8-1空间解析几何简介.ppt
四、空间曲线的一般方程四、空间曲线的一般方程 一、空间直角坐标系及点的坐标一、空间直角坐标系及点的坐标二、两点间距离公式二、两点间距离公式 三、曲面与方程三、曲面与方程 空间直角坐标系空间直角坐标系Longlan_一、空间直角坐标系及点的坐标一、空间直角坐标系及点的坐标按右手规则按右手规则组成一个组成一个过空间一定点过空间一定点 o,1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 由三条互相垂直的数轴由三条互相垂直的数轴空间直角坐标系空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面在直角坐标系下在直角坐标系下点点 M有序数组有序数组(称为点称为点 M 的的坐标坐标)过过M点分别作垂直于三坐标轴的三平面，点分别作垂直于三坐标轴的三平面，与三坐标轴分别交与与三坐标轴分别交与P、Q、R三点三点坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C特殊点的坐标特殊点的坐标 :原点原点 O(0,0,0);坐标轴坐标轴:坐标面坐标面:二、两点间距离公式二、两点间距离公式有两点间的距离公式有两点间的距离公式:对空间两点对空间两点A、B例例1.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 及及等距离的点等距离的点.解解:设该点为设该点为解得：解得：故所求点为故所求点为因为因为思考思考:(1)如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(1)设动点为利用得且(2)设动点为利用得提示:例例.求证以求证以证证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.为为顶点顶点三、曲面与方三、曲面与方 程程化简得：化简得：引例引例:解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和 B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程等距离的点的轨迹方程.说明说明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程.定义定义1.如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标上的任意点的坐标 都满足此方程都满足此方程;(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标上的点的坐标 不满足此方程不满足此方程,则则 F(x,y,z)=0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程,曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求求曲面方程曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状(必要时需作图).例例3 3：求动点到定点距离为：求动点到定点距离为R的轨迹方程的轨迹方程.解解:依依题意，有题意，有即：即：故所求故所求方程为：方程为：设定点为设定点为轨迹上动点为轨迹上动点为特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为：球面方程为：表示上表示上(下下)球面球面.例例2.研究方程研究方程解解:此方程表示此方程表示:表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？半径为半径为的球面的球面.球心为球心为 配方得：配方得：说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.其图形可能是：其图形可能是：一个球面球面，或或点点，或或虚轨迹虚轨迹.二次曲面二次曲面：三元二次方程三元二次方程 的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)一条平面曲线绕其平面上一条一条平面曲线绕其平面上一条定直线定直线1 1、旋转曲面、旋转曲面 叫做叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转轴旋转轴.例如例如:旋转一周所形成的曲面，旋转一周所形成的曲面，建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为：故旋转曲面方程为：当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:则有则有则有则有该点转到该点转到当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？曲线 C:在yoz面上直线 L 的方程为:绕绕 z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面圆锥面即:椭圆锥面椭圆锥面绕绕 y 轴旋转时轴旋转时,即即:绕 y 轴旋转时，在yoz面上曲线C 的方程为:旋转抛物面绕 z 轴旋转呢？椭圆抛物面 在yoz面上曲线C 的方程为:绕 y 轴旋转时，旋转椭球面例例4：求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕 x 轴和轴和 z 轴轴旋转一周所生成的旋转曲面方程旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转即实轴轴旋转即实轴所成曲面方程为所成曲面方程为:绕绕 z 轴旋转即虚轴轴旋转即虚轴这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为双叶双曲面双叶双曲面xyo(Hyperboloid of two sheets)2 2、柱面、柱面定义：定义：平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的移动的直线直线 l 形成的轨迹叫做形成的轨迹叫做柱面柱面.C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.准线准线 C在坐标平面上在坐标平面上,母线母线 l 垂直该坐标平面垂直该坐标平面.此点的坐标满足此点的坐标满足C方程方程:在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C 对任意曲面上的点对任意曲面上的点平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,圆圆C上任取一点上任取一点 直线直线 l,与与xoy面交于面交于沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线轴的一切直线故在空间：故在空间：柱面柱面.表示圆柱面圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,所形成的曲面所形成的曲面,称为称为 圆圆一般地一般地,在三维空间在三维空间平行于平行于 z 轴轴;柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2.母线母线柱面柱面,平行于平行于 y 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面表示母线平行于表示母线平行于z 轴的轴的平面平面.表示母线平行于表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面(Cylinder of the second order parabolic)从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴常见的二次曲面常见的二次曲面1.1.椭球面椭球面(1)(1)范围：范围：(2)(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(p,q 同号同号)特别特别,当当 p=q 时为绕时为绕 z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面.(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 同号)虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:2.二次曲面二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:四、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C.C又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.2.空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x,y,z表示成参数表示成参数t 的函数的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.例1.将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为例2.求空间曲线求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解解:点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程.例如,直线直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面方程为绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如,xoz 面上的半圆周面上的半圆周说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如3、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程例如,在在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线(如,圆柱螺线)思考与练习思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）P324 题1 (2)(1)答案:(3)P324 题2(1)思考思考:交线情况如何?交线情况如何?P324 题题2(2)P325 题 7练练 习习 题题练习题答案练习题答案二、二、三、三、
