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前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计,它是用它是用样本算得的一个估计值去估计未知参数样本算得的一个估计值去估计未知参数.但但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，这是点它没有反映出这个近似值的误差范围，这是点估计的一个缺陷。下面我们将介绍的区间估计估计的一个缺陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷.6.5 6.5 区间估计区间估计16.5.1 区间估计的概念区间估计的概念 定义定义6.5.1 设设 是总体的一个参数，其参数空间为是总体的一个参数，其参数空间为，x1,x2,xn是来自该总体的样本，对给定的一个是来自该总体的样本，对给定的一个 (0 1)，若有两个统计量，若有两个统计量 和和 ，若对任意的，若对任意的 ，有，有 （6.5.1）2 则称随机区间则称随机区间 为为 的的置信水平为置信水平为1-的置信区间的置信区间，或简称或简称 是是 的的1-置信置信区间区间.和和 分别称为分别称为 的的（双侧）（双侧）置信下限和置置信下限和置信上限信上限.这里置信水平这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有信区间时，至少有100(1-)%的区间含有的区间含有 。3例例6.5.1 设设x1,x2,x10是来自是来自N(,2)的样本，的样本，则则 的置信水平为的置信水平为1-的置信区间为的置信区间为 其中，其中，、s 分别为样本均值和样本标准差。这分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。它来说明置信区间的含义。若取若取 =0.10，则，则t0.95(9)=1.8331，上式化为，上式化为4 现假定现假定 =15,2=4，则我们可以用随机模拟方法，则我们可以用随机模拟方法由由N(15,4)产生一个容量为产生一个容量为10的样本，如下即是这的样本，如下即是这样一个样本：样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得由该样本可以算得 从而得到从而得到 的一个区间估计为的一个区间估计为 该区间包含该区间包含 的真值的真值15。现重复这样的方法。现重复这样的方法100次，次，可以得到可以得到100个样本，也就得到个样本，也就得到100个区个区 间，我们间，我们将这将这100个区间画在图个区间画在图6.5.1上。上。5 由图由图6.5.1可以看出，可以看出，这这100个个区间中有区间中有91个包含个包含参数真值参数真值15，另外，另外9个不包个不包含参数真含参数真值。值。图图6.5.1 的置信水平为的置信水平为0.90的置信区间的置信区间 6 取取=0.50，我，我们也可以给们也可以给出出100个这样个这样的区间，见的区间，见图图6.5.2。可。可以看出，这以看出，这100个区间中个区间中有有50个包含个包含参数真值参数真值15，另外，另外50个个不包含参数不包含参数真值。真值。图图6.5.2 的置信水平为的置信水平为0.50的置信区间的置信区间 7定义定义6.5.2 沿用定义沿用定义6.5.1的记号，如对给定的的记号，如对给定的 (0 1)，对任意的，对任意的，有，有 （6.5.2）称称 为为 的的1-同等置信区间同等置信区间。8定义定义6.5.36.5.3 若对给定的若对给定的 (0 1)和任意的和任意的，有有 ，则称，则称 为为 的置信水平为的置信水平为1-的的（单侧）置信下限。（单侧）置信下限。假如等号对一切假如等号对一切 成立，成立，则称则称 为为 的的1-同等置信下限同等置信下限。若对给定的若对给定的 (0 1)和任意的和任意的，有，有 ,则称则称 为为 的置信水平为的置信水平为1-的的（单侧）置信上限（单侧）置信上限。若等号若等号对一切对一切 成立，则称成立，则称 为为1-同等置信上限同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。9 构造未知参数构造未知参数 的置信区间的最常用的方法是的置信区间的最常用的方法是枢轴量枢轴量法，法，其步骤可以概括为如下三步：其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和设法构造一个样本和 的函数的函数 G=G(x1,x2,xn,)使得使得G的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的性质的G为枢轴量。为枢轴量。2.适当地选择两个常数适当地选择两个常数c,d，使对给定的，使对给定的 (0 1)有有P(cGd)=1-3.假如能将假如能将cG d 进行不等式等价变形化为进行不等式等价变形化为 则则 ，是是 的的1-同等置信区间。同等置信区间。6.5.2 6.5.2 枢轴量法枢轴量法10关于置信区间的构造有关于置信区间的构造有两点说明：两点说明：满足置信度要求的满足置信度要求的c与与d通常不唯一。若有可能，通常不唯一。若有可能，应选平均长度应选平均长度 达到最短的达到最短的c与与d，这在，这在G的的分布为对称分布场合通常容易实现。分布为对称分布场合通常容易实现。实际中，选平均长度实际中，选平均长度 尽可能短的尽可能短的c c与与d d，这这往往很难实现，因此，常这样选择往往很难实现，因此，常这样选择 c c与与d d，使得两，使得两个尾部概率各为个尾部概率各为 /2，即，即P(Gd)=/2，这，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分的分布为偏态分布场合常采用的方法。布为偏态分布场合常采用的方法。11一、一、已知时已知时 的置信区间的置信区间 在这种情况下，枢轴量可选为在这种情况下，枢轴量可选为 ，c和和d应满应满足足P(cGd)=(d)-(c)=1-，经过不等式变形可得经过不等式变形可得 该区间长度为该区间长度为 。当。当d=-c=u1-/2时，时，d-c达到最小，达到最小，由此给出了的同等置信区间为由此给出了的同等置信区间为 ，。（6.5.8）这是一个以这是一个以 为中心，半径为为中心，半径为 的对称区间，常的对称区间，常 将之表示为将之表示为 。6.5.3 6.5.3 单个正态总体参数的置信区间单个正态总体参数的置信区间12例例6.5.3 用天平秤某物体的重量用天平秤某物体的重量9次，得平均值为次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为其标准差为0.1克。试求该物体重量的克。试求该物体重量的0.95置信区置信区间。间。解：解：此处此处1-=0.95，=0.05，查表知，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量于是该物体重量 的的0.95置信区间为置信区间为 ，从而该物体重量的从而该物体重量的0.95置信区间为置信区间为 15.3347，15.4653。