(精品)第一部分一维弹性体的有限元分析.ppt

有限元概述及一维弹性问有限元概述及一维弹性问题的有限元法题的有限元法杨建国杨建国浙江工业大学浙江工业大学 化工机械设计研究所化工机械设计研究所1 1主要参考书目n n李人宪李人宪.有限元法基础有限元法基础.国防工业出版社国防工业出版社n n汪汪建建华华.焊焊接接数数值值模模拟拟技技术术及及其其应应用用.上上海海交交通通大学出版社大学出版社n n武武传传松松.焊焊接接热热过过程程数数值值模模拟拟.哈哈尔尔滨滨工工业业大大学学出版社出版社n n王勖成王勖成.有限单元法有限单元法.清华大学出版社清华大学出版社 n n杨杨 建建 国国.焊焊 接接 结结 构构 有有 限限 元元 分分 析析 基基 础础 及及MSC.Marc实现实现.机械工业出版社机械工业出版社2 2第一部分有限单元方法概述3 3有限单元方法概述有限单元方法概述解析方法的局限性解析方法的局限性n n 工工工工程程程程技技技技术术术术领领领领域域域域中中中中的的的的许许许许多多多多力力力力学学学学问问问问题题题题和和和和场场场场问问问问题题题题，如如如如固固固固体体体体力力力力学学学学中中中中的的的的位位位位移移移移场场场场、应应应应力力力力场场场场分分分分析析析析、电电电电磁磁磁磁学学学学中中中中的的的的电电电电磁磁磁磁分分分分析析析析、振振振振动动动动特特特特性性性性分分分分析析析析、热热热热力力力力学学学学中中中中的的的的温温温温度度度度场场场场分分分分析析析析，流流流流体体体体力力力力学学学学中中中中的的的的流流流流场场场场分分分分析析析析等等等等，都都都都可可可可以以以以归归归归结结结结为为为为在在在在给定边界条件下求解其控制方程的问题。给定边界条件下求解其控制方程的问题。给定边界条件下求解其控制方程的问题。给定边界条件下求解其控制方程的问题。n n 虽虽虽虽然然然然人人人人们们们们能能能能够够够够得得得得到到到到它它它它们们们们的的的的基基基基本本本本方方方方程程程程和和和和边边边边界界界界条条条条件件件件，但但但但是是是是能能能能够够够够用用用用解解解解析析析析法法法法求求求求解解解解的的的的只只只只是是是是少少少少数数数数性性性性质质质质比比比比较较较较简简简简单单单单和和和和边边边边界界界界比比比比较较较较规规规规则则则则的的的的问问问问题题题题，实实实实际际际际结结结结构构构构的的的的形形形形状状状状和和和和所所所所受受受受到到到到的的的的载载载载荷荷荷荷往往往往往往往往比比比比较较较较复复复复杂杂杂杂，按按按按解解解解析析析析法法法法求求求求解解解解是是是是非非非非常常常常困困困困难的。难的。难的。难的。如何解决如何解决4 4有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述解决这类问题的两个途径解决这类问题的两个途径n n引入简化假设引入简化假设 将将将将方方方方程程程程、结结结结构构构构几几几几何何何何形形形形状状状状和和和和边边边边界界界界条条条条件件件件简简简简化化化化，使使使使之之之之可可可可能能能能进进进进行行行行解解解解析析析析求求求求解解解解（如如如如：材材材材料料料料力力力力学学学学、结结结结构构构构力力力力学学学学、应应应应用用用用弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学的的的的内内内内容容容容）。但但但但其其其其可可可可应应应应用用用用情情情情况有限，并且，简化导致较大偏差。况有限，并且，简化导致较大偏差。况有限，并且，简化导致较大偏差。况有限，并且，简化导致较大偏差。n n保留问题的复杂性，数值方法求得近似解保留问题的复杂性，数值方法求得近似解 近近近近六六六六十十十十年年年年来来来来，数数数数值值值值方方方方法法法法已已已已成成成成为为为为求求求求解解解解科科科科学学学学技技技技术术术术和和和和工工工工程程程程问问问问题题题题的的的的主主主主要要要要工工工工具具具具。它它它它是是是是在在在在现现现现代代代代数数数数学学学学、力力力力学学学学理理理理论论论论的的的的基基基基础础础础上上上上，借借借借助助助助于于于于计计计计算算算算机机机机技技技技术术术术来来来来获获获获得得得得满满满满足足足足工工工工程程程程要要要要求求求求的的的的数数数数值值值值近近近近似似似似解解解解，是是是是现现现现代代代代工工工工程程程程仿仿仿仿真真真真学发展的重要推动力之一。学发展的重要推动力之一。学发展的重要推动力之一。学发展的重要推动力之一。5 5有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述工程领域常用的数值模拟方法n n 1 1、有限单元法、有限单元法、有限单元法、有限单元法FEMFEM（Finite Element MethodFinite Element Method）n n 2 2、边界元法、边界元法、边界元法、边界元法BEMBEM（Boundary Element MethodBoundary Element Method）n n 3 3、有限差分法、有限差分法、有限差分法、有限差分法FDMFDM（Finite Difference MethodFinite Difference Method）n n 4 4、离散单元法、离散单元法、离散单元法、离散单元法DEMDEM（Discrete Element MethodDiscrete Element Method）其中其中其中其中有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。