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第三章第三章 控制系统时域分析控制系统时域分析l引言l稳定性l劳斯判据l稳态误差和稳态误差系数l控制系统的动态响应指标l一阶系统的动态响应l二阶系统的动态响应1 引言引言l三种特性分析：三种特性分析：稳定性稳定性 稳态特性稳态特性 动态特性动态特性l两类研究方法两类研究方法1.时域方法：以时间t为函数变量，研究系统响应随时间变化的方法。2.频域方法：以频率 为函数变量，研究系统响应随频率变化的方法。稳态和动态稳态和动态系统输出：系统输出：为瞬态响应，为稳态响应，2 稳定性稳定性l定义1：扰动消失后系统能回到原来的工作状态l定义2：有界的输入产生有界的输出产生稳定性问题的原因产生稳定性问题的原因l闭环回路：小增益原理l运动方程：输出响应为指数函数控制系统的响应与稳定性控制系统的响应与稳定性l系统的动态方程l输入为零的方程l特征方程（拉氏变换）l输出函数l其中 为实根，为复根稳定的系统：输出是有界的稳定的系统：输出是有界的l ，为负实数l ，是特征方程的根（或根的实部）l稳定性问题演变为研究特征方程根的分布l判断稳定的基本方法l直接求根l劳斯判据l李亚普诺夫方法l相平面分析劳斯判据劳斯判据l必要条件(特征根中无正根）特征多项式系数全部同号且不为零l充要条件 劳斯表的首列非零且不变号劳斯表劳斯表其中结论结论l劳斯表的行数为特征方程的阶次+1，最后两行每行只有一个元素；l劳斯表首列元素不变号，系统是稳定的（反之亦然）；l劳斯表首列无零元素，则首列元素符号变化的次数，等于系统具有正根的数目；例例1l由必要条件可判定系统不稳定。l由劳斯判据判定：系统不稳定l正根数目：两个例例2l同号，无缺项，稳定？l由劳斯判据判定：l系统不稳定，且有两个正根特殊情况特殊情况 1l某行第一列元素为零，其余项不为零或不全为零。用无穷小正数 取代零，继续计算。例l首列变号，系统不稳定特殊情况特殊情况 2l任意一行所有元素为零，说明有下列情况出现：l存在共轭复根l存在符号相反的实根l要用全零行的上一行元素为系数组成辅助方程，对其求导，将所得方程系数作为全零行的元素l例l首列不变号，系统是临界稳定注意注意l在以上特殊情况下，劳斯表首列不变号，系统是临界稳定。l劳斯表首列变号，系统不稳定。l辅助方程的根辅助方程的根l例1 闭环特征方程为辅助方程 的根为l例2 已知闭环特征方程辅助方程 的根为原方程的根为劳斯判据的应用劳斯判据的应用l判断系统的稳定性和根的大致分布判断系统的稳定性和根的大致分布l确定使系统稳定的参数取值范围确定使系统稳定的参数取值范围 例1 系统如图所示，试确定参数范围 解：闭环特征多项式为稳定的参数范围稳定的参数范围l利用劳斯判据：l系统稳定的K值范围是：0k30l例2 已知开环传递函数为 现要求系统闭环稳定，试确定参数范围，并画出稳定区域 解：闭环系统的特征方程为：利用劳斯判据利用劳斯判据劳斯表参数稳定区域：参数稳定：参数稳定的区域图相对稳定性相对稳定性l绝对稳定性：系统是否稳定绝对稳定性：系统是否稳定l稳定、不稳定、临界稳定l相对稳定性：系统稳定的裕度相对稳定性：系统稳定的裕度l确定相对稳定性 对于任意给定的与纵轴平行的直线，可以判断直线右侧极点数。令 得到新变量的特征方程，对新方程应用劳斯判据。即将稳定的判断边界由0平移到l例 检验特征方程式 是否有根在右半平面，并确定有几个根在 的右边。l绝对稳定性l首列不变号，系统稳定l相对稳定性l首列变一次号，有一个根在0 到 1之间稳态误差稳态误差l定义 如右图 误差 对于单位反馈 误差传递函数为 所以误差 如果系统稳定，由终值定理可求稳态误差 稳态误差是反映系统控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能。注：稳态误差与系统结构(内部)及输入类型(外部)有关l控制系统类型 系统开环传递函数为当 称为 型系统当 称为 型系统当 称为 型系统稳态误差与稳态误差系数稳态误差与稳态误差系数l稳态位置误差与位置误差系数 系统为阶跃输入 时，得稳态位置误差为 称 为稳态位置误差系数 所以，稳态位置误差为 指定稳态位置误差 ，可以求稳态位置误差系数 对于 型系统有 对于 型和 型系统l稳态速度误差与速度误差系数 系统为速度输入 时，得稳态速度误差为 称 为稳态速度误差系数 所以，稳态速度误差为 指定稳态速度误差 ，可以求稳态速度误差系数 对于 型系统有 对于 型系统 当 时，l稳态加速度误差与加速度误差系数 系统为速度输入 时，得稳态速度误差为 称 为稳态速度误差系数表表:系统的稳态误差系统的稳态误差1.稳态误差与输入、系统结构有关稳态误差与输入、系统结构有关.2.