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v课程概况课程概况 教教 学学 安安 排排 及及 要要 求求主主 要要 教教 学学 内内 容容 绪绪 论论本课程的性质和作用本课程的性质和作用 第一章第一章 线性连续系统的状态空间描述线性连续系统的状态空间描述 1-1 1-1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 1-2 1-2 由系统模拟图求状态空间方程由系统模拟图求状态空间方程 1-3 1-3 化输入化输入输出描述为状态变量描述输出描述为状态变量描述 1-4 1-4 传递函数矩阵传递函数矩阵 1-5 1-5 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述第二章第二章 线性连续系统的运动分析线性连续系统的运动分析 2-1 2-1 线性系统的运动分析线性系统的运动分析 2-2 2-2 e eAtAt的计算方法的计算方法 2-3 2-3 JordanJordan规范形规范形 2-4 2-4 模式激励与抑制模式激励与抑制 2-5 2-5 线性时变系统的运动分析线性时变系统的运动分析 第三章第三章 线性离散系统线性离散系统 3-1 3-1 离散系统概述离散系统概述 3-2 3-2 线性连续系统的时间离散化线性连续系统的时间离散化 3-3 3-3 离散系统的时域解离散系统的时域解 第五章第五章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 5-1 5-1 引言引言 5-2 5-2 能控性能控性 5-3 5-3 能控标准形能控标准形(规范形、典范形规范形、典范形)5-4 5-4 能观测性能观测性 5-5 5-5 能观测标准形能观测标准形(规范形规范形)5-6 5-6 能控与能观测典范分解能控与能观测典范分解第四章第四章 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 41 41 向量和距阵的范数向量和距阵的范数 42 42 平衡状态和稳定性平衡状态和稳定性 43 43 渐近稳定渐近稳定(AS)及其判据及其判据 4-44-4 lyapunov意义下的稳定意义下的稳定 4-5 4-5 有界输入有界输出有界输入有界输出(BIBO)稳定稳定 4-6 4-6 有界输入有界状态有界输入有界状态(BIBS)稳定稳定 4-74-7 Lyapunov函数法函数法第六章第六章 线性系统时间域综合问题线性系统时间域综合问题 6-1 6-1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈 6-2 6-2 特征值（极点）配置特征值（极点）配置 6-3 6-3 镇定问题镇定问题 6-4 6-4 状态观测器状态观测器 6-5 6-5 离散系统的极点配置和状态观测器离散系统的极点配置和状态观测器第七章第七章*传递函数距阵的状态空间实现传递函数距阵的状态空间实现 7-1 7-1 实现的基本概念实现的基本概念 7-7 7-7 传递函数的最小实现传递函数的最小实现 7-3 SIMO7-3 SIMO系统传递函数距阵的最小实现系统传递函数距阵的最小实现 7-4 MISO7-4 MISO系统传递函数距阵的最小实现系统传递函数距阵的最小实现 7-5 7-5*传递函数距阵的传递函数距阵的JordanJordan最小实现最小实现 参考教材：参考教材：1 1线性系统理论线性系统理论(第二版第二版)郑大钟，清华大学出版社，郑大钟，清华大学出版社，2002.102002.102 2线性系统理论和设计线性系统理论和设计 仝茂达，中国科技大学出版社，仝茂达，中国科技大学出版社，1998.81998.83 3自动控制原理自动控制原理 吴麒，清华大学出版社吴麒，清华大学出版社 LTIlinear time invariant:线性时不变（状态空间）系统线性时不变（状态空间）系统v系统分类系统分类 满足叠加原理满足叠加原理 