是最具实用性和应用最广泛的。是最具实用性和应用最广泛的。是最具实用性和应用最广泛的。6 6有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元法FEMn n虽然近些年才采用了有限元这个名字，有限虽然近些年才采用了有限元这个名字，有限元的概念在几个世纪以前就已经用过了。元的概念在几个世纪以前就已经用过了。例例如如：古代数学家用多边形逼近圆的办法求出：古代数学家用多边形逼近圆的办法求出圆周长以及圆的面积；现在人们日常生活中圆周长以及圆的面积；现在人们日常生活中丈量土地的时候也是分成一块一块进行的，丈量土地的时候也是分成一块一块进行的，这都是利用了有限元的基本思想这都是利用了有限元的基本思想化整为零化整为零。7 7有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元法FEMn n现现代代有有限限元元法法第第一一个个成成功功的的 尝尝 试试，是是 Tunner Clough等等人人于于1956年年将将刚刚架架位位移移法法推推广广应应用用于于弹弹性性力力学学平平面面问问题题，在在分分析析飞飞机机结结构构时时得得到到的的成成果果，他他们们第第一一次次给给出出了了用用三三角角形形单单元元求求得得平平面面应应力力问问题题的的正确解答。正确解答。CloughClough8 8有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元法FEMn n随随随随着着着着高高高高速速速速计计计计算算算算机机机机的的的的发发发发展展展展，有有有有限限限限元元元元的的的的应应应应用用用用也也也也以以以以惊惊惊惊人人人人的的的的速速速速度度度度发发发发展展展展，现现现现在在在在有有有有限限限限元元元元法法法法已已已已经经经经被被被被工工工工程程程程师师师师和和和和科学家们公认是一种完美和方便的分析工具。科学家们公认是一种完美和方便的分析工具。科学家们公认是一种完美和方便的分析工具。科学家们公认是一种完美和方便的分析工具。n n 4040多多多多年年年年来来来来，有有有有限限限限元元元元法法法法的的的的应应应应用用用用已已已已由由由由弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学平平平平面面面面问问问问题题题题扩扩扩扩展展展展到到到到空空空空间间间间问问问问题题题题、板板板板壳壳壳壳问问问问题题题题，由由由由静静静静力力力力平平平平衡衡衡衡问问问问题题题题扩扩扩扩展展展展到到到到稳稳稳稳定定定定问问问问题题题题、动动动动力力力力问问问问题题题题。分分分分析析析析的的的的对对对对象象象象从从从从弹弹弹弹性性性性材材材材料料料料扩扩扩扩展展展展到到到到塑塑塑塑性性性性、黏黏黏黏弹弹弹弹性性性性、黏黏黏黏塑塑塑塑性性性性和和和和复复复复合合合合材材材材料料料料等等等等，从从从从固固固固体体体体力力力力学学学学扩扩扩扩展展展展到到到到流流流流体体体体力力力力学学学学、传传传传热热热热学等连续介质力学领域。学等连续介质力学领域。学等连续介质力学领域。学等连续介质力学领域。9 910101111有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法概述有限单元方法的优点有限单元方法的优点n n概念浅显，容易掌握。既可以通过非常直观的物理概念浅显，容易掌握。既可以通过非常直观的物理概念浅显，容易掌握。既可以通过非常直观的物理概念浅显，容易掌握。既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。n n适应性强，应用范围广。可处理线弹性力学问题、适应性强，应用范围广。可处理线弹性力学问题、适应性强，应用范围广。可处理线弹性力学问题、适应性强，应用范围广。可处理线弹性力学问题、非均质、各向异性材料、非线性应力非均质、各向异性材料、非线性应力非均质、各向异性材料、非线性应力非均质、各向异性材料、非线性应力应变关系、应变关系、应变关系、应变关系、大变形、动力学问题以及复杂非线性边界条件问题大变形、动力学问题以及复杂非线性边界条件问题大变形、动力学问题以及复杂非线性边界条件问题大变形、动力学问题以及复杂非线性边界条件问题（几乎适用于求解所有连续介质和场问题，目前正（几乎适用于求解所有连续介质和场问题，目前正（几乎适用于求解所有连续介质和场问题，目前正（几乎适用于求解所有连续介质和场问题，目前正在向纳米量级的分子动力学问题渗透）在向纳米量级的分子动力学问题渗透）在向纳米量级的分子动力学问题渗透）在向纳米量级的分子动力学问题渗透）。