(精品)第三章线性系统的时域分析法.ppt

第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法3-1 3-1 典型的输入信号和时域性能指标典型的输入信号和时域性能指标3-2 3-2 一阶系统响应一阶系统响应3-3 3-3 二阶系统响应二阶系统响应3-5 3-5 线性定常系统的稳定性和劳斯判据线性定常系统的稳定性和劳斯判据3-6 3-6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差对于线性系统，常用的分析方法有三种：时域分析方法；根轨迹法；频率特性法。引言引言 时域分析方法，是一种直接分析方法，具有直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。时域分析时域分析：是对一个特定的输入信号，利用拉是对一个特定的输入信号，利用拉氏反变换，直接求取系统的输出响应（时间函氏反变换，直接求取系统的输出响应（时间函数），然后按照响应曲线来分析系统的性能。数），然后按照响应曲线来分析系统的性能。为了比较系统性能的优劣，必须有一个比较的基础和标准。典型化处理时域性能指标3.1 3.1 典型的输入信号和时域性能指标典型的输入信号和时域性能指标系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的输出由系统的数学模型、系统的初始系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；状态和系统的输入信号形式决定；典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号；典型输入信号的特点：数学表达简单，便于典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。分析和处理，易于实验室获得。3.1.1 3.1.1 典型输入信号典型输入信号一、阶跃函数一、阶跃函数U U为常量，为常量，U=1U=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。的阶跃函数称为单位阶跃函数。表达式：表达式：拉氏变换：拉氏变换：最常见且最易产生。最为基本。被选为衡量系统控制性能的好坏的基准输入，并据此定义时域性能指标。二、斜坡函数二、斜坡函数拉氏变换：拉氏变换：U U为常量，为常量，U=1U=1的斜坡函数称为单位斜坡函数。的斜坡函数称为单位斜坡函数。表达式：表达式：U U为常量，为常量，U=1U=1的阶跃函数称为单位等加速的阶跃函数称为单位等加速度函数。度函数。三、抛物线函数三、抛物线函数表达式：表达式：拉氏变换：拉氏变换：四、单位脉冲函数四、单位脉冲函数表达式：表达式：拉氏变换：拉氏变换：五、正弦函数五、正弦函数表达式：表达式：分析一个实际系统时采用哪种信号，要分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。根据系统的实际输入信号而定。拉氏变换：拉氏变换：思考题：单位脉冲、单位阶跃、斜坡思考题：单位脉冲、单位阶跃、斜坡函数的相互关系？函数的相互关系？三种响应之间的关系：系统对输入信号微三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。应的微分（积分）。3.1.2 3.1.2 时域性能指标时域性能指标 稳：稳：(基本要求基本要求)系统受扰动后能回到原来系统受扰动后能回到原来的平衡位置的平衡位置 准准:(稳态要求稳态要求）稳态输出与理想输出间稳态输出与理想输出间的误差的误差(稳态误差稳态误差)要小要小 快快:(动态要求动态要求)过渡过程要平稳，迅速过渡过程要平稳，迅速单位阶跃输入信号下的暂态响应（2）上升时间 响应曲线从零首次上升达到稳态值 所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。（1）延迟时间 响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。（3）峰值时间 响应曲线超过稳态值 ，达到第一个峰值所需的时间。（4）调节时间 在稳态值y()附近取定误差带，通常取 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。（5）超调量 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。超调量表示了系统过度响应的程度。超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。，和 表示控制系统响应的快速性,而 反映系统动态过程的平稳性，即系统的阻尼程度。其中 和 是最重要的2个动态性能的指标。（6）稳态误差 系统输出实际值与希望值之差，反映系统精度。3.2 3.2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统传递函数：一阶系统传递函数：-U(s)Y(s)一阶系统结构图：一阶系统结构图：3.2.1单位阶跃响应：单位阶跃响应：在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。随时间变化曲线为一条指数曲线。响应曲线具有非振荡特征：响应曲线具有非振荡特征：t=T,y(t)=0.632;t=2T,y(t)=0.865;t=3T,y(t)=0.95;t=4T,y(t)=0.982;一阶系统的单位阶跃响应如果以初一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值始速度等速上升至稳态值1 1所需的时间应所需的时间应恰好为恰好为T T。