L数学描述数学描述u1,u2任意两个输入变量任意两个输入变量 c1,c2任意两个有限常数任意两个有限常数 线性系统线性系统 v研究对象研究对象 v基本特征基本特征 v课程的主要任务课程的主要任务研究线性的状态和运动规律研究线性的状态和运动规律系统分析系统分析系统运动规律系统运动规律综合问题综合问题改变运动规律的可能性和方法改变运动规律的可能性和方法理论分支：状态空间法、多变量输入理论分支：状态空间法、多变量输入 几何空间、代数空间几何空间、代数空间 二十世纪二十世纪5050年代中期，经典线性系统理论发展成熟和完备，年代中期，经典线性系统理论发展成熟和完备，并在不少工程技术领域得到了成功的应用。并在不少工程技术领域得到了成功的应用。在在5050年代后期蓬勃兴起的航天技术的推动下，线性系统理年代后期蓬勃兴起的航天技术的推动下，线性系统理论开始了从经典阶段到现代阶段的过度。其重要标志有：论开始了从经典阶段到现代阶段的过度。其重要标志有：引入了状态空间法（卡尔曼），提出了能控性和能观测性引入了状态空间法（卡尔曼），提出了能控性和能观测性的概念（卡尔曼），由的概念（卡尔曼），由“外部研究外部研究”深入到深入到“内部研究内部研究”；发展了多变量频域理论，利用计算机进行辅助设计与分析，发展了多变量频域理论，利用计算机进行辅助设计与分析，等。等。v发展过程发展过程1-1 1-1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 建立图示电路的数学模型。建立图示电路的数学模型。建模实例建模实例R CLi(t)ur(t)uc(t)状态空间的描述方程状态空间的描述方程 在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道 uc(t)和和i(t)的变化特性，的变化特性，则其他变量的变化均可知道。则其他变量的变化均可知道。故故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量”。记。记状态方程状态方程输出方程输出方程 状态状态f()、g()向量函数向量函数 定义为完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。定义为完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。内部变量内部变量 对于线性系统对于线性系统，f()、g()具有线性关系。具有线性关系。Rn n (系系统统矩矩阵阵)Rn p (输入矩阵输入矩阵)线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 对于线性定常系统对于线性定常系统，A、B、C、D为常数阵。为常数阵。故故 Rq n (输输出出矩矩阵阵)Rq p(输输入入输输出出联联系系的的系系数数阵阵)常简写：常简写：定常定常时变时变常用系统常用系统 ：(A,B,C),(A,B,C,D),A,B,C 例：例：原系统：原系统：，不稳定。，不稳定。uy后接补偿器：后接补偿器：总传递函数：总传递函数：该系统的模拟图：该系统的模拟图：情况情况1：uy-系统响应：系统响应：从输出从输出 y 看看，是稳定的，但是稳定的，但x1、x2是不稳定的。是不稳定的。情况情况2：u y u y-x1、x2是不稳定的，从输出是不稳定的，从输出y看，也是不稳定的。看，也是不稳定的。由上例可见：由上例可见：状态空间法对系统特征的描述要比微分方程更深入。状态空间法对系统特征的描述要比微分方程更深入。1-2 1-2 由系统模拟图求状态空间方程由系统模拟图求状态空间方程模拟元件：模拟元件：将积分器的输出作为状态变量将积分器的输出作为状态变量；将输出用状态变量表示；将输出用状态变量表示；根据加法器的关系写出系统方程。根据加法器的关系写出系统方程。