线的相关位置173 二阶曲线与二级曲线的关系§18 巴斯加定理与布利安桑定理§19 极点与极线、配极变换191 极点、极线及求法192 配极原则193 配极变换§20 二阶曲线的射影分类201 二阶曲线的奇异点202 二阶曲线的射影分类本章重点：二次曲线的射影定义（包括代数定义与几何定义）、射影分类本章难点：二次曲线的几何定义，巴斯加定理与布利安桑定理教材：高等几何（第二版）， 梅向明等编，高等教育出版社，2000年。近世代数课程教学大纲（Abstract Algebra）课程编号：041009课程性质：专业基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：高等代数后续课程：近世代数续论总学时：48总学分：3教学目的与要求：通过近世代数的教学，让学生理解和掌握群、环、域三个代数系统的基础知识和基本理论，受到代数方法的初步训练，对于抽象代数的思想和方法有初步认识，抽象思维能力和逻辑推理能力得到提高。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1基本概念82群论基础203环与域20第一章 基本概念§1 集合1 集合的基本概念 2.集合的运算（并，交，补，余，积）§2 映射1定义 2.类型 3.合成 4.逆§3 代数体系1代数运算 2.代数体系 3.子体系 4.附加于代数体系的一些条件§4 同态与同构1.同态映射 2.同态 3.同构 4.自同态与自同构§5 集合分类与等价关系1.关系 2.等价关系 3.分类 4.广义同态基本定理第二章 群论基础§1 群的定义与性质1.群的定义 2.例子 3.基本性质 4.交换群和有限群 5.元素的阶§2 群的等价定义与同态1.第一等价定义 2.第二等价定义 3.有限群的另一定义 4.群同态§3 变换群1.定义 2.例子 3.Cayley定理§4 置换群1.置换的概念 2.置换的表示 3.奇、偶置换 4.交代群§5 循环群1.定义 2.例子 3.结构定理 4.简单性质§6 子群1.定义 2.例子 3.基本性质 4.判定定理 5.生成子群§7 子群的陪集1.陪集 2.几个重要结论§8 不变子群与商群1.定义 2.例子 3.等价条件 4.商群§9 群同态基本定理1.群同态基本定理 2.子群对应定理第三章 环与域§1 环的定义与简单性质1.加群 2.环的定义 3.简单性质§2 带附加条件的环1.交换环 2.有单位元的环 3.无零因子环 4.整环 5.除环和域§3 子环与环同态1.子环 2.环同态 3.挖补定理§4 多项式环1.环R上的的多项式环R 2.R上的未定元x的多项式环Rx§5 理想与商环1.理想 2.商环§6 环同态基本定理1.环同态 2.环同态基本定理§7 极大理想与素理想1.极大理想 2.素理想§8 商域1.无零因子交换环R是一个域Q的子环 2.环R的商域§9 素域、扩域1.素域 2.域的特征 3.添加§10 单扩域1.基本概念 2.单扩域的结构 3.存在性与唯一性主要参考目录：1.近世代数基础，张禾瑞著，1978年修改本（人教）2.近世代数基础，刘绍学著，1999年（北师大）3.近世代数，熊全淹编，武汉大学，1984年。4.抽象代数学，姚慕生编，复旦大学，1998年。5近世代数，朱天平等编，科学出版社，2001年。复变函数课程教学大纲（Theory of Functions of a Complex Variable）课程编号：041010课程性质：专业基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析后续课程：数学物理方程总学时：48总学分：3教学目的与要求： 复变函数论是基础数学、应用数学、计算数学专业的一门重要基础课，它在工程、力学、物理以及数学其他分支中有着广泛的应用。通过本门课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论与方法，加深对数学分析、高等代数中有关知识的理解。