n n采用矩阵形式表达，便于计算软件编制。可使求解采用矩阵形式表达，便于计算软件编制。可使求解采用矩阵形式表达，便于计算软件编制。可使求解采用矩阵形式表达，便于计算软件编制。可使求解问题的方法规范化，软件商业化，易于推广应用。问题的方法规范化，软件商业化，易于推广应用。问题的方法规范化，软件商业化，易于推广应用。问题的方法规范化，软件商业化，易于推广应用。1212第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析主主要要目目的的是是熟熟悉悉并并掌掌握握有有限限元元分分析析的的基基本本思思想想方方法法，明明确确有有限限元元分分析析的的基基本本流流程程，以以为为进进一一步步实实现连续体的有限元分析打下坚实的基础。现连续体的有限元分析打下坚实的基础。1313第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n根根根根据据据据虎虎虎虎克克克克定定定定律律律律，在在在在弹弹弹弹性性性性范范范范围围围围内内内内弹弹弹弹簧簧簧簧的的的的变变变变形形形形正正正正比比比比于于于于其其其其所所所所受受受受到到到到的的的的力力力力。可可可可以以以以将将将将弹弹弹弹簧簧簧簧看看看看成成成成一一一一个个个个最最最最简简简简单单单单的的的的有有有有限限限限单单单单元元元元，而而而而由由由由多多多多个个个个弹弹弹弹簧簧簧簧组组组组装装装装在在在在一一一一起起起起则则则则可可可可以以以以获获获获得得得得比比比比较较较较简简简简单单单单的的的的有有有有限限限限元元元元系系系系统统统统。为为为为了了了了对对对对这这这这样样样样的的的的系系系系统统统统进进进进行行行行分分分分析析析析，需需需需要要要要满满满满足足足足如如如如下下下下的基本假设：的基本假设：的基本假设：的基本假设：n na)a)协调条件协调条件协调条件协调条件 连接多个弹簧共同节点具有单一的位移；连接多个弹簧共同节点具有单一的位移；连接多个弹簧共同节点具有单一的位移；连接多个弹簧共同节点具有单一的位移；n nb)b)平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件 在任意节点处其受力处于平衡状态；在任意节点处其受力处于平衡状态；在任意节点处其受力处于平衡状态；在任意节点处其受力处于平衡状态；n nc)c)本本本本构构构构关关关关系系系系 本本本本构构构构关关关关系系系系指指指指的的的的是是是是应应应应力力力力应应应应变变变变关关关关系系系系，在在在在弹弹弹弹簧簧簧簧系系系系统统统统中中中中，这这这这种种种种关关关关系系系系表表表表现现现现为为为为弹弹弹弹簧簧簧簧的的的的拉拉拉拉伸伸伸伸或或或或者者者者收收收收缩缩缩缩正正正正比比比比于于于于其所受到的力的作用。其所受到的力的作用。其所受到的力的作用。其所受到的力的作用。n n 连续体的问题将更复杂，一维问题避免坐标变换连续体的问题将更复杂，一维问题避免坐标变换连续体的问题将更复杂，一维问题避免坐标变换连续体的问题将更复杂，一维问题避免坐标变换 1414第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n一端固定的弹簧受力情况一端固定的弹簧受力情况 n n在受力端的位移与力之间存在如下的关系：在受力端的位移与力之间存在如下的关系：Fku1515第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n假假设设此此弹弹簧簧处处于于一一个个弹弹簧簧系系统统之之中中，那那么么更更一一般般的的情情况况是是它它两两端端都都可可能能产产生生相相应应的的位位移移，这这里里假假定定弹弹簧簧两两端端对对应应的的节节点点编编号号为为i和和j，弹弹簧簧的的单单元元编编号号为为(e)，弹弹簧簧的的弹弹性系数为性系数为k(e)。1616第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析假设右端固定时弹簧的受力分析1717第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析1818第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n弹弹簧簧处处于于弹弹性性系系统统中中，相相应应的的节节点点i和和j的的位位移分别为移分别为ui和和ujn n 1919第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n一般形式：一般形式：R=KUn nK称为弹簧单元的刚度矩阵称为弹簧单元的刚度矩阵 n n 2020第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n真实的多弹簧系统真实的多弹簧系统n n该该系系统统包包含含4个个弹弹簧簧(弹弹簧簧单单元元序序号号用用括括号号内内的的数数字字表表示示)，5个个节节点点。