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统计学统计学主编：费宇，石磊主编：费宇，石磊第五章第五章 方差分析方差分析2023/4/10统计学第5章方差分析5-3 方差分析是统计检验的一方差分析是统计检验的一种。由英国著名统计学家：种。由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，推导出来的，也叫也叫F F 检验。检验。用于分析试用于分析试验数据中各个因素对试验验数据中各个因素对试验指标值影响显著程度的一指标值影响显著程度的一种统计方法。种统计方法。2023/4/10统计学第5章方差分析5-4主要内容主要内容F1.1 1.1 方差分析的思想及基本概念方差分析的思想及基本概念F1.2 1.2 单因素方差分析单因素方差分析F1.3 1.3 双因素方差分析双因素方差分析2023/4/10统计学第5章方差分析5-55.1 5.1 方差分析的方差分析的思想及思想及基本概念基本概念 方差分析方差分析（analysis of variance,analysis of variance,简记为简记为ANOVAANOVA）的主要思想是将影响指）的主要思想是将影响指标值的一个或几个因素取不同的水平，标值的一个或几个因素取不同的水平，然后建立相应的方差分析模型，由此给然后建立相应的方差分析模型，由此给出检验因素的不同水平对指标值是否有出检验因素的不同水平对指标值是否有显著影响的统计分析过程。显著影响的统计分析过程。2023/4/10统计学第5章方差分析5-6方差分析的基本概念方差分析的基本概念 因变量因变量（dependent variable）：也称为响应变量：也称为响应变量（response variable）或指标值，它是指在我们在研或指标值，它是指在我们在研究问题中最感兴趣的测量指标。究问题中最感兴趣的测量指标。因素因素（factor）：也称为自变量，是指那些可能对：也称为自变量，是指那些可能对指标值产生影响的变量指标值产生影响的变量。水平水平（level）：因素的不同取值也称为因素的不同取值也称为“处理处理”（treatment）。2023/4/10统计学第5章方差分析5-75.2 5.2 单因素方差分析单因素方差分析5.2.1 5.2.1 单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构 在单因素方差分析中，记因素为在单因素方差分析中，记因素为 ，其有其有个水平，指标值在因素个水平，指标值在因素 的第的第 水平上等重复水平上等重复的取的取 个数值，个数值，第第个重复观测值为个重复观测值为 ，则数据结构可写为：，则数据结构可写为：2023/4/10统计学第5章方差分析5-8表表5.1 5.1 单因素方差分析数据单因素方差分析数据2023/4/10统计学第5章方差分析5-95.2.2 5.2.2 单因素方差分析的统计模型单因素方差分析的统计模型 在表在表5.1中，假中，假设设不同水平上不同水平上观测观测数据相互独立，数据相互独立，同一水平中，同一水平中，n个重复个重复观测观测数据也相互独立，数据也相互独立，具有具有常数方差常数方差。描述方差分析的。描述方差分析的统计统计模型模型为为：其中，其中，表示因素表示因素表示随机表示随机误误差。且差。且 第第表示表示观测观测指指标值标值的的总总平均，平均，水平上的主效水平上的主效应应，满满足足约约束条件束条件 。（5.1），2023/4/10统计学第5章方差分析5-10 利用最小二乘估计理论，可以得到模型利用最小二乘估计理论，可以得到模型（5.1）参数的估计如下：参数的估计如下：其中其中为为数据的数据的总总平均，平均，为为数据表中的行平均。数据表中的行平均。2023/4/10统计学第5章方差分析5-115.2.3 5.2.3 单因素方差分析检验过程和单因素方差分析检验过程和 方差分析表方差分析表 因素因素对试验结对试验结果果的影响，可以表述的影响，可以表述为为 （5.2）对对如下假如下假设问题设问题的检验，该假设的检验可以通过平方和分解得到。的检验，该假设的检验可以通过平方和分解得到。