第三章 多维随机变量及其分布.ppt

为什么需要讨论多维随机变量？以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高的身高H和体重和体重W。在这里，样本空间在这里，样本空间S=e某地区的全部学某地区的全部学龄前儿童龄前儿童，而，而H(e)和和W(e)是定义在是定义在S上的两个随机变量。又如上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布返回返回退出退出本章小结本章小结习题习题设设X1,X2,Xn时定义在同一样本空间时定义在同一样本空间S上的随上的随机变量，则向量机变量，则向量(X1,X2,Xn)称为称为n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。当当n=2时，称为二维随机变量，记为时，称为二维随机变量，记为(X,Y).二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数设设(X,Y)X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x,yx,y，二元函数：二元函数：F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy)F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)X,Y)的分布函数，或称为随机变的分布函数，或称为随机变量量X,YX,Y的联合分布函数。的联合分布函数。二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)的含义的含义Px1Xx2,y1xx1 1时时F(xF(x2 2,y)F(x,y)F(x1 1,y),y)；对于任意固定的对于任意固定的x x，当，当y y2 2yy1 1时，时，F(x,yF(x,y2 2)F(x,y)F(x,y1 1)。思考思考 问问G(x,y)G(x,y)能否作为分布函数？能否作为分布函数？答答 不能。不能。虽然虽然G(x,y)G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。当质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，时，G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)=1-1-1+0=-10 =1-1-1+0=-10 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)X,Y)的所有可能取值是有限对或的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称可列无限多对，则称(X,Y)X,Y)为离散型随机变量。为离散型随机变量。二维离散型随机变量的概念二维离散型随机变量的概念 称称PXPXx xi i,Y=y,Y=yj j p pijij，i,j=1,2,i,j=1,2,为为(X,Y)X,Y)的概率函数。列成表格的概率函数。列成表格称联合分布列。称联合分布列。概率函数概率函数p pijij满足满足 YXx1 x2 xn x1p11 p12 p1n xmpm1 pm2 pmn 二维离散型随机变量的概率函数二维离散型随机变量的概率函数 二维随机变量二维随机变量(X,Y)X,Y)的分布函数定义为的分布函数定义为二维离散型随机变量的分布函数二维离散型随机变量的分布函数二维连续型随机变量、概率密度函数二维连续型随机变量、概率密度函数 如果对于二维随机变量如果对于二维随机变量(X,Y)X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)F(x,y)，存存在非负可积函数在非负可积函数f(x,y)f(x,y)，使对于任何实数使对于任何实数x,yx,y，有有则称则称(X,Y)X,Y)为二维连续型随机变量。函数为二维连续型随机变量。函数f(x,y)f(x,y)称为称为(X,Y)X,Y)的概率密度函数（或联合密度函数）。的概率密度函数（或联合密度函数）。二维连续性随机变量概率密度函数的性质二维连续性随机变量概率密度函数的性质 由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：(1)(1)f(x,y)0f(x,y)0；注意注意 设设E是一个随机试验，它的样本空间是一个随机试验，它的样本空间S=e，设设X1=X1(e)X2=X2(e),Xn=Xn(e)是定义在是定义在S上上的随机变量，由它们构成的一个的随机变量，由它们构成的一个n维向量维向量(X1,X2,Xn)叫做叫做n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数对于任意对于任意n n个实数个实数x x1,x2,xn，n n元函数：元函数：F(xF(x1,x2,xn)=P)=PX1 x x1,X2 x2,Xn xn,称为称为n n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，或称为的分布函数，或称为随机变量随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数。它具有二维的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。随机变量的分布函数类似的性质。n维随机变量维随机变量返回返回设设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量为二维随机变量，则称随机变量X的的概率分布为概率分布为(X,Y)关于关于X的边缘分布；随机变量的边缘分布；随机变量Y的的概率分布为概率分布为(X,Y)关于关于Y的边缘分布，其分布函数，的边缘分布，其分布函数，密度函数和分布律分别记为：密度函数和分布律分别记为：FX(x),FY(y);fX(x),fY(y);pi.p.j.