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1不定积分的概念与基本积分公式2 换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数的不定积分第八章 不定积分1不定积分的概念与基本积分公式不定积分的概念与基本积分公式第八章 不定积分在第三章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数 f 的表达式，得到了一些计算法则，例如：(f+g)=f+g,(f g)=f g+f g,(f)=f 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为初等函数，f 的表达式能求出.我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。问题：在已知 f 的表达式时，f 的表达式是什么形式呢？即是，已知函数 f 的表达式，求 f 的原函数是什么。.基本积分表 换元积分法 分部积分法 有理函数积分本章主要内容本章主要内容：例如，在区间(,)内，因为(sin x)cos x，所以 sin x是 cos x的一个原函数。提问：提问：cos x还有其它的原函数吗？提示：提示：cos x的原函数还有sin xC。定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x)的导数为 f(x)，即对任一 xI，都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx，则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上的原函数。原函数概念两点说明：两点说明：2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数，则(x)F(x)C(C为某个常数)。1、如果F(x)是 f(x)的原函数，那么F(x)C 都是 f(x)的原函数，其中 C 是任意常数。定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x)的导数为 f(x)，即对任一 xI，都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx，则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上的原函数。原函数概念注注2.符号差别：与不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念1.定义：定义：设I为某区间，称f(x)在I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，记作积分号被积函数积分变量注注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数的微分。数一族函数(3)定理定理1.设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则(4)其中C为任意常数0 x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4 例例1 例例2 例例3 解：解：-1O 1x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义 例例4求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f(x)2x，即f(x)是2x 的一个原函数。因为所求曲线通过点(1,3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。2 1O12x2112 yyx2+2yx2(1,3)所以y=f(x)x2C。例例5：解：解：容易看到两边除以3，得求导数的性质yy=x2xyx因此,2.不定积分的性质：不定积分的性质：1)2)3)4)3.基本积分公式基本积分公式积分公式积分公式导数公式导数公式1231)2)3)5)6)7)56744)10)11)10119)98)84.积分公式的简单应用积分公式的简单应用例例1.求解解:例例2.求解解:例例3.求解解:例例4.求f(x)=x2+1,x0时，练习：练习：3(8,9,10)例例16例例18例例19例例20练习：练习：3(24,28,30)例例21例例22三三 第二类换元法第二类换元法第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分下面介绍的第二类换元法是通过变量替下面介绍的第二类换元法是通过变量替换换 将积分将积分证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类积分换元法第二类积分换元法例例1313 求求解解1 1 三角代换三角代换例例1414 求求解解 令令例例1515 求求解解 令令注注三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.例例1616 求求解解令令2 2 根式代换根式代换考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）例例1717 求求解解令令3 3 其他形式代换其他形式代换注注1 积分中为了化掉根式除采用上述代换外还积分中为了化掉根式除采用上述代换外还可用双曲代换可用双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式 中中,令令注注2 2 倒数代换倒数代换 也是常用的代换之一也是常用的代换之一 例例1818 求求令令解解例例1919 求求解解令令分母的次幂太高分母的次幂太高基基本本积积分分表表续续考虑积分考虑积分解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式四四 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 下面利用两个函数乘积的求导法则，得下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法出求积分的基本方法分部积分法分部积分法.对此对此不等式两边求不定积分不等式两边求不定积分即即分部积分公式：关键：恰当选取u和确定v.如何选取u:(LIATE法)L-对数函数I-反三角函数A-代数函数T-三角函数E-指数函数根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u.即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).使用分部积分公式，若选f(x)=u,则vg(x)注：而v=g(x).例例1 1 求积分求积分解解令令如果令如果令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.一般地，若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数的乘积的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)例例2 2 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)例例3 3 求积分求积分解解例例4 4 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和对数函数的乘若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为积，就考虑设对数函数为 .例例5 5 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为积，就考虑设反三角函数为u.例例6 6 求积分求积分解解复原法在求不定积分时有着广泛的应用。复原法在求不定积分时有着广泛的应用。例例7 7 求积分求积分解解例例8 8 求积分求积分解解用用分部积分法，当分部积分法，当在在 积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。例例9 9 求积分求积分解解解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得例题与练习 练习1.求下列不定积分解：常用解题技巧()多次使用分部积分法则解：练习2.求不定积分例2.常用解题技巧()还原法例3.解：练习3：与换元法相结合练习4.求不定积分解：常用解题技巧练习：5(2,4,6)例例9 9例例1010例例11 11 解：解：因为练习：练习：例例1212 解：解：因为 例例1313练习练习:用什么积分法求下列积分？用什么积分法求下列积分？五五 小结小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）一）凑微分凑微分（二）二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令合理选择合理选择 ，正确使用分部积分式，正确使用分部积分式注意复原分部积分注意复原分部积分 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数的乘积数的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降幂使其降幂一次一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)一般地，（一般地，（1）（2）若被积函数是幂函数和指数函数的乘若被积函数是幂函数和指数函数的乘积积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)(4)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为二者皆可作为u,但作为但作为u的函数的类型不变。的函数的类型不变。(3)若被积函数是幂函数和对数函数的乘若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为积，就考虑设对数函数或反三角函数为 u .六六 思考与判断题思考与判断题12函数函数使用分部积分公式的要点是确定使用分部积分公式的要点是确定34中中作业：P189 2(1)(10),3(1)(4).5 根据LIATE法，恰当选取u和确定v.第八章 不定积分3有理有理函数和可化为有理函数的不定积分函数和可化为有理函数的不定积分一一 问题的提出问题的提出怎么计算？怎么计算？关键是被积函数的裂项关键是被积函数的裂项？（2 2）很显然不能用很显然不能用凑微分和分部积分凑微分和分部积分怎么办？怎么办？（3 3）去掉根号才能计算，怎样去掉去掉根号才能计算，怎样去掉根号根号？两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数.二二 有理函数的积分有理函数的积分(Integration of Rational Function)有理函数的定义：有理函数的定义：假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1 1）利用多项式除法）利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例如，我们可将例如，我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：）有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中则分解后为则分解后为特殊地特殊地：分解后为分解后为便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法系数法例例1 1例例2 2通分以后比较分子得：通分以后比较分子得：例例1 1代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解例例5 5 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令则则记记这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.我们也可以用代值确定法来得到最简分式，我们也可以用代值确定法来得到最简分式，比如前面的例比如前面的例2 2，两端去分母后得到，两端去分母后得到例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解由前面的裂项由前面的裂项例例5 5 求积分求积分 解解由前面的裂项得由前面的裂项得三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例6 6 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例7 7 求积分求积分解解一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。由此可以看出，万能代换法不是最简方法，由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。能不用尽量不用。例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9 9 求积分求积分解解讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式例例9 9 求积分求积分解解 令令说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.例例1010 求积分求积分解解 令令简单无理式的积分去掉根式简单无理式的积分去掉根式.（注意：关键为了去掉根号）（注意：关键为了去掉根号）有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结五、作业P198:1(1)(6),2(1)(6).六六 思考、判断题思考、判断题1 运用无理根式代换计算运用无理根式代换计算2 被积函数裂项可以直接判断的，不必运用待定系数法被积函数裂项可以直接判断的，不必运用待定系数法例如例如 思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.练习题练习题练习题答案练习题答案