2023/4/10统计学第5章方差分析5-12总平方和的分解组间平组间平方和方和总平方和总平方和组内平组内平方和方和2023/4/10统计学第5章方差分析5-13 总平方和总平方和:所有测量值之间总的变异所有测量值之间总的变异程度，程度，计算公式计算公式自由度自由度2023/4/10统计学第5章方差分析5-14 组组间间平平方方和和：各各组组均均数数与与总总均均数数的的差差值值的平方和，的平方和，计算公式为计算公式为自由度自由度2023/4/10统计学第5章方差分析5-15 组组内内平平方方和和：用用各各组组内内各各测测量量值值Y Yijij与与其其所所在在组组的的均均数数差差值值的的平平方方和和来来表表示示，反反映映随随机机误差误差的影响。的影响。计算公式为计算公式为自由度自由度2023/4/10统计学第5章方差分析5-16三种三种“平方和平方和”之间的关之间的关系系平方和平方和分解分解：2023/4/10统计学第5章方差分析5-17 由于上述几种平方和的数值受到样本量和水由于上述几种平方和的数值受到样本量和水平数的影响，一种更为科学的方法是将各部分平数的影响，一种更为科学的方法是将各部分平方和除以相应自由度，其比值称为平方和除以相应自由度，其比值称为均方和均方和，简称简称均方均方(mean square，MS)，即，即 上式中分母的数值为对应平方和的自由度上式中分母的数值为对应平方和的自由度。2023/4/10统计学第5章方差分析5-18 ，则则拒拒绝绝零假零假设设，即，即认为认为因素因素对对指指标值标值（或（或试验结试验结果）有果）有显显著影响，否著影响，否则认则认统计统计量的数量的数值值大于大于对给对给定置信水平定置信水平 ，没有没有显显著影响。著影响。为因素为因素为了检验为了检验 ，定义，定义F统计量统计量2023/4/10统计学第5章方差分析5-19 接受域 拒绝域2023/4/10统计学第5章方差分析5-20 将上述主要结果总结成一个表格，称为方差分将上述主要结果总结成一个表格，称为方差分析表，可以直观反映方差分析的计算及检验过程。析表，可以直观反映方差分析的计算及检验过程。表表5.2 5.2 单因素方差分析表单因素方差分析表2023/4/10统计学第5章方差分析5-21 【例例5.1】（方差分析，数据文件（方差分析，数据文件example 5.0）在在0.05的置信水平下，研究例的置信水平下，研究例5.0表的试表的试验中咖啡因用量是否对人体神经功能有显著验中咖啡因用量是否对人体神经功能有显著影响，并说明在那些水平上他们有显著差异影响，并说明在那些水平上他们有显著差异?2023/4/10统计学第5章方差分析5-22 解解：用：用SPSS打开数据文件，打开数据文件，选择选择AnalyzeCompare meansOne-way ANOVA，将因，将因变变量量选选入到入到Dependent list中，将因素中，将因素A选选入到入到Factor中，中，点点击进击进入入Option对话对话框，框，在在Statistics下下选择选择Homogeneity of variance test，最后点，最后点击击ContinueOk，输输出表出表5.3和表和表5.4两个表格。两个表格。2023/4/10统计学第5章方差分析5-23表表5.3 5.3 咖啡因用量实验的方差一咖啡因用量实验的方差一致性检验致性检验表表5.4 5.4 咖啡因用量实验的方差分析表咖啡因用量实验的方差分析表输出结果输出结果2023/4/10统计学第5章方差分析5-24 表表5.35.3给出了对样本方差齐性的检验，检验的给出了对样本方差齐性的检验，检验的p p-值值(即表中的即表中的Sig.)为为0.749大于置信水平大于置信水平0.05，因，因此不能拒绝方差齐性的假设，即认为各水平样本此不能拒绝方差齐性的假设，即认为各水平样本方式是常数，满足我们的假设。表方式是常数，满足我们的假设。表5.4给出了单因给出了单因素方差分析表，素方差分析表，说明咖啡因服用量对人体神经功说明咖啡因服用量对人体神经功能有显著影响。能有显著影响。2023/4/10统计学第5章方差分析5-255.2.4 5.2.4 多重比较多重比较 1、多个总体的差异性检验多个总体的差异性检验 事实上表事实上表5.15.1中不同水平的观测可以看成是中不同水平的观测可以看成是来自不同总体的观测数据。假设第来自不同总体的观测数据。假设第 个总体有个总体有 个样本个样本(对应于表对应于表5.15.1中的第中的第 个水平的次重复个水平的次重复观测观测)，他他们为们为来自第来自第 个个总总体体的独立的独立样样本本。2023/4/10统计学第5章方差分析5-26多个总体是否存在差异的假设问题可以多个总体是否存在差异的假设问题可以 表述为：表述为：，而该检验，而该检验当当统计统计量的数量的数值值大于大于 一节的方差分析法，一节的方差分析法，与（与（5.25.2）中的假设是等价的。）中的假设是等价的。