步骤：步骤：232uy 1-3 1-3 化输入化输入输出描述为状态变量描述输出描述为状态变量描述模拟图模拟图状态变量方程状态变量方程输入输入-输出描述输出描述状态变量描述状态变量描述实现问题实现问题考虑单输入考虑单输入单输出系统（单输出系统（SISOSISO系统）系统）返回返回引入微分算子符号：引入微分算子符号：对应的系统传函：对应的系统传函：方法方法1.辅助变量法辅助变量法 bmb2b1b0A BC D=0 以上称为可控规范形实现以上称为可控规范形实现。例：例：给定系统的输入给定系统的输入输出描述为：输出描述为：利用可控标准形即可定出相应的一个状态空间的描述为：利用可控标准形即可定出相应的一个状态空间的描述为：方法方法2：套叠法套叠法 将方程：将方程：写成：写成：取状态变量取状态变量 x1=y,得：得：111b2b011bm 这种实现称这种实现称kalman第二形式第二形式。以上称为可观测规范形实现以上称为可观测规范形实现。常取状态变量常取状态变量xn=yv可观测规范形实现的推导可观测规范形实现的推导 设单输入设单输入单输出线性定常系统的微分方程具有下列的一单输出线性定常系统的微分方程具有下列的一般形式：般形式：对上式两边同时求对上式两边同时求n次不定积分，并整理得次不定积分，并整理得同理可得同理可得 依此类推依此类推 由此规则即可写出可观测规范形的向量由此规则即可写出可观测规范形的向量矩阵形式，得矩阵形式，得 1）bn=0时时，由上式，有，由上式，有综合以上推导，得综合以上推导，得 系统模拟结构图为系统模拟结构图为:an2an1 a0 a1 b1bn1bn2x1x2xn1xn2xnu(t)y(t)-图图1 bn=0时的系统结构图（可观标准形）时的系统结构图（可观标准形）b02）bn 0时时，由，由 写成向量写成向量矩阵形式，得矩阵形式，得 有有 an2 an1 a0 a1 b0-a0bn b1-a1bn bn1-an1bn bn2-an2bnx1x2xn1xn2xnu(t)y(t)-bn图图2 bn0时系统结构图（可观标准形）时系统结构图（可观标准形）例：例：系统微分方程为系统微分方程为 可观测规范形：可观测规范形：考察系统的状态方程和输出方程。考察系统的状态方程和输出方程。解：解：可控规范形：可控规范形：对偶关系：对偶关系：325764uy可控标准形：可控标准形：kalman第二形式：第二形式：532764 u y可观测标准形：可观测标准形：讨论：讨论：1 1）以上两种实现模拟图中的增益（状态变量方程中的系以上两种实现模拟图中的增益（状态变量方程中的系数）就是微分方程的系数；数）就是微分方程的系数；2 2）考虑初始条件均为零；）考虑初始条件均为零；3 3）也适用于线性时变系统；）也适用于线性时变系统；4 4）根据叠加原理可直接给出这两种实现。）根据叠加原理可直接给出这两种实现。kalman：(以三阶系统为例以三阶系统为例)特殊情况：特殊情况：不含不含u的各阶导数。的各阶导数。a1 a2 a0uyb0考虑考虑一般情况：一般情况：含含u的各阶导数。的各阶导数。先考虑相关系统：先考虑相关系统：根据根据叠加原理叠加原理，f(t)F(s)y(s)=G(s)u(s)s u(s)G(s)=s y(s)于是，由于是，由 因此，若因此，若 v=b0u,则则 y=b0z及初始条件均为零，及初始条件均为零，b2b1 a2 a1 a0 u yb0a0 ya1a2 ub1b2b0kalman：a0yb2ub1u a2y a1yyb0u a0b2b1b0 a2 a1uy(仍以上三阶系统为例仍以上三阶系统为例)方法方法3 3：部分分式法：部分分式法（并联法）（并联法）1b1 a1 a0b011 1）将）将G(s)分解因式；分解因式；2 2）将每个因式用基本模块表示；）将每个因式用基本模块表示；3 3）并联各个模块成系统。）并联各个模块成系统。两种基本模块：两种基本模块：考虑考虑G(s)的的几种情况几种情况：1）当当G(s)无重极点时无重极点时 若若-p pi i均为实极点，只需用模块均为实极点，只需用模块(a)1 c1 cn11 c2若若pi中有共轭复数极点时，中有共轭复数极点时，或将或将ci放在输入端放在输入端(在在u后面后面)为对角线规范形，状态完全解耦。为对角线规范形，状态完全解耦。