节节点点力力用用F1至至F5表表示，节点位移用示，节点位移用u1至至u5表示。其中表示。其中u1u50。2121第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n节点力与外载荷之间的关系节点力与外载荷之间的关系 2222第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析2323第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析节点位移与节点外载荷之间的关系节点位移与节点外载荷之间的关系 2424第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n节点位移为变量进行重新组合节点位移为变量进行重新组合 2525第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n又变成了：又变成了：又变成了：又变成了：K K u u=F F n n基于公式基于公式基于公式基于公式 可可可可以以以以确确确确定定定定任任任任何何何何一一一一个个个个弹弹弹弹簧簧簧簧单单单单元元元元的的的的相相相相应应应应的的的的节节节节点点点点位位位位移移移移与与与与节节节节点点点点力力力力之之之之间的关系方程间的关系方程间的关系方程间的关系方程 将这些方程中的节点力带入到相关的类似于公式将这些方程中的节点力带入到相关的类似于公式将这些方程中的节点力带入到相关的类似于公式将这些方程中的节点力带入到相关的类似于公式 建立起外加载荷于节点位移之间的关系方程建立起外加载荷于节点位移之间的关系方程建立起外加载荷于节点位移之间的关系方程建立起外加载荷于节点位移之间的关系方程 这这这这种种种种通通通通过过过过单单单单元元元元与与与与节节节节点点点点之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系形形形形成成成成最最最最终终终终的的的的矩矩矩矩阵阵阵阵方方方方程程程程的的的的过过过过程程程程称称称称之之之之为为为为组组组组装装装装，即即即即将将将将单单单单个个个个单单单单元元元元的的的的信信信信息息息息，通通通通过过过过节节节节点点点点关关关关系系系系，组组组组装成为一个整体的矩阵方程，装成为一个整体的矩阵方程，装成为一个整体的矩阵方程，装成为一个整体的矩阵方程，2626第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n点点点点线线线线框框框框内内内内分分分分别别别别表表表表示示示示了了了了弹弹弹弹簧簧簧簧系系系系统统统统中中中中的的的的4 4个个个个单单单单元元元元，比比比比如如如如跨跨跨跨越越越越第第第第一一一一行行行行和和和和第第第第二二二二行行行行的的的的线线线线框框框框为为为为单单单单元元元元(1)(1)的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵，同同同同样样样样的的的的跨跨跨跨越越越越第第第第二二二二行行行行和和和和第第第第三三三三行行行行的的的的线线线线框框框框则则则则表表表表示示示示单单单单元元元元(2)(2)的刚度矩阵，以此类推。的刚度矩阵，以此类推。的刚度矩阵，以此类推。的刚度矩阵，以此类推。2727第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n所所所所以以以以从从从从这这这这个个个个示示示示意意意意的的的的公公公公式式式式看看看看出出出出我我我我们们们们可可可可以以以以通通通通过过过过将将将将每每每每个个个个独独独独立立立立的的的的单单单单元元元元进进进进行行行行组组组组装装装装而而而而获获获获得得得得整整整整个个个个弹弹弹弹簧簧簧簧系系系系统统统统的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵方方方方程程程程组组组组。我我我我们们们们所所所所要要要要做做做做的的的的就就就就是是是是将将将将单单单单独独独独的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的元元元元素素素素放放放放到到到到总总总总的的的的矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的合合合合适适适适的的的的位位位位置置置置。这这这这个个个个最终获得的总的矩阵称为整体刚度矩阵。最终获得的总的矩阵称为整体刚度矩阵。最终获得的总的矩阵称为整体刚度矩阵。最终获得的总的矩阵称为整体刚度矩阵。