培养学生抽象思维能力与解决实际问题的能力，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研或其他实际工作打好基础。本课程的主要内容是解析函数的微分、积分以及映照，基本运算主要是初等函数的求值、复积分计算、留数定理的应用以及简单区域间保形映照的作法等。在教学内容的选择上，应围绕主要内容努力贯彻少而精原则。在教学中，应重视基本概念的正确讲解，基础理论的系统阐述以及基本运算能力的严格训练；应注意由浅入深，突出重点，注重阐明本课程与其他课程的联系，特别是与数学分析的衔接，着重使学生掌握复变函数理论中与数学分析相应知识的差异；应通过例题及习题的训练，使学生熟练掌握基本训练方面的有关方法；应注意联系中学数学教学。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1复数与平面点集25解析函数罗朗展式与孤立奇点42解析函数86留数83复变函数的积分87保形映照104解析函数的幂级数表示法8第一章 复数与平面点集第一节 复数对复数理论只作简单复习，重点是复数运算与几何表示第二节 平面点集 重点是掌握诸如有向线段、圆、圆弧、射线及圆盘、角域、带域等常用曲线与区域的复数表达式。第三节 复球面及无穷大重点是复球面、无穷远点、扩充复平面概念及关于复数“”的运算法则。第二章 解析函数第一节 复变函数及其极限与连续性一、 重点是复变函数几何意义二、 宜介绍函数Argz的单值连续分支，为处理初等多值函数打好基础。第二节 复变函数导数第三节 解析函数概念与柯西-黎曼条件一、 这是本章的重点，学生难以掌握的是，在一点处函数解析与可导的联系，及解析函数充要条件（CR形式）应重点讲解并举例说明。二、 应归纳判断函数解析及解析函数为常数的方法。第四节 初等解析函数第五节 初等多值函数一、 重点是对数函数与根式函数单值分支取法及单值分支求值，这也是教与学两方面的难点，宜应用函数Argz的单值分支取法与求值方法突破难点。二、 初等多值函数单值分支求值可以一个有限支点的函数为重点。第三章 复变函数的积分第一节 复积分及其简单性质第二节 柯西定理一、 柯西定理是复变函数论的基本定理，务必使学生牢固掌握。二、 单连通区域的柯西定理，可在附加“在D内连续”的条件下，用Green公式给出证明，Goursat的证明视具体情况取舍。第三节 柯西公式与解析函数无穷可导性一、 柯西公式是复变函数论的基本工具，证明思路方法具有一般性，应要求学生掌握公式及其证明方法与技巧。二、 作为柯西公式的应用并联系中学数学教学，应在这一节中讲述，柳维尔定理及代数基本定理。三、 另一个重点是解析函数无穷可导性。第四节 解析函数充要条件（积分形式）通过讲述不定积分与莫瑞拉定理，总结出积分形式的解析函数充要条件，这是解析函数的一个重要特征，也是判别函数解析的重要方法。第四章 解析函数的幂级数表示法第一节 复数项级数第二节 复变函数项级数重点是魏尔斯特拉斯定理第三节 幂级数重点是收敛圆盘内幂级数和函数解析、逐项可积、可导（无穷次）。学生容易疏忽的是“收敛圆盘内”，应提醒学生重视。第四节 泰勒展式一、 重点之一是泰勒展式及展式收敛半径的求法。二、 重点之二是由幂级数和函数解析性与泰勒定理总结出解析函数充要条件（级数形式）第五节 解析函数零点孤立性与唯一性定理一、 应要求学生掌握解析函数零点的概念及零点阶的判定方法，特别要注意m阶零点的解析函数的表达式。二、 重点是解析函数零点孤立性及唯一性定理，要求学生全面掌握定理的逆命题及各个推论。第五章 解析函数罗朗展式与孤立奇点第一节 解析函数的罗朗展式重点是求解析函数罗朗展式的间接方法。第二节 孤立奇点重点是孤立奇点的类型及分类方法第三节 解析函数在无穷远点的性质本节是要求学生“了解”的内容，可略讲。第四节 整函数与亚纯函数的概念本节也是要求学生“了解”的内容，可略讲第六章 留数第一节 留数与留数定理重点是留数概念，留数定理及函数在有限孤立奇点处留数的计算。