因此，利用上因此，利用上其其临临界界值值 时，我们认为时，我们认为 个总个总体存在显著差异。体存在显著差异。2023/4/10统计学第5章方差分析5-272、多重比较多重比较不拒绝不拒绝H0，表示拒绝总体均值相等的证据不足，表示拒绝总体均值相等的证据不足 分析终止。分析终止。拒绝拒绝H0，接受，接受H1,表示总体均值不全相等表示总体均值不全相等 哪两两均数之间相等？哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？哪两两均数之间不等？需要进一步作多重比较。需要进一步作多重比较。2023/4/10统计学第5章方差分析5-28 一种使用比较多的是所有成对假设，形成一种使用比较多的是所有成对假设，形成如下的假设问题：如下的假设问题：注意到注意到与与是等价的。因此是等价的。因此 该该假假设设中共有中共有个不同的成个不同的成对对比比较较。（5.75.7）2023/4/10统计学第5章方差分析5-29 多重比较的特点是它同时对多个成对假设进多重比较的特点是它同时对多个成对假设进行比较。多种比较的思想有两种，一是寻找每一行比较。多种比较的思想有两种，一是寻找每一个成对假设的检验统计量，给出检验临界值，通个成对假设的检验统计量，给出检验临界值，通过比较界定显著程度；二是使用同时置信区间过比较界定显著程度；二是使用同时置信区间(simultaneous confidence interval)(simultaneous confidence interval)的概念。的概念。多重比较有许多种方法，使用比较多的包括多重比较有许多种方法，使用比较多的包括FisherFisher的的LSDLSD方法，方法，TurkeyTurkey方法，方法，BonferroniBonferroni方法方法等。我们下面通过实例来说明在等。我们下面通过实例来说明在SPSSSPSS下如何进行下如何进行多重比较。多重比较。2023/4/10统计学第5章方差分析5-30 【例例5.25.2】（多重比较（多重比较,数据文数据文example example 5.05.0）在）在0.050.05的置信水平下，例的置信水平下，例5.05.0的试验的试验中咖啡因用量在那些水平上有显著差异？中咖啡因用量在那些水平上有显著差异？2023/4/10统计学第5章方差分析5-31 解解：用：用SPSS打开数据文件，打开数据文件，选择选择Analyze表表5.5的结果。的结果。选选入到入到Dependent list中，将因素中，将因素A选选入到入到Factor中，中，点点击进击进入入Post Hoc，进入后在，进入后在Equal Variance Assumed（假设方差齐性）下选定（假设方差齐性）下选定Turkey，LSD和和Bonferroni选项，点击选项，点击Continue Ok，可以得到可以得到 Compare meansOne-way ANOVA，将因，将因变变量量2023/4/10统计学第5章方差分析5-32表表5.5 5.5 咖啡因用量实验的多重比输出结果咖啡因用量实验的多重比输出结果2023/4/10统计学第5章方差分析5-33 这里我们选用三种方法，输出结果给出了基于这这里我们选用三种方法，输出结果给出了基于这三种方法下的多重比较结果，包括研究统计量及其三种方法下的多重比较结果，包括研究统计量及其p p-值和值和95%95%的同时置信区间。三种方法的结果是一致的同时置信区间。三种方法的结果是一致的。从检验统计量的的。从检验统计量的p p-值可以看出咖啡因剂量在值可以看出咖啡因剂量在0mg水平与水平与200mg水平上有显著差异（水平上有显著差异（p p-值值0.050.05），但），但在在0mg水平与水平与100mg水平和水平和100mg水平与水平与200mg水平水平之间没有显著差异。从同时置信区间也可以发现，成之间没有显著差异。从同时置信区间也可以发现，成对比较差异显著时，其对应的同时置信区间不包含对比较差异显著时，其对应的同时置信区间不包含0 0。此外此外0mg-200mg与与200mg-0mg的比较的检验结果是一的比较的检验结果是一致的，但其同时置信区间的上下限要互换。致的，但其同时置信区间的上下限要互换。2023/4/10统计学第5章方差分析5-345.3 双因素方差分析双因素方差分析5.3.1 5.3.1 双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的数据结构 假假设设除了除了5.2节节介介绍绍的因素的因素之外，之外，还还有一有一可能可能对对指指标产标产生影响。