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布例例2 2 设随机变量设随机变量X X和和Y Y具有联合概率密度具有联合概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度f fX X(x),f(x),fY Y(y).(y).解解例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)X,Y)的概率密度为的概率密度为返回返回 对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。先从二维离散型随机变量开始讨论。先从二维离散型随机变量开始讨论。设设(X,Y)X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为是二维离散型随机变量，其分布率为考虑二维离散型随机变量的条件概率考虑二维离散型随机变量的条件概率 设设(X,Y)X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的是二维离散型随机变量，对于固定的j j，若若二维离散型随机变量的条件概率二维离散型随机变量的条件概率例例1 1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固其一是紧固3 3只螺栓，其二是焊接只螺栓，其二是焊接2 2处焊点。以处焊点。以X X表示由机器人表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y Y表示由机器人焊接的不良表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)X,Y)具有分布律：具有分布律：XY0 1 2 3PY=j0120.840 0.030 0.020 0.0100.060 0.010 0.008 0.0020.010 0.005 0.004 0.0010.9000.0800.020PX=i0.910 0.045 0.032 0.0131.000求在求在X=1X=1的条件下，的条件下，Y Y的条件分布律；的条件分布律；求在求在Y=0Y=0的条件下，的条件下，X X的的条件分布律。条件分布律。解解 在在X=1X=1的条件下，的条件下，Y Y的分布律为的分布律为在在Y=0Y=0的条件下，的条件下，X X的分布律为的分布律为例例 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)p(0p1)，射击直至击射击直至击中目标两次为止。设以中目标两次为止。设以X X表示首次击中目标所进行的射击次数，表示首次击中目标所进行的射击次数，以以Y Y表示总共进行的射击次数，试求表示总共进行的射击次数，试求X X和和Y Y的联合分布律及条件的联合分布律及条件分布律。分布律。解解 由题意可知，由题意可知，X X和和Y Y的联合分布律为的联合分布律为考虑二维连续型随机变量的条件概率考虑二维连续型随机变量的条件概率二维连续型随机变量的条件概率二维连续型随机变量的条件概率返回返回 设设F(x,y)F(x,y)及及F FX X(x),F(x),FY Y(y)(y)分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X,Y)X,Y)的分布函的分布函数及边缘分布函数。若对所有数及边缘分布函数。若对所有x,yx,y有有 PXx,Yy=PXxPYyPXx,Yy=PXxPYy则称随机变量则称随机变量X X和和Y Y是相互独立的。是相互独立的。等价命题有等价命题有 F(x,y)=FF(x,y)=FX X(x)F(x)FY Y(y)(y)f(x,y)=f f(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)PX=xPX=xi i,Y=y,Y=yj j=PX=x=PX=xi iPY=yPY=yj j,i,j=1,2,i,j=1,2,随机变量的独立性随机变量的独立性练习练习1 1 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)X,Y)的概率密度的概率密度求：求：系数系数A A；F(x,y)F(x,y)；P2X+3Y6P2X+3Y6练习练习2 2 设随机变量设随机变量(X,Y)X,Y)的概率密度为的概率密度为其中其中G G是由是由00 x2,0yxx2,0yx2 2围成的区域。求：围成的区域。求：系数系数A A；f fX X(x),f(x),fY Y(y)(y)；f fX|YX|Y(x|y),f(x|y),fY|XY|X(y|x)(y|x)。返回返回Z=X+Y的分布的分布Z=X+Y的分布的分布Z=X+Y的分布的分布例例1 1 设设X X和和Y Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)N(0,1)分分布，其概率密度为布，其概率密度为求求Z=X+YZ=X+Y的概率密度。的概率密度。例例2 2 在一简单电路中，两电阻在一简单电路中，两电阻R1R1和和R2R2串联连接，设串联连接，设R1R1，R2R2相互相互独立，它们的概率密度均为独立，它们的概率密度均为求总电阻求总电阻R=R1+R2R=R1+R2的概率密度。的概率密度。M=max(X,Y)与与N=min(X,Y)的分布的分布Z=X/Y的分布的分布例例 设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立，且都服从相互独立，且都服从U(-1,1)U(-1,1)，求，求X/YX/Y的概率的概率密度。密度。例例 设随机变量设随机变量(X,Y)X,Y)的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量Z=X-YZ=X-Y的密度函数的密度函数例例 设随机变量设随机变量X X和和Y Y相互独立，且都服从相互独立，且都服从N(0,1)N(0,1)，令，令Z=X+Y,W=X-Z=X+Y,W=X-Y Y，求求(Z,W)Z,W)的密度函数。的密度函数。返回返回参见书参见书P102本章小结返回返回习题返回返回书书P104