第二节 留数对计算积分的应用第三节 辐角原理及儒歇定理重点是儒歇定理及其应用，但也要求学生理解对数留数定理及辐角原理。第七章 保形映照第一节 解析映照的特性重点之一是映照旋转角，保角性与保形映照的概念。重点之二是解析映照保区域性，导数几何意义，单叶解析函数的映照特性。第二节 公式线性函数及其映照特征一、 充分掌握分式线性映照的分解二、 掌握分式线性映照的四个特性及其在求象中的作用，特别注意圆变为直线的条件及求象方法。三、 掌握三个典型区域间保形映照的分式线性映照公式及应用四、 掌握将月牙形区域映照为角域的线性映照第三节 某些初等函数所构成的保形映照一、 充分掌握指数函数及幂函数的保形映照区域及在保形映照的作用二、 掌握对数函数在保形映照中的作用第四节 解析函数最大模原理与许瓦兹引理掌握最大模原理及其证明，理解许瓦兹引理第五节 黎曼定理及边界对应原理理解定理内容第六节 用初等映照迭合法求简单区域间保形映照举例。掌握求简单区域间保形映照方法主要参考目录：1 钟玉泉复变函数论（第二版）高等教育出版社，19882 庄圻泰、张南岳复变函数，北京大学出版社，19843 陈方权、蒋绍惠解析函数论基础，北京师范大学出版社，1987常微分方程课程教学大纲（Ordinary Differential Equation）课程编号：041011课程性质：专业基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析、高等代数、大学物理后继课程：数学物理方程总学时：48总学分：3教学目的与要求：微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景。通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后继课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。教学内容与学时安排序号章目名称学时分配序号章目名称学时分配1绪论24高阶微分方程102一阶微分方程的初等解法125线性微分方程组103一阶微分方程解的存在定理46非线性微分方程和稳定性10第一章 绪论第一节 微分方程的产生第二节 基本概念本章重点：介绍微分方程的产生与发展，微分方程的基本概念。难点：建立数学模型。第二章 一阶微分方程的初等解法第一节 变量分离方程与变量变换第二节 线性方程与常数变易法第三节 恰当方程与积分因子第四节 一阶隐方程与参数表示本章重点：若干类可求解的一阶微分方程。难点：判定微分方程的类型，变量代换化解方程。第三章 一阶微分方程解的存在定理第一节 解的存在唯一性定理与逐步逼近法第二节 解的延拓本章重点：一阶微分方程Cauchy问题解的存在唯一性定理，Picard逐步逼近法的基本思想，近似解的求解。难点：应用Picard逐步逼近法证明解的存在性。第四章 高阶微分方程第一节 线性微分方程的一般理论第二节 常系数线性方程的解法第三节 高阶方程的降阶和幂级数解法本章重点：n阶线性微分方程的基本理论，常系数线性方程的求解，高阶非线性微分方程的降阶，幂级数解法。难点：n阶齐线性及非齐线性方程解空间的维数，通解结构定理。第五章 线性微分方程组第一节 存在唯一性定理第二节 线性微分方程组的一般理论第三节 常系数线性微分方程组本章重点：一阶线性微分方程组的基本理论，常系数线性微分方程组的求解。难点：如何将一阶线性微分方程组与n阶线性方程紧密联系。第六章 非线性微分方程和稳定性第一节 引言第二节 相平面第三节 按线性近似决定微分方程组的稳定性第四节 李雅普诺夫第二方法第五节 用期解和极限环本章重点：定性理论和稳定性理论，李雅普诺夫第一和第二方法。难点：如何判定和证明零解的稳定性，如何寻找李雅普诺夫函数判定零解的稳定性。教材：常微分方程，王高雄等编，高等教育出版社，1982主要参考书目：叶彦谦编常微分方程讲义高等教育出版社,1982. 王柔怀编常微分方程讲义高等教育出版