一阶系统的阶跃响应没有超调量，故一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域性能指标主要以其时域性能指标主要以t ts s来衡量，来衡量，t ts s的长的长短反映了系统过程的快慢。短反映了系统过程的快慢。由以上可知：由以上可知：t ts s=3T=3T（对（对5%5%的误差）的误差）t ts s=4T=4T（对（对2%2%的误差）的误差）因此，因此，T T越小，系统过渡时间就越短。越小，系统过渡时间就越短。3.2.2一一阶系统的单位斜坡响应阶系统的单位斜坡响应稳态误差输出响应 稳态误差趋于T，T越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。初始速度：单位斜坡响应单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后时间常数上迟后时间常数T T的斜坡函数。的斜坡函数。该曲线的特点是：在该曲线的特点是：在t=0t=0处曲线的斜率等处曲线的斜率等于零；于零；稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差存在偏差T T。3.2.3一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应输入：输入：输出：输出：由由上面分析可知，一阶系统仅有一个上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量特征参量TT时间常数，调节时间为时间常数，调节时间为（3-4T3-4T）当当t=0t=0时单位阶跃响应的变化率和单位时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为脉冲响应的初始值均为1/T1/T，单位斜坡单位斜坡响应的稳态误差为响应的稳态误差为T T。当输入信号为单位斜当输入信号为单位斜 坡信号时，输出坡信号时，输出无法跟踪输入无法跟踪输入。T T越小，系统的动、静态性能越好。越小，系统的动、静态性能越好。例3.1 一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈系统应调整为何值？T=0.01/KH ts=3T=0.03/KH 0.1=0.03/KH KH=0.3系统结构图ts=3T=3*0.1=0.3秒解：系统的结构图如下。已知原有开环系统的传递函数为 作作业业：若采用负反馈将调节时间ts减小到原来的0.1倍，并保证总的放大系数不变。试确定参数KH和K0的数值。3.3 3.3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；二阶系统不仅在工程中比较常见，而且二阶系统不仅在工程中比较常见，而且 许多高阶系统也可以转化为二阶系统研究许多高阶系统也可以转化为二阶系统研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义；因此研究二阶系统具有很重要的意义；二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数：特征方程：特征方程：系统框图：系统框图：3.3.13.3.1典型的二阶系统典型的二阶系统典型的二阶系统典型的二阶系统二阶系统的特征根：j0j0j0j0二阶系统特征根二阶系统特征根二阶系统特征根二阶系统特征根当输入信号为单位阶跃函数时，系统输出量的拉氏变换为（1）欠阻尼情况：013.3.23.3.2二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应时域响应：其中：单位阶跃响应（001 11）（4）无阻尼情况：0时域响应：系统的特征根典型二阶系统的单位阶跃响应二阶系统响应特点1 1、=0=0时，等幅振荡；时，等幅振荡；3 3、=1=1时，处于衰减振荡与单调变化的时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态临界状态；5 5、-1 0-1 0时，振荡发散，系统不稳定；时，振荡发散，系统不稳定；6 6、-11 4 1 时，时，越大，曲线单调上升过程越缓慢；越大，曲线单调上升过程越缓慢；2 2、0 10 1时，时，越小，振荡越严重，超调越大（最越小，振荡越严重，超调越大（最 大超调量大超调量100%100%），衰减越慢；），衰减越慢；系统稳定的临界点；系统稳定的临界点；在一定在一定 下欠阻尼系统比临界阻尼系统更下欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。3.3.33.3.3系统的暂态性能指标系统的暂态性能指标系统的暂态性能指标系统的暂态性能指标(欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼)由方程由方程3.12，令，令y(tr)=1,有有因此，因此，（3.12）=01.50.510tptstBtr(1)(1)上升时间上升时间上升时间上升时间t tr r 由定义知：为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取k=1。（3.18）当 一定时，越小，越小；当 一定时，越大，越小。(2)(2)峰值时间峰值时间峰值时间峰值时间t tp p（3.12）峰峰值值时时间间tp 就就是是式式(3.12)的的一一阶阶导导数数等等于于零零时时所所对应的最小时间。对应的最小时间。