假生影响。假设设因素因素有有个水平，个水平，这样这样因素因素就有就有组组合。假合。假设设在每一个水平在每一个水平组组合上合上进进行相等重复行相等重复数的数的观测观测，称之，称之为为等重复等重复试验试验，本，本节节主要研究主要研究等重复等重复试验试验数据的双因素方差分析。双因素方数据的双因素方差分析。双因素方差分析模型的数据差分析模型的数据结结构如下：构如下：个因素个因素和和个水平个水平2023/4/10统计学第5章方差分析5-35表表5.6 5.6 双因素方差分析数据双因素方差分析数据2023/4/10统计学第5章方差分析5-36其中其中表示在因素表示在因素的第的第个水平和因素个水平和因素的第的第个水平上个水平上进进行的第行的第次重复次重复观测结观测结果。果。5.3.2 5.3.2 有可加效应的双因素方差分析有可加效应的双因素方差分析 1.1.模型结构模型结构 假设不同水平上观测数据相互独立，同一假设不同水平上观测数据相互独立，同一水平中，水平中，n个重复观测数据也相互独立，个重复观测数据也相互独立，具有具有 2023/4/10统计学第5章方差分析5-37常数方差常数方差 效应的情况，此时双因素方差分析模型表述为效应的情况，此时双因素方差分析模型表述为:。先考虑可加效应模型，即没有交互。先考虑可加效应模型，即没有交互（5.8）其中，其中，表示表示观观 测测指指标值标值的的总总平均，平均，表示因素表示因素第第水平上水平上的主效的主效应应，表示因素表示因素第第水平上的主效水平上的主效应应，表示随机误差。表示随机误差。且且 ，。2023/4/10统计学第5章方差分析5-38 利用最小二乘估计理论，可以得到模型利用最小二乘估计理论，可以得到模型（5.8）中参数的估计如下：中参数的估计如下：其中其中2023/4/10统计学第5章方差分析5-392.2.方差分解方差分解 对对双因素方差模型，将涉及两个因素主效双因素方差模型，将涉及两个因素主效应应的的检验检验。因素。因素的的显显著性假著性假设为设为：而而对对因素因素，显显著性假著性假设为设为2023/4/10统计学第5章方差分析5-40仿单因素方差分析的方法，考察总平方和仿单因素方差分析的方法，考察总平方和可分解为：可分解为：2023/4/10统计学第5章方差分析5-41称为因素称为因素A的离差平方和，的离差平方和，反映因素反映因素 A 对试验指标的影响。对试验指标的影响。称为因素称为因素B的离差平方和，的离差平方和，反映因素反映因素 B 对试验指标的影响。对试验指标的影响。2023/4/10统计学第5章方差分析5-42消除自由度的影响后，定义均方和如下：消除自由度的影响后，定义均方和如下：上式中分母的数值为对应平方和的自由度。上式中分母的数值为对应平方和的自由度。自由度自由度数值也满足分解等式。数值也满足分解等式。称为误差平方和，称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。反映试验误差对试验指标的影响。2023/4/10统计学第5章方差分析5-43为为了了给给出假出假设问题设问题和和的的检验过检验过程，程，定定义义如下两个如下两个统计统计量：量：（5.12）（5.13）2023/4/10统计学第5章方差分析5-44可以可以证证明，当明，当成立成立时时，当当成立成立时时，2023/4/10统计学第5章方差分析5-45时，时，当当对给定的检验水平对给定的检验水平 ，拒绝拒绝 ，即认为因素，即认为因素A对指标值有显著影响。对指标值有显著影响。时，时，当当拒绝拒绝 ，即认为因素，即认为因素B对指标值有显著影响。对指标值有显著影响。F 右侧检验右侧检验2023/4/10统计学第5章方差分析5-46 【例例5.55.5】（两因素可加效应模型，数据（两因素可加效应模型，数据文件文件example5.5example5.5）有四种品牌）有四种品牌(brand)(brand)的饮的饮料在四个地区料在四个地区(district)(district)销售，在每一个地销售，在每一个地区对每一种品牌的饮料销售量观测两次（上区对每一种品牌的饮料销售量观测两次（上半年一次，下半年一次）得到数据如表半年一次，下半年一次）得到数据如表5.75.7所示。在所示。在0.050.05的置信水平下，问品牌及地区的置信水平下，问品牌及地区对饮料的销售量是否有显著影响？对饮料的销售量是否有显著影响？