减小或消除稳态误差的方法：减小或消除稳态误差的方法：a、增加开环放大系数、增加开环放大系数K；b、提高系统的型号数、提高系统的型号数;系统型号系统型号误差系数误差系数KpKvKa单位阶跃单位阶跃输入输入单位速度单位速度输入输入单位加速单位加速度输入度输入扰动对稳态误差的影响扰动对稳态误差的影响R(S)：参考输入；N(S)：干扰信号误差函数误差函数E(s)lER(S):单独计算参考输入的误差信号lEN(S)：单独计算干扰信号的误差信号l当总输出：总输出：C(S)=CR(S)+CN(S)lCR(S):单独计算输出对参考输入的响应lCN(S)：单独计算输出对干扰信号的响应l总输出：闭环控制系统的特性闭环控制系统的特性l克服外界干扰对系统输出的影响克服外界干扰对系统输出的影响：l当满足：且l克服内部参数变化对系统输出的影响克服内部参数变化对系统输出的影响：l当满足：稳态误差分析的结论稳态误差分析的结论l位置误差、速度误差、加速度误差有限值是分别指输入与反馈信号之间的位置、速度、加速度存在有限差l稳定系统才可以讨论稳态误差l开环增益越大，稳态误差越小，可通过改变开环增益满足稳态性能要求l当输入是多种信号之和时，稳态误差是各信号稳态误差之和l指定稳态误差需满足多种信号的要求时，系统类型按变化速度最快的信号确定l非典型信号的稳态误差可直接求取控制系统动态响应指标控制系统动态响应指标l最大超调量最大超调量 ，峰值时间l延迟时间延迟时间 响应开始到终值的50%所需的时间l上升时间上升时间 有振荡，0至终值100%所经历的时间；无振荡，终值10%至终值90%所经历的时间l调整时间调整时间 响应开始到与终值之差在 之内的时间。为误差带单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线动态指标的分析方法动态指标的分析方法l按照模型的阶次逐一分析l输入信号一般取阶跃信号一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应l一阶系统数学模型 传递函数为 T-时间常数 K-静态增益l一阶系统的单位阶跃响应 当 ，响应为 拉氏反变换为l特点 （1）l时间常数T与系统输出值的关系：t:T 2T 3T 4T 5Tc(t)/c():63.2%86.5%95%98.2%99.3%l由此确定是否为一阶系统（2）当 当 当(3)调整时间调整时间 取 所以 若取 ，则（4）延迟时间和上升时间延迟时间和上升时间（5）系统特征根系统特征根(极点极点)（6）开环传递函数为开环传递函数为 稳态误差系数稳态误差系数二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应l二阶系统的数学模型 传递函数二阶系统模型的一般形式二阶系统模型的一般形式l特征方程：l特征根（极点）：l两个参数 ,：阻尼比：无阻尼自然振荡频率：二阶系统的极点位置与响应模式二阶系统的极点位置与响应模式l定义欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 无阻尼二阶系统的单位阶跃响应（欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应（欠阻尼 ）l输入信号：则l输出信号：作拉氏反变换 为衰减振荡曲线。振荡频率：衰减快慢：取决于 越小，系统振荡越厉害，一般取越小，系统振荡越厉害，一般取0.5 0.8之间。之间。l欠阻尼系统的性能指标欠阻尼系统的性能指标1.峰值时间峰值时间2.最大超调量最大超调量3.调整时间调整时间定义定义则则近似公式近似公式4.上升时间上升时间 定义定义5.最佳阻尼比最佳阻尼比最佳阻尼比最佳阻尼比 小结小结阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大，阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大，稳态误差增加（稳态误差增加（Kv 减小）减小）阻尼比大：上升时间长、调整时间短、超调量小阻尼比大：上升时间长、调整时间短、超调量小希希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程 上阻尼比一般取上阻尼比一般取0.40.8。最佳阻尼比最佳阻尼比:阻尼比为阻尼比为0.707 高阶系统的动态响应高阶系统的动态响应-近似分析方法近似分析方法l高阶系统动态响应的特点1.高阶系统的响应是由一系列一阶系统和二阶系统的响应叠加构成的；2.极点位置是影响动态响应的主要因素：极点离虚轴远，振荡衰减快，动态响应时间短；极点离虚轴近，振荡衰减慢，动态响应时间长l近似条件？存在主导极点l主导极点主导极点、附加零极点和偶极子l主导极点主导极点：高阶系统中如果距虚轴最近的极点比其他极点到虚轴的距离小五倍以上，且附近无零点，称此极点为主导极点l附加零、极点：除主导极点外的系统零、极点l偶极子：一对闭环零、极点是重合的或是靠得很近的例：三阶系统的闭环传递函数例：三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点：所以P1、P2为一对主导极点。近似系统近似系统的闭环传递函数的闭环传递函数原系统单位阶跃响应：如果忽略P3 对应的动态分量，近似系统的解：