因因 按 的定义，应取（3.19）当 一定时，越小，越小；当 一定时，越大，越小。与 有类似的表现。(3)(3)最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量（3.12）将最大峰值时间代入式将最大峰值时间代入式(3.12)中，便得到第一个峰值：中，便得到第一个峰值：因为：因为：得：得：又因：又因：增大，减小超调量只由 决定；(4)(4)调节时间调节时间调节时间调节时间t ts s 根据定义：令：在设计系统时,通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率 来决定。结论：阻尼比是二阶系统的重要参数，由值的大小，可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。一般情况下，系统在欠阻尼情况下工作。调节时间与系统阻尼比和n这两个特征参数的乘积成反比。为了限制超调量，并使调节时间ts较短，阻尼比一般在0.40.8之间，这时阶跃响应的超调量将在25%1.5%之间。3.5 3.5 系统的稳定性分析系统的稳定性分析稳定性的基本概念稳定性的基本概念劳斯判据劳斯判据两种特殊情况两种特殊情况稳定裕量的检验稳定裕量的检验临界放大系数临界放大系数3.5.1稳定性的概念和充分必要条件稳定性的概念和充分必要条件(a)(b)ABA图图(a)(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A A，当小球受到外力作用后偏离当小球受到外力作用后偏离A,A,例如到例如到B,B,当外力去当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)(b)就是不稳定的。就是不稳定的。稳定性的定义稳定性的定义 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统说，稳定性是系统的固有特性，对线性系统说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。外作用无关。线性系统稳定的充分必要条件：线性系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的全部根都是负实数或具系统特征方程式的全部根都是负实数或具有负实部。有负实部。由于特征方程的根是由于特征方程的根是s s平面上一点，所以系平面上一点，所以系统稳定的充要条件是系统的所有极点均在统稳定的充要条件是系统的所有极点均在s s的左半平面的左半平面1 1、列出系统特征方程：、列出系统特征方程：上式中所有系数均为实数，且都大于零上式中所有系数均为实数，且都大于零2 2、按系统特征方程列写劳斯行列表：、按系统特征方程列写劳斯行列表：3.5.2劳斯判据劳斯判据3 3、考察行列表、考察行列表若若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根第一列各数均为正数，则系统的所有特征根均在根平面的左半平面，此系统稳定。均在根平面的左半平面，此系统稳定。若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面根的个数。中符号变化的次数表示右半平面根的个数。例则系统不稳定，且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。）4 4、两种特殊情况、两种特殊情况(1)(1)劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为0 0，其余，其余不为不为0 0或没有。这时可以用一个很小的正数或没有。这时可以用一个很小的正数 来代替来代替这个这个0 0，使运算继续下去。，使运算继续下去。若劳斯表中第一列系数的符号有变化若劳斯表中第一列系数的符号有变化,则系统则系统为不稳定为不稳定 如果第一列如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号上面的系数与其下面的系数符号相同相同,则方程有一对共轭虚根存在则方程有一对共轭虚根存在,系统处于临界稳定系统处于临界稳定(不稳定不稳定)例：已知系统的特征方程式为例：已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。1 1 01 1 02 2 02 2 02 2（2 2）劳斯行列表中第）劳斯行列表中第K K行全部为行全部为0 0。说明有对称于原点。说明有对称于原点的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方法是：法是：（a a）用）用K-1K-1行构成辅助多项式。行构成辅助多项式。（b b）对辅助多项式求导，系数代替对辅助多项式求导，系数代替K K行。继续计算。行。继续计算。（c c）对于对称于原点的根，可由辅助多项式等于对于对称于原点的根，可由辅助多项式等于0 0求求得。得。书本例书本例7 7（1 1）稳定裕量）稳定裕量）稳定裕量）稳定裕量 应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即绝对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定即绝对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动S S平平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：将上式代入原方程，得到将上式代入原方程，得到以以Z Z为变量的新的特征方程，为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度有稳定裕度。