可利用模块可利用模块(b)，使增益系数均为实数。使增益系数均为实数。例如，例如，p1与与p2为共轭复数极点，则为共轭复数极点，则 1 b1 cnb0 1 1 1 1 c3 2 2）当）当G(s)有重极点时，设有重极点时，设pi中有中有k重极点重极点 111 11例例：121111111例例：11121111例例：某系统的状态空间表达式为某系统的状态空间表达式为 在这个七阶系统中，传递函数有：在这个七阶系统中，传递函数有：两个单极点两个单极点p1、p2;一个二重单极点一个二重单极点p3、p3;一个三重单极点一个三重单极点p5、p5、p5 .方法方法4 4：单归法：单归法（级联法）（级联法）设极点设极点pj、零点零点zi为相异实数，为相异实数，1111 故对于所给传递函数，有：故对于所给传递函数，有：111111 故可得故可得:1-4 1-4 传递函数矩阵传递函数矩阵 设设输入输入u(t)=u1(t)，up(t)T其其Laplace变换变换为为：输出输出 y(t)=y1(t),yq(t)T其其Laplace变换变换为为：其中其中 为为传递函数矩阵传递函数矩阵。由叠加定理可得：由叠加定理可得：由状态空间描述：由状态空间描述：多项式矩阵多项式矩阵（sIA）显然是非奇异，故有显然是非奇异，故有(6)代入代入（4），），可得：可得：可知：可知：G(s)=C(sIA)1B+D G(s)的一个计算公式：的一个计算公式：为（严格）实有理分式时，称为（严格）实有理分式时，称G(s)为（严格）实有理分式矩阵为（严格）实有理分式矩阵,当当D 0时，时，G(s)为严格真的。为严格真的。这是显然的。因：这是显然的。因：adj(SIA)的每个元素多项式的最高幂次均小于的每个元素多项式的最高幂次均小于det(sIA)的幂次。的幂次。所以，必有所以，必有 传函矩阵传函矩阵 G(s)=C(sIA)1B+D (1)给定给定 A,B,C,D，若求出：若求出：和和 则则 证证：(1)(sIA)1 的一个关系式：的一个关系式：只需定出只需定出R0，R1，Rn1。(5)式两边右乘式两边右乘 又由（又由（2 2）式：）式：于是，得递推计算式：于是，得递推计算式：在在(8)(8)式，依次将上一个方程带入下一个方程，可得：式，依次将上一个方程带入下一个方程，可得：(9)带入带入(5)，再带入再带入(1)：记记 En1=CRn1B,En2=CRn2B,E1=CR1B,E0=CR0B.即可得出即可得出(4)式式。证证：(2)的递推函数计算式的递推函数计算式。（。（Levervier递推法递推法）设设n阶方阵阶方阵A=（aij）,A的主对角线元素之和成为的主对角线元素之和成为A的迹，记做的迹，记做trA，例例:计计 算算 (s)：计算系数阵：计算系数阵：则则 :传传递递函函数数矩矩阵阵的的实实现现(一一种种简简捷捷方方法法 )由于多输入由于多输入多输出系统传递函数矩阵的实现问题比较多输出系统传递函数矩阵的实现问题比较复杂，因此，我们仅以单输入复杂，因此，我们仅以单输入多输出或多输入多输出或多输入单输出系单输出系统的情况举例说明。统的情况举例说明。(公式推导详见仝茂达教材公式推导详见仝茂达教材p183)1 1单输入单输入多输出系统的实现多输出系统的实现 例例1 1 试求下列单输入试求下列单输入双输出系统传递函数矩阵的可控双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。标准形实现。解：解：将将G(s)化为严格有理真分式化为严格有理真分式：各元素的最小公分母各元素的最小公分母D(s)为为：则可控标准形状态方程为则可控标准形状态方程为：2 2多输入多输入单输出系统的实现单输出系统的实现 相对来说，多输入相对来说，多输入单输出系统的实现比单输入单输出系统的实现比单输入多输出多输出系统的实现方法较难掌握，系统的实现方法较难掌握，由于多输入由于多输入单输出系统与单输入单输出系统与单输入多输出系统的维数不多输出系统的维数不同，故其可控标准形实现与可观标准形实现不存在对偶关系；同，故其可控标准形实现与可观标准形实现不存在对偶关系；但是它们在实现的方法上具有类似的对偶关系。