2023/4/10统计学第5章方差分析5-47表表5.7 饮料品牌及销售数据饮料品牌及销售数据2023/4/10统计学第5章方差分析5-48解解：用：用SPSS打开数据文件，选择打开数据文件，选择 AnalysisGeneralized linear model Univariate,将因将因变变量量选选入到入到Dependent variable中，中，将将brand和和district两个两个因素选入到因素选入到Fixed factor中，中，点击点击Model，然后，然后选择选择Custom（这样是模型中不包括交互效应），这样是模型中不包括交互效应），在在Build term中选择中选择Main effects，再把再把brand和和district 出如表出如表5.85.8的结果。的结果。选入选入Model，选择选择Include intercept in model ，以确定，以确定 模型中包含常数项，模型中包含常数项，最后点最后点击击ContinueOk，输，输 2023/4/10统计学第5章方差分析5-49表表5.8 饮料品牌及销售数据的方差分析表饮料品牌及销售数据的方差分析表2023/4/10统计学第5章方差分析5-50在表在表5.85.8中，输出结果没有交互效应参数。从中，输出结果没有交互效应参数。从p p-值（值（Sig.Sig.）可以看出，在）可以看出，在0.050.05的置信水平下，的置信水平下，brand的主效应显著，但的主效应显著，但district的主效应不显著。的主效应不显著。因此说明如果仅考虑可加模型，品牌对销售量有因此说明如果仅考虑可加模型，品牌对销售量有显著影响，但对地区没有显著影响。显著影响，但对地区没有显著影响。2023/4/10统计学第5章方差分析5-515.3.5.3.有交互效应的双因素方差分析有交互效应的双因素方差分析 当考虑有交互效应时，双因素方差分析模型当考虑有交互效应时，双因素方差分析模型表述为：表述为：（5.14）上式中参数上式中参数表示交互效表示交互效应应，它它满满足足约约束条件束条件，、模型结构、模型结构2023/4/10统计学第5章方差分析5-52其他参数的假设与模型（其他参数的假设与模型（5.85.8）相同。利用）相同。利用最小二乘估计理论，可以得到模型（最小二乘估计理论，可以得到模型（5.145.14）中）中参数的估计如下：参数的估计如下：其中其中 。2023/4/10统计学第5章方差分析5-532.2.方差分解方差分解对对具有交互效具有交互效应应的双因素方差模型中效的双因素方差模型中效应应参数的参数的检验检验，除，除5.3.25.3.2节节中的中的和和之外，之外，与因素与因素的交互效的交互效应显应显著性假著性假设设表述表述为为：还还涉及交互效涉及交互效应应的假的假设检验设检验。因素。因素2023/4/10统计学第5章方差分析5-54仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和可分解为：可分解为：SSA称为称为因素因素A的离差平方和的离差平方和，反映因素，反映因素 A 对试验对试验指标的影响。指标的影响。SSB称为称为因素因素B的离差平方和的离差平方和，反映因素，反映因素 B 对试验指标的影响。对试验指标的影响。SSAB称为称为交互作用的离差平方交互作用的离差平方和和，反映交互作用，反映交互作用A与与B对试验指标的影响。对试验指标的影响。SSE称为称为误差平方和误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。，反映试验误差对试验指标的影响。2023/4/10统计学第5章方差分析5-55其中其中2023/4/10统计学第5章方差分析5-56类似的，均方和定义为：类似的，均方和定义为：上式中分母的数值为对应平方和的自由度，自由上式中分母的数值为对应平方和的自由度，自由度数值也满足分解等式。度数值也满足分解等式。2023/4/10统计学第5章方差分析5-573.3.检验过程检验过程 对具有交互效应的双因素方差分析问题，对参数的对具有交互效应的双因素方差分析问题，对参数的检验分为两个步骤：检验分为两个步骤：第一步：首先检验交互效应，定义检验统计量：第一步：首先检验交互效应，定义检验统计量：2023/4/10统计学第5章方差分析5-58对给定的检验水平对给定的检验水平 ，即认为交互效应显著。即认为交互效应显著。时，拒绝时，拒绝当当可以可以证证明，当明，当成立时，成立时，。2023/4/10统计学第5章方差分析5-59第二步：如果在第一步中交互效应显著，定义检验第二步：如果在第一步中交互效应显著，定义检验 和和的两个的两个统计统计量分量分别为别为用用类类似的方法似的方法检验检验因素因素 与因素与因素的主效的主效应应是否是否显显著。