2828第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n放置方法：放置方法：放置方法：放置方法：n n首首首首先先先先确确确确定定定定单单单单元元元元(1)(1)所所所所对对对对应应应应的的的的外外外外载载载载荷荷荷荷，这这这这里里里里为为为为F F1 1和和和和F F2 2，从从从从而而而而确确确确定定定定了了了了刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的元元元元素素素素所所所所在在在在的的的的行行行行，即即即即第第第第一一一一行行行行和和和和第第第第二二二二行行行行，之之之之后后后后确确确确定定定定单单单单元元元元的的的的节节节节点点点点位位位位移移移移u u1 1和和和和u u2 2，由由由由于于于于位位位位移移移移向向向向量量量量中中中中的的的的位位位位置置置置是是是是要要要要和和和和刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的列列列列的的的的位位位位置置置置相相相相对对对对应应应应，从从从从而而而而可可可可以以以以确确确确定定定定单单单单元元元元(1)(1)的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵在在在在总总总总体体体体矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的列列列列的的的的位位位位置置置置，即即即即第第第第一一一一列列列列和和和和第第第第二二二二列列列列。这这这这样样样样将将将将从从从从而而而而可可可可以以以以确确确确定定定定单单单单元元元元(1)(1)的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵直直直直接接接接对对对对应应应应到到到到整整整整体体体体刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵以以以以下下下下四四四四个个个个位位位位置置置置，即即即即第第第第一一一一行行行行和和和和第第第第一一一一列列列列、第第第第一一一一行行行行和和和和第第第第二二二二列列列列、第第第第二二二二行行行行和和和和第第第第一一一一列列列列、第第第第二二二二行行行行和第二列即可。和第二列即可。和第二列即可。和第二列即可。2929第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n又又又又如如如如：对对对对于于于于单单单单元元元元(3)(3)，首首首首先先先先确确确确定定定定单单单单元元元元(3)(3)所所所所对对对对应应应应的的的的外外外外载载载载荷荷荷荷，这这这这里里里里为为为为F F3 3和和和和F F4 4，从从从从而而而而确确确确定定定定了了了了刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的元元元元素素素素所所所所在在在在的的的的行行行行，即即即即第第第第三三三三行行行行和和和和第第第第四四四四行行行行，之之之之后后后后确确确确定定定定单单单单元元元元的的的的节节节节点点点点位位位位移移移移u u3 3和和和和u u4 4，由由由由于于于于位位位位移移移移向向向向量量量量中中中中的的的的位位位位置置置置是是是是要要要要和和和和刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的列列列列的的的的位位位位置置置置相相相相对对对对应应应应，从从从从而而而而可可可可以以以以确确确确定定定定单单单单元元元元(3)(3)的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵在在在在总总总总体体体体矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的列列列列的的的的位位位位置置置置，即即即即第第第第三三三三列列列列和和和和第第第第四四四四列列列列。这这这这样样样样将将将将从从从从而而而而可可可可以以以以确确确确定定定定单单单单元元元元(3)(3)的的的的刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵直直直直接接接接对对对对应应应应到到到到整整整整体体体体刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵以以以以下下下下四四四四个个个个位位位位置置置置，即即即即第第第第三三三三行行行行和和和和第第第第三三三三列列列列、第第第第三三三三行行行行和和和和第第第第四四四四列列列列、第第第第四四四四行和第三列、第四行和第四列即可。行和第三列、第四行和第四列即可。行和第三列、第四行和第四列即可。行和第三列、第四行和第四列即可。3030第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n求解问题：求解问题：n n节节点点上上施施加加的的外外载载荷荷，通通过过对对刚刚度度矩矩阵阵求求逆逆矩矩阵阵的的方方式式，我我们们能能够够得得到到各各个个节节点点的的位移值。位移值。n n以以上上获获得得的的整整体体刚刚度度矩矩阵阵是是一一个个奇奇异异矩矩阵阵，即矩阵的行列式为即矩阵的行列式为0。