但是它们在实现的方法上具有类似的对偶关系。换句话说，假如单输入换句话说，假如单输入m输出系统的传递函数矩阵为输出系统的传递函数矩阵为G(s)，相应的实现为（相应的实现为（A,B,C,D）；）；若另一若另一m输入输入单输出系统的传递函数矩阵为单输出系统的传递函数矩阵为 应用这一特点，不仅可大大降低学习的难度，而且掌应用这一特点，不仅可大大降低学习的难度，而且掌握一种方法就可以解决两种类型的问题，更不会出现混淆握一种方法就可以解决两种类型的问题，更不会出现混淆现象。现象。（GT(s)代表代表G(s)的转置）的转置）则有：则有：其相应的实现为其相应的实现为 例例2 2 线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。准形实现。解：解：1 1）先求对应的单输入）先求对应的单输入双输出系统的实现双输出系统的实现 2 2）再转换为双输入）再转换为双输入单输出系统的实现单输出系统的实现 故原系统的实现为故原系统的实现为 v方法的验证方法的验证 对比原题所给传递函数，可见结果一致。对比原题所给传递函数，可见结果一致。1-5 1-5 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述 由两个或两个以上的子系统按一定方式联接构成的系统称由两个或两个以上的子系统按一定方式联接构成的系统称为组合系统。为组合系统。1 1子系统的并联子系统的并联 考虑由两个子系统考虑由两个子系统经并联构成的组合系统经并联构成的组合系统，如图所示，如图所示:不难看出，两个子系统可进行并联的条件为：不难看出，两个子系统可进行并联的条件为：uy+u1u2+在实现了并联后系统在变量上的特点为：在实现了并联后系统在变量上的特点为：于是，对并联组合系统，于是，对并联组合系统，即得到并联组合系统即得到并联组合系统的状态空间描述为：的状态空间描述为：由由N个子系统并联构成的组合系统，可导出个子系统并联构成的组合系统，可导出p的状态空间的状态空间描述的一般表达式为：描述的一般表达式为：表示子系统的传递函数矩阵为：表示子系统的传递函数矩阵为：就可导出并联组合系统的传递函数矩阵为：就可导出并联组合系统的传递函数矩阵为：2 2子系统的串联子系统的串联 由两个子系统由两个子系统1和和2经串联构成的组合系统如图：经串联构成的组合系统如图：x1y2 u1 u2 y1x2串联连接的条件为：串联连接的条件为：可导出串联组合系统的状态空间描述为：可导出串联组合系统的状态空间描述为：将其写成为标准化的形式为：将其写成为标准化的形式为：3 3子系统的反馈联接子系统的反馈联接 由由N个子系统顺序串联构成的状态空间描述，其形式将相当个子系统顺序串联构成的状态空间描述，其形式将相当复杂。复杂。可导出串联组合系统的传递函数矩阵为：可导出串联组合系统的传递函数矩阵为：其中，子系统的传递函数矩阵其中，子系统的传递函数矩阵Gi(s)仍由下式给出：仍由下式给出：两个子系统两个子系统1和和2，按下图所示方式构成反馈系统，其中子按下图所示方式构成反馈系统，其中子系统的状态空间描述中系统的状态空间描述中Di=0.uyu1 y1 u2y2x1x2将其表示为标准化的形式就为：将其表示为标准化的形式就为：其构成条件为：其构成条件为：构成的反馈系统的状态空间描述为：构成的反馈系统的状态空间描述为：化简之，得到化简之，得到 那么，即可得到反馈系统的传递函数矩阵为：那么，即可得到反馈系统的传递函数矩阵为：类似地，根据类似地，根据 u1=u-y2,y1=y=u2 也可有也可有 现推导反馈系统传递函数矩阵的表达式。子系统的传递现推导反馈系统传递函数矩阵的表达式。子系统的传递函数矩阵为：函数矩阵为：由由 u1=u-y2,y1=y=u2 有有：又可导出反馈系统的传递函数矩阵的另一表达式为：又可导出反馈系统的传递函数矩阵的另一表达式为：引入假定引入假定Di=0（i=1,2）只是为了使推导不至于过分复杂，只是为了使推导不至于过分复杂，这也是符合大多数实际问题的。这也是符合大多数实际问题的。