5-4定积分的换元法.ppt

1 由由牛顿牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步：一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼莱布尼兹公式代值计算出定积分兹公式代值计算出定积分.这种作法相当麻烦，我们这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定定积分的换元法和定积分的分部积分法积分的换元法和定积分的分部积分法.2 例例解解3 例例解解有有什么想法没有？什么想法没有？4 就是说，计算定积分时可以使用换元法就是说，计算定积分时可以使用换元法.换元换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼莱布尼兹公式便可得到定积分的结果兹公式便可得到定积分的结果.5一、定积分的换元法一、定积分的换元法 Substitution Method 定理定理1.设函数设函数单值函数单值函数满足满足:1)2)在在上上证证:所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在因此积分都存在,且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在.是是的原函数的原函数,因此有因此有则则则则6说明说明:1)当当 ,即即区间换为区间换为定理定理 1 仍成立仍成立.2)必需注意必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用,即即或配元或配元配元配元(凑微分凑微分)不换限不换限7例例1.计算计算解解:令令则则 原式原式=且且8例例2 2 计算计算解解令令9例例3 3 计算计算解解10例例4 4 计算计算解解原式原式11例例5 5 计算计算解解令令原式原式12证证奇偶函数在对称区间上的定积分奇偶函数在对称区间上的定积分1314奇函数奇函数例例7 7 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积15Exercises:Compute the following definite integrals练习练习 求下列定积分求下列定积分设设函数函数连续，且连续，且已知已知，求，求 的值。的值。求导，得求导，得令令，然后求导，最后得，然后求导，最后得16证证（1）设）设17（2）设）设1819202122练习练习 236.设设解法解法1解法解法2对对已知等式两边求导已知等式两边求导,思考思考:若改题为若改题为提示提示:两边求导两边求导,得得得得24例例9 925周期函数定积分的性质周期函数定积分的性质2627例例10.10.证明证明 证证：是以是以 为为周期的函数周期的函数.是是以以 为周期的周期函数为周期的周期函数.(A)正常数正常数;(B)负正常数负正常数;(C)0；(D)非常非常数数 28几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法二、小结二、小结29思考题思考题解解令令思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是30练练 习习 题题31323334练习题答案练习题答案35