著。2023/4/10统计学第5章方差分析5-60如果第一步中交互效如果第一步中交互效应应不不显显著，著，则则因素因素与因素与因素的主效的主效应应的的检验检验采用采用5.3.1节节中可加效中可加效效效应模型的方法检验主效应。应模型的方法检验主效应。2023/4/10统计学第5章方差分析5-61 两因素方差分析的检验过程可以通过双因素两因素方差分析的检验过程可以通过双因素方差分析表反映出来：方差分析表反映出来：表表5.9 双因素方差分析表双因素方差分析表2023/4/10统计学第5章方差分析5-62 【例例5.6】（两因素交互效应模型，数（两因素交互效应模型，数据文件据文件example5.5）在例）在例5.5的例子中，问的例子中，问品牌和地区是否存在交互效应？品牌和地区是否存在交互效应？2023/4/10统计学第5章方差分析5-63解解：用：用SPSS打开数据文件，选择打开数据文件，选择 AnalysisGeneralized linear model Univariate,将因将因变变量量选选入到入到Dependent variable中，中，将将brand和和district两个两个因素选入到因素选入到Fixed factor中，中，点击点击Model，然后，然后选择选择Full factorial（或选择或选择Custom，在，在Build term中选择中选择Main effects，再把再把brand和和district 选入选入Model，再在再在 Build term 中选择中选择Interaction，把，把brand和和district选选入入Model，出现，出现brand*district项），选择项），选择Include intercept in model，模型中包含常数项，最后点击模型中包含常数项，最后点击ContinueOk，输出如表，输出如表5.10的结果。的结果。2023/4/10统计学第5章方差分析5-64表表5.10 饮料品牌、地区及销售数据的方差分析表饮料品牌、地区及销售数据的方差分析表 2023/4/10统计学第5章方差分析5-65 从表从表5.10中看出，此时有交互效应项出现，其中看出，此时有交互效应项出现，其p p-值明显小于值明显小于0.05，因此交互效应显著。与例，因此交互效应显著。与例5.5比较比较看出，在考虑了交互效应之后，看出，在考虑了交互效应之后，brand和和district均均显著（无交互效应时，显著（无交互效应时，district不显著），因此我们不显著），因此我们可以得出结论：品牌和地区对饮料销售量有显著影可以得出结论：品牌和地区对饮料销售量有显著影响，同时不同品牌在不同地区的销售量有显著差异响，同时不同品牌在不同地区的销售量有显著差异（即交互效应显著）。（即交互效应显著）。2023/4/10统计学第5章方差分析5-66F本章主要介绍方差分析的主要原理和方法，包括单本章主要介绍方差分析的主要原理和方法，包括单因素方差分析和双因素方法分析。双因素方差分析因素方差分析和双因素方法分析。双因素方差分析分别介绍了可效应模型和交互效应模型的原理和方分别介绍了可效应模型和交互效应模型的原理和方法。在每一种情况，介绍了方差分析的数据结构、法。在每一种情况，介绍了方差分析的数据结构、统计模型、检验统计量和方差分析表。同时通过实统计模型、检验统计量和方差分析表。同时通过实例和例和SPSSSPSS软件的使用，使读者能将理论和应用有机软件的使用，使读者能将理论和应用有机的结合起来。的结合起来。F本章的主要概念包括主效应、交互效应、因素、指本章的主要概念包括主效应、交互效应、因素、指标值、假设、标值、假设、F F统计量、多重比较、方差分析表等。统计量、多重比较、方差分析表等。重点是重点是F F统计量的检验原理，方差分析表的含义及统计量的检验原理，方差分析表的含义及如何使用如何使用SPSSSPSS软件进行方差分析的计算和解释。软件进行方差分析的计算和解释。本章小结本章小结2023/4/10统计学第5章方差分析5-67F （1）本章我们仅考虑单因素和双因素的方差分析本章我们仅考虑单因素和双因素的方差分析模型，多因素也可类似处理。但当因素较多时，所模型，多因素也可类似处理。但当因素较多时，所有可能的水平组合大幅增大，这样将会增加试验的有可能的水平组合大幅增大，这样将会增加试验的成本。一种通过试验设计方法，用较少量的数据成本。