3.5.4代数判据的应用代数判据的应用例：例：系统特征方程为系统特征方程为判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在s=-1s=-1的右边。的右边。故故S S右半平面无根。右半平面无根。将将s=z-1s=z-1代入原方程得：代入原方程得：故有一个根在故有一个根在s=-1s=-1的右边。的右边。（2 2）利用代数稳定判据可确定系统个别参数变化对稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数应取值的范围。若讨论的参数为开环放大系数，为使系统稳定的开环放大系数的临界值称为临界放大系数，用K1表示。例：例：或或特征方程为：特征方程为：要使系统稳定，则劳斯表第要使系统稳定，则劳斯表第一列应为正数。即有：一列应为正数。即有：故系统的稳定临界放大系数为故系统的稳定临界放大系数为K=30K=303.6 3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差稳态误差的概念和定义稳态误差的概念和定义给定作用下的稳态误差给定作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差提高系统稳态精度的方法提高系统稳态精度的方法控制系统的性能：动态性能和稳态性能控制系统的性能：动态性能和稳态性能稳态性能用稳态误差稳态性能用稳态误差 来描述来描述讨论稳态误差的前提是系统是稳定的讨论稳态误差的前提是系统是稳定的一、稳态误差的概念一、稳态误差的概念控制系统的典型动态结构图控制系统的典型动态结构图3.6.1 稳态误差的概念与定义稳态误差的概念与定义二、稳态误差的定义二、稳态误差的定义 误差定义为输入量与反馈量的差值误差定义为输入量与反馈量的差值 稳态误差为误差的稳态值稳态误差为误差的稳态值 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入信号的形式和大小有关。其终值为：信号的形式和大小有关。其终值为：设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为：其中其中 为开环增益，为开环增益，为系统中含有的积为系统中含有的积分环节数分环节数 对应于对应于 的系统分别称为的系统分别称为0 0型，型，型和型和型系统。型系统。3.6.2 系统的分类系统的分类 3.6.3 给定作用下的稳态误差给定作用下的稳态误差（1）单位阶跃函数输入单位阶跃函数输入其中：其中：给定输入：给定输入：稳态误差：稳态误差：0型系统：型系统：型系统：型系统：型系统：型系统：由由于于0 0型型系系统统无无积积分分环环节节，其其阶阶跃跃输输入入时时的的稳稳态态误误差差为为与与K K有有关关的的一一定定值值，因因此常称为此常称为有差系统有差系统。为为减减小小稳稳态态误误差差，可可在在稳稳定定条条件件允允许许的前提下，的前提下，增大增大K K值值。若若要要求求系系统统对对阶阶跃跃输输入入的的稳稳态态误误差差为为零，则应使系统的类型高于零，则应使系统的类型高于I I型。型。（2）单位单位 斜坡函数输入斜坡函数输入给定输入：给定输入：稳态误差：稳态误差：其中：其中：0型系统：型系统：型系统：型系统：型系统：型系统：可见，可见，0 0型系统不能跟踪斜坡输入信型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移号。随时间的推移,误差越来越大；误差越来越大；I I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与具有与K K有关的稳态误差，可用增加有关的稳态误差，可用增加K K的方法提高稳态精度；的方法提高稳态精度；IIII型及以上系统可完全跟踪斜坡输型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。入信号，即稳态误差为零。（3）单位单位 抛物线函数输入抛物线函数输入给定输入：给定输入：稳态误差：稳态误差：其中：其中：0型系统：型系统：型系统：型系统：型系统：型系统：对于对于型系统及以上系统：型系统及以上系统：可见，可见，I I型及以下系统不能跟踪抛物线输型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；入，误差越来越大；IIII型系统可以跟踪抛物线输入信号。但型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与具有与K K有关的稳态误差，可用增加有关的稳态误差，可用增加K K的的方法提高稳态精度；方法提高稳态精度；IIIIII型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。号，即稳态误差为零。小结：小结：给定信号输入下的给定稳态误差给定信号输入下的给定稳态误差ess阶跃阶跃 u(t)=R1(t)斜坡斜坡 u(t)=Rt 抛物线抛物线 u(t)=Rt2/2Kp=K Kv=0 Ka=0 Kp=0Kv=K Ka=0 0 型型系统系统 1 型型系统系统 2 型型系统系统 Kp=00 Kv=Ka=K Kp 稳态位置偏差系数稳态位置偏差系数Kv 稳态速度偏差系数稳态速度偏差系数 Ka 稳态加速度偏差系数稳态加速度偏差系数对对角角线线上上出出现现的的稳稳态态偏偏差差具具有有有有限限值值，对对角角线线以以上上出出现现的的稳稳态态偏偏差差为为，对对角角线线以以下下出出现现的的稳稳态态偏差为偏差为零零。