13例例6.5.4 设总体为正态分布设总体为正态分布N(,1)，为得到，为得到 的置信的置信水平为水平为0.95的置信区间长度不超过的置信区间长度不超过1.2，样本容量应，样本容量应为多大？为多大？解：解：由题设条件知由题设条件知 的的0.95置信区间为置信区间为 其区间长度为其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量，它仅依赖于样本容量n而而与样本具体取值无关。现要求与样本具体取值无关。现要求 ，立即，立即有有n(2/1.2)2u21-/2.现现1-=0.95，故，故u1-/2=1.96，从而，从而n(5/3)2 1.962=10.67 11。即样本容量至少为。即样本容量至少为11时时才能使得才能使得 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间长度不超的置信区间长度不超过过1.2。14二、二、2未知时未知时 的置信区间的置信区间 这时可用这时可用t 统计量，因为统计量，因为 ，因此因此 t 可以用来作为枢轴量。完全类似于上可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到一小节，可得到 的的1-置信区间为置信区间为 此处此处 是是 2的无偏估计。的无偏估计。15例例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的分布求均值的置信区间。经计算有置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取。取 =0.05，查表知，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）置信区间为（单位：万公里）16 在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于置信下限。由于 由不等式变形可知由不等式变形可知 的的1-置信下限为置信下限为 将将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命代入计算可得平均寿命 的的0.95置信下限为置信下限为4.5806（万公里）。（万公里）。17三、三、2的置信区间的置信区间 取枢轴量取枢轴量 ，由于由于 2分布是偏态分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用用等尾置信区间：采用 2的两个分位数的两个分位数 2 /2(n-1)和和 21-/2(n-1)，在，在 2分布两侧各截面积为分布两侧各截面积为/2的部分，的部分，使得使得 由此给出由此给出 2的的1-置信区间为置信区间为 18例例6.5.6 某厂生产的零件重量服从正态分布某厂生产的零件重量服从正态分布N(,2)，现从，现从该厂生产的零件中抽取该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）个，测得其重量为（单位：克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差试求总体标准差 的的0.95置信区间。置信区间。解：解：由数据可算得由数据可算得 s2=0.0325，(n-1)s2=8 0325=0.26.查表知查表知 2 0.025(8)=2.1797，20.975(8)=17.5345，代入可得代入可得 2的的0.95置信区间为置信区间为 从而从而 的的0.95置信区间为置信区间为:0.1218，0.3454。19 设设x1,xm是来自是来自N(1,12)的样本，的样本，y1,yn是是来自来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。的样本，且两个样本相互独立。与与 分别是它们的样本均值，分别是它们的样本均值，和和 分别是它们的样分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。置信区间。6.5.5 6.5.5 两个正态总体下的置信区间两个正态总体下的置信区间一、一、1-2的置信区间的置信区间1、12和和 22已知时已知时的两样本的两样本u区间区间 2、12=22=2未知时未知时的两样本的两样本t区间区间 3、22/12=已知时已知时的两样本的两样本t区间区间 4、当当m和和n都很大时的近似置信区间都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间一般情况下的近似置信区间 其中其中 例例6.5.9 为比较两个小麦品种的产量，选择为比较两个小麦品种的产量，选择18块块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播块试验田的亩产量和播种乙品种的种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：亩）分别为：甲品种甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间平均亩产量差的置信区间.(.(=0.05）。）。解：解：以以x1,x8记甲品种的亩产量，记甲品种的亩产量，y1,y10记记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2=2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222，n=10 下面分两种情况讨论。下面分两种情况讨论。(1)若若已已知知两两个个品品种种亩亩产产量量的的标标准准差差相相同同，则则可可采用两样本采用两样本t区间。此处区间。此处 故故 1-2的的0.95置信区间为置信区间为(2)若若两两个个品品种种亩亩产产量量的的方方差差不不等等，则则可可采采用用近近 似似 t 区间。此处区间。此处 s02=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414，s0=24.2784 于是于是 1-2的的0.95近似置信区间为近似置信区间为 31.3685，133.3815二、二、12/22的置信区间的置信区间 由于由于(m-1)sx2/12 2(m-1),(n-1)sy2/22 2(n-1)，且且sx2与与sy2相互独立，故可仿照相互独立，故可仿照F变量构造如下枢变量构造如下枢轴量轴量 ,对给定的对给定的1-，由，由 经不等式变形即给出经不等式变形即给出 12/22的如下的置信区间的如下的置信区间例例6.5.10 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了品中分别检查了5个和个和6个套筒，得其直径数据如个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：下（单位：厘米）：甲班：甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比试求两班加工套筒直径的方差比 甲甲2/乙乙2的的0.95置信置信区间。区间。解：解：由数据算得由数据算得sx2=0.00037,sx2=0.00092，故置信区间，故置信区间0.0544，3.7657