一种通过试验设计方法，用较少量的数据（部分试验，即不是在每一个水平组合上都做试验）（部分试验，即不是在每一个水平组合上都做试验）获得所需要的效应估计及检验结果的方法称为析因获得所需要的效应估计及检验结果的方法称为析因试验，它是试验设计试验，它是试验设计(design of experiment)(design of experiment)的一的一个重要内容，它将涉及区组设计、正交设计等内容。个重要内容，它将涉及区组设计、正交设计等内容。有兴趣的读者可参看这方面的著作。有兴趣的读者可参看这方面的著作。进一步的阅读进一步的阅读 2023/4/10统计学第5章方差分析5-68F （2）本章考虑的方差分析仅给出了等重复试验本章考虑的方差分析仅给出了等重复试验数据的方差分析内容，在许多观测数据中，获得数据的方差分析内容，在许多观测数据中，获得的数据的重复个数不一定相等（即的数据的重复个数不一定相等（即 不同），这不同），这样的数据称之为不等重复数据（试验）。对这种样的数据称之为不等重复数据（试验）。对这种数据，本章介绍的单因素方差分析仍然可以使用，数据，本章介绍的单因素方差分析仍然可以使用，只要将涉及只要将涉及 的值改为的值改为 即即可。但对双因素方差分析模型，不等重复数据下可。但对双因素方差分析模型，不等重复数据下就不同了，此时平方和分解等式不再成立，因此就不同了，此时平方和分解等式不再成立，因此无法得到简洁的检验公式。对这种数据只能通过无法得到简洁的检验公式。对这种数据只能通过回归的方法处理，当然，计算就比较复杂。回归的方法处理，当然，计算就比较复杂。2023/4/10统计学第5章方差分析5-69F（3）与方差分析紧密相关的一个内容是协方差分与方差分析紧密相关的一个内容是协方差分析析(analysis of covariance),(analysis of covariance),例如在两水平交互效例如在两水平交互效应模型下，如果还存在另一个定量变量，对试验结应模型下，如果还存在另一个定量变量，对试验结果（或因变量）也有影响，此时就要考虑如何在考果（或因变量）也有影响，此时就要考虑如何在考虑该变量的影响的情况下研究因素的影响，该模型虑该变量的影响的情况下研究因素的影响，该模型可以表述为：可以表述为：这样的模型称之为协方这样的模型称之为协方差分析。差分析。SPSSSPSS输出中有相应的选项输出中有相应的选项(covariance),(covariance),只只要将该变量点入到要将该变量点入到covariancecovariance中即可。中即可。2023/4/10统计学第5章方差分析5-70F（4 4）本章中的因变量是一元变量，如果考虑的是）本章中的因变量是一元变量，如果考虑的是多元变量，对应的内容称之为多元方差分析多元变量，对应的内容称之为多元方差分析(MANOVA)(MANOVA)。SPSSSPSS中在中在Analysis Analysis 中可以找到相应的选项，操作方式类似于一元情况中可以找到相应的选项，操作方式类似于一元情况,此时此时Dependent variableDependent variable选项中可以同时点入多个选项中可以同时点入多个因变量。因变量。Generalized linear modelGeneralized linear modelMultivariate Multivariate 2023/4/10统计学第5章方差分析5-71案例案例:某种品牌饮料销售的销售某种品牌饮料销售的销售数据数据 （数据文件为（数据文件为case-study 5）为了研究某种品牌的饮）为了研究某种品牌的饮料销售情况是否依赖其包装方式和广告宣传方式。在料销售情况是否依赖其包装方式和广告宣传方式。在一家商店设置货架一家商店设置货架1和货架和货架2，分别采用不同的广告宣，分别采用不同的广告宣传方式。在每一个货架上，放置传方式。在每一个货架上，放置3中不同包装的饮料。中不同包装的饮料。一共收集到一共收集到18天的销售数据。天的销售数据。2023/4/10统计学第5章方差分析5-72讨论讨论 1.1.如果仅考虑包装对销售量的影响，用单因素如果仅考虑包装对销售量的影响，用单因素方差分析法研究包装对销售量是否存在影响。方差分析法研究包装对销售量是否存在影响。2.2.如果仅考虑广告宣传对销售量的影响，用单如果仅考虑广告宣传对销售量的影响，用单因素方差分析法研究其显著性程度。因素方差分析法研究其显著性程度。3.3.如果同时考虑包装和广告因素的影响，问是如果同时考虑包装和广告因素的影响，问是否存在交互效应？此时对主效应的检验与否存在交互效应？此时对主效应的检验与1 1，2 2有什有什么不同？么不同？