n n 解决办法：加边界条件解决办法：加边界条件3131第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析3232第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析3333第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n高斯消去法高斯消去法3434第二部分第二部分一维线弹性体的有限元分析一维线弹性体的有限元分析n n通通通通过过过过第第第第三三三三个个个个方方方方程程程程的的的的求求求求解解解解，可可可可知知知知u u4=-0.14186mm4=-0.14186mm。将将将将此此此此数数数数值值值值带带带带入入入入到到到到第第第第二二二二个个个个公公公公式式式式中中中中则则则则可可可可获获获获得得得得u u3=-0.15232mm3=-0.15232mm。将将将将这这这这两个值带入第一个公式中得两个值带入第一个公式中得两个值带入第一个公式中得两个值带入第一个公式中得u u2=-0.02325mm2=-0.02325mm。n n获得了以上的位移结果之后，可以通过原来的未经简化获得了以上的位移结果之后，可以通过原来的未经简化获得了以上的位移结果之后，可以通过原来的未经简化获得了以上的位移结果之后，可以通过原来的未经简化的刚度矩阵计算出相应的另外了两个节点载荷的大小。的刚度矩阵计算出相应的另外了两个节点载荷的大小。的刚度矩阵计算出相应的另外了两个节点载荷的大小。的刚度矩阵计算出相应的另外了两个节点载荷的大小。n n如针对如针对如针对如针对F F1 1，应用矩阵方程中第一个方程，有，应用矩阵方程中第一个方程，有，应用矩阵方程中第一个方程，有，应用矩阵方程中第一个方程，有n n25 u25 u1 1-25 u-25 u2 2=F=F1 1 n n其中其中其中其中u u1 1=0=0，u u2 2=-0.02325=-0.02325，则，则，则，则F F1 1=0.5183N=0.5183N。n n同理可以计算出同理可以计算出同理可以计算出同理可以计算出F F5=1.4186N5=1.4186N。实际上在计算出前。实际上在计算出前。实际上在计算出前。实际上在计算出前4 4个载个载个载个载荷的条件下，根据系统受力平衡可以直接计算出荷的条件下，根据系统受力平衡可以直接计算出荷的条件下，根据系统受力平衡可以直接计算出荷的条件下，根据系统受力平衡可以直接计算出F F5 5。3535第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 3636第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n从弹簧跨越到一维弹性体从弹簧跨越到一维弹性体n n一维、受力方向与其截面相垂直、一维、受力方向与其截面相垂直、一维、受力方向与其截面相垂直、一维、受力方向与其截面相垂直、载荷状态载荷状态 3737第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n单元的矩阵方程单元的矩阵方程 3838第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n圆圆锥锥台台结结构构，其其垂垂直直受受力力的的截截面面为为圆圆形形，在在其其一一端端施施加加载载荷荷，分分析析结结构构内内部部的的应应力力应变情况。应变情况。3939第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n每每段段长长度度为为2m，同同时时假假设设每每一一段段的的结结构构的的截面积为相应的上下两个截面的和的一半截面积为相应的上下两个截面的和的一半 结构的有限元网格划分结构的有限元网格划分 4040第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n相关单元的截面积分别如下相关单元的截面积分别如下n nA(1)0.6599m2；n nA(2)0.4418m2；n nA(3)0.2672m2。4141第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 4242第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n计算结果：计算结果：n nu23.032 10-5m；n n u37.561 10-5m；n n u415.049 10-5m 4343第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n计算精度讨论计算精度讨论n n有限元分析结果：有限元分析结果：n n理论分析结果：理论分析结果：4444第三部分第三部分一维简单连续体的分析实例一维简单连续体的分析实例 n n把把结结构构分分成成10个个单单元元，即即每每个个单单元元的的宽宽度度为为0.6m，则则相相应应的的有有限限元元伸伸长长量量计计算算结结果果为为15.25 10-5m，此